电磁感应现象压轴题综合题含答案解析

电磁感应现象压轴题综合题含答案解析
一、高中物理解题方法：电磁感应现象的两类情况
1．如图所示，两根光滑、平行且足够长的金属导轨倾斜固定在水平地面上，导轨平面与水平地面的夹角37θ=︒，间距为d =0.2m ，且电阻不计。

导轨的上端接有阻值为R =7Ω的定值电阻和理想电压表。

空间中有垂直于导轨平面斜向上的、大小为B =3T 的匀强磁场。

质量为m =0.1kg 、接入电路有效电阻r =5Ω的导体棒垂直导轨放置，无初速释放，导体棒沿导轨下滑一段距离后做匀速运动，取g =10m/s 2，sin37°=0.6，求：
（1）导体棒匀速下滑的速度大小和导体棒匀速运动时电压表的示数； （2）导体棒下滑l =0.4m 过程中通过电阻R 的电荷量。

【答案】（1）20m/s 7V （2）0.02C 【解析】 【详解】
（1）设导体棒匀速运动时速度为v ，通过导体棒电流为I 。

由平衡条件
sin mg BId θ=①
导体棒切割磁感线产生的电动势为
E =Bdv ②
由闭合电路欧姆定律得
E
I R r
=
+③ 联立①②③得
v =20m/s ④
由欧姆定律得
U =IR ⑤
联立①⑤得
U =7V ⑥
（2）由电流定义式得
Q It =⑦
由法拉第电磁感应定律得
E t
∆Φ
=
∆⑧
B ld ∆Φ=⋅⑨
由欧姆定律得
E
I R r
=
+⑩ 由⑦⑧⑨⑩得
Q =0.02C ⑪
2．如图所示，竖直放置、半径为R 的圆弧导轨与水平导轨ab 、在
处平滑连接，且
轨道间距为2L ，cd 、足够长并与ab 、以导棒连接，导轨间距为L ，b 、c 、
在
一条直线上，且与
平行，
右侧空间中有竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁
场，均匀的金属棒pq 和gh 垂直导轨放置且与导轨接触良好。

gh 静止在cd 、导轨上，pq 从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与gh 没有接触。

当pq 运动到
时，回路
中恰好没有电流，已知pq 的质量为2m ，长度为2L ，电阻为2r ，gh 的质量为m ，长度为L ，电阻为r ，除金属棒外其余电阻不计，所有轨道均光滑，重力加速度为g ，求：
（1）金属棒pq 到达圆弧的底端时，对圆弧底端的压力； （2）金属棒pq 运动到
时，金属棒gh 的速度大小；
（3）金属棒gh 产生的最大热量。

【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】【分析】金属棒pq 下滑过程中，根据机械能守恒和牛顿运动定律求出对圆弧底端的压力；属棒gh 在cd 、导轨上加速运动，回路电流逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，pq 运动到ab 、导轨的最右端，根据动量定理求出金属棒gh 的速度大小；金属棒pq 进入磁场后在ab 、
导轨上减速运动，金属棒gh 在cd 、
导轨上加速运
动，根据能量守恒求出金属棒gh 产生的最大热量； 解：（1）金属棒pq 下滑过程中，根据机械能守恒有：
在圆弧底端有
根据牛顿第三定律，对圆弧底端的压力有
联立解得
（2）金属棒pq 进入磁场后在ab 、
导轨上减速运动，金属棒gh 在cd 、
导轨上加速
运动，回路电流逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，pq 运动到ab 、导轨的最右
端，此时有
对于金属棒pq 有
对于金属棒gh 有 联立解得
（3）金属棒pq 进入磁场后在ab 、
导轨上减速运动，金属棒gh 在cd 、
导轨上加速
运动，回路电路逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，回路中产生的热量为
该过程金属棒gh 产生的热量为
金属棒pq 到达cd 、
导轨后，金属棒pq 加速运动，金属棒gh 减速运动，回路电流逐渐
减小，当回路电流第二次减小为零时，金属棒pq 与gh 产生的电动势大小相等，由于此时金属棒切割长度相等，故两者速度相同均为v ，此时两金属棒均做匀速运动，根据动量守恒定律有
金属棒pq 从到达cd 、
导轨道电流第二次减小为零的过程，回路产生的热量为
该过程金属棒gh 产生的热量为
联立解得
3．如图，光滑金属轨道POQ 、´´´P O Q 互相平行，间距为L ，其中´´O Q 和OQ 位于同一水
平面内，PO 和´´P O 构成的平面与水平面成30°。

正方形线框ABCD 边长为L ，其中AB 边
和CD 边质量均为m ，电阻均为r ，两端与轨道始终接触良好，导轨电阻不计。

BC 边和AD 边为绝缘轻杆，质量不计。

线框从斜轨上自静止开始下滑，开始时底边AB 与OO ´相距L 。

在水平轨道之间，´´MNN M 长方形区域分布着有竖直向上的匀强磁场，
´OM O N L =>，´´N M 右侧区域分布着竖直向下的匀强磁场，这两处磁场的磁感应强度
大小均为B 。

在右侧磁场区域内有一垂直轨道放置并被暂时锁定的导体杆EF ，其质量为m 电阻为r 。

锁定解除开关K 与M 点的距离为L ，不会阻隔导轨中的电流。

当线框AB 边经过开关K 时，EF 杆的锁定被解除，不计轨道转折处OO ´和锁定解除开关造成的机械能损耗。

（1）求整个线框刚到达水平面时的速度0v ； （2）求线框AB 边刚进入磁场时，AB 两端的电压U AB ； （3）求CD 边进入磁场时，线框的速度v ；
（4）若线框AB 边尚未到达´´M N ，杆EF 就以速度23123B L v mr
=离开M ´N ´右侧磁场区域，
求此时线框的速度多大？
【答案】（132gL 2）16BL gL 3）23
323B L gL mr
；（4）233223B L gL mr
【解析】 【分析】 【详解】
（1）由机械能守恒
2
01sin 302sin 30022
mgL mg L mv +=
︒︒- 可得
032
v gL =
（2）由法拉第电磁感应定律可知
0E BLv =
根据闭合电路欧姆定律可知
032
BLv I r =
根据部分电路欧姆定律
1
2
AB U I r =⋅
可得
16
AB U BL
gL =（3）线框进入磁场的过程中，由动量定理
022BIL t mv mv -⋅∆=-
又有
2
32
BL I t r ⋅∆=
代入可得
23
3B L v mr
= （4）杆EF 解除锁定后，杆EF 向左运动，线框向右运动，线框总电流等于杆EF 上电流 对杆EF
1BIL t m v ⋅∆=∆
对线框
22BIL t m v ⋅∆=⋅∆
可得
122v v ∆=∆
整理得到
23
21123B L v v mr
∆=∆=
可得
23
2223B L v v v mr
=-∆=
4．电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势E 来表明电源的这种特性。

在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。

产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。

（1）如图1所示，固定于水平面的U 形金属框架处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B ，金属框两平行导轨间距为l 。

金属棒MN 在外力的作用下，沿框架以速度v 向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。

已知电子的电荷量为e 。

请根据电动势定义，推导金属棒MN 切割磁感线产生的感应电动势E 1；
（2）英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场会在空间激发感生电场，感生电场与静电场不同，如图2所示它的电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，我们把这样的电场称为涡旋电场。

在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。

如图3所示在某均匀变化的磁场中，将一个半径为x 的金属圆环置于半径为r 的圆形磁场区域，使金属圆环与磁场边界是相同圆心的同心圆，从圆环的两端点a 、b 引出两根导线，与阻值为R 的电阻和内阻不计的电流表串接起来，金属圆环的电阻为
2
R
，圆环两端点a 、b 间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。

已知电子的电荷量为e ，若磁感应强度B 随时间t 的变化关系为B =B 0+kt （k >0且为常量）。

a ．若x ＜r ，求金属圆环上a 、b 两点的电势差U ab ；
b ．若x 与r 大小关系未知，推导金属圆环中自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式，并在图4中定性画出F 2-x 图像。

【答案】（1）见解析（2）a. 2ab 2k πU =3x ； b.2
2 F =
2ker x
；图像见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）金属棒MN 向右切割磁感线时，棒中的电子受到沿棒向下的洛仑兹力，是这个力充当了非静电力。

非静电力的大小
1F Bev =
从N 到M 非静电力做功为
=W Bevl 非
由电动势定义可得
1W E Blv q
=
=非
（2）a.由01B B kt =+可得
B
k t
∆=∆ 根据法拉第电磁感应定律
2B S
E kS t t ∆Φ∆⋅=
==∆∆ 因为x r <，所以
2=πS x
根据闭合电路欧姆定律得
2
/2
E I R R =
+
ab U I R =⋅
联立解得
2
2π=3
ab k x U b.在很短的时间内电子的位移为s ∆，非静电力对电子做的功为2F s ∆
电子沿着金属圆环运动一周，非静电力做的功
222πW F s F x ∆=∑=非
根据电动势定义
2W E e
=
非
当x r <时，联立解得
22
kex
F =
当x r >时，磁通量有效面积为
2S r π=
联立解得
2
2ker 2F x
= 由自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式 可得F 2-x 图像
5．如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5T .在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距L ＝1m ，电阻可忽略不计．质量均为m ＝lkg ，电阻均为R ＝2.5Ω的金属导体棒MN 和PQ 垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好．先将PQ 暂时锁定，金属棒MN 在垂直于棒的拉力F 作用下，由静止开始以加速度a ＝0.4m /s 2向右做匀加速直线运动，5s 后保持拉力F 的功率不变，直到棒以最大速度v m 做匀速直线运动.
(1)求棒MN 的最大速度v m ；
(2)当棒MN 达到最大速度v m 时，解除PQ 锁定，同时撤去拉力F ，两棒最终均匀速运动.求解除PQ 棒锁定后，到两棒最终匀速运动的过程中，电路中产生的总焦耳热.
(3)若PQ 始终不解除锁定，当棒MN 达到最大速度v m 时，撤去拉力F ，棒MN 继续运动多
远后停下来?（运算结果可用根式表示）
【答案】（1
）/s m v = （2）Q =5 J （3
）x = 【解析】 【分析】 【详解】
(1)棒MN 做匀加速运动，由牛顿第二定律得：F -BIL =ma 棒MN 做切割磁感线运动，产生的感应电动势为：E =BLv 棒MN 做匀加速直线运动，5s 时的速度为：v =at 1=2m/s 在两棒组成的回路中，由闭合电路欧姆定律得：2E I R
=
联立上述式子，有：222B L at
F ma R
=+
代入数据解得：F =0.5N 5s 时拉力F 的功率为：P =Fv 代入数据解得：P =1W
棒MN 最终做匀速运动，设棒最大速度为v m ，棒受力平衡，则有：0m m P
BI L v -= 2m
m BLv I R
=
代入数据解得
:m v =
(2)解除棒PQ 后，两棒运动过程中动量守恒，最终两棒以相同的速度做匀速运动，设速度大小为v ′，则有：2m mv mv '=
设从PQ 棒解除锁定，到两棒达到相同速度，这个过程中，两棒共产生的焦耳热为Q ，由能量守恒定律可得：2211
222
m Q mv mv '=-⨯ 代入数据解得：Q =5J ；
(3)棒以MN 为研究对象，设某时刻棒中电流为i ，在极短时间△t 内，由动量定理得：-BiL △t =m △v
对式子两边求和有：()()m BiL t m v ∑-∆=∑∆ 而△q =i △t
对式子两边求和，有:()q i t ∑∆=∑∆ 联立各式解得：BLq =mv m ， 又对于电路有：2E q It t R
==
由法拉第电磁感应定律得：BLx
E t
= 又2BLx
q R
=
代入数据解得：405m x =
6．如图，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为l ，电阻不计，左侧接有定值电阻R ，质量为m 、电阻为r 的导体杆，以初速度v 0沿轨道滑行，在滑行过程中保持与轨道垂直且接触良好，整个装置处于方向竖直向上，磁感应强度为B 的匀强磁场中。

宏观规律与微观规律有很多相似之处，导体杆速度的减小规律类似于放射性元素的半衰期，理论上它将经过无限长的时间衰减完有限的速度。

（1）求在杆的速度从v 0减小到0
2
v 的过程中： ①电阻R 上产生的热量； ②通过电阻R 的电量；
（2）①证明杆的速度每减小一半所用的时间都相等；
②若杆的动能减小一半所用时间为t 0，则杆的动量减小一半所用时间是多少？
【答案】（1）①2
038()Rmv R r +，②02mv Bl ；（2）①22
()
v B l t v m R r ∆=∆+，②2t 0。

【解析】 【详解】
(1)①设电路中产生的热量为Q ，由能量守恒定律
22
0011()222
v mv m Q =+ 串联电路中，产生的热量与电阻成正比，可得
Q R ＝
R
R r
+Q 解得电阻R 产生的热量为
2
38()
R Rmv Q R r =+；
②设该过程所用时间为t ，由动量定理
0(
)2
v BIlt m v -=- 其中
It q =
解得通过R 的电量为：
2mv q Bl
=
；
(2)①设某时刻杆的速度为v (从v 0开始分析亦可)，则 感应电动势
E ＝Blv ，
感应电流
I ＝
E
R r
+， 安培力
F ＝BIl ＝22B l v
R r
+
在很短时间Δt 内，由动量定理
F Δt ＝m Δv ，(Δv 为速度变化绝对值)
可得
22B l v
t m v R r
∆=∆+ 所以在任意短时间内速度变化的比例为
22
()
v B l t v m R r ∆=∆+ 由于22
()
B l m R r +为定值，可见任何相等时间内速度变化的比例都相等。

所以从任何时刻开始
计算，速度减小一半所用时间都相等。

②杆的动能减小一半，其速度v 减小为
2
，所用时间为t 0， 由①中分析可得，杆的速度从
2
再减小到22⨯所用时间仍为t 0， 所以杆的速度减小一半所用时间为2t 0，即动量减小一半所用时间为2t 0。

7．如图所示，宽0.2m L =、长为2L 的矩形闭合线框abcd ，其电阻为4R =Ω，线框以速度10m/s v =垂直于磁场方向匀速通过匀强磁场区域，磁场的宽度为L ，磁感应强度
1T B =问：
（1）当bc 边进入磁场时，线框中产生的感应电动势是多大？ （2）bc 边进入磁场后，它所受到的磁场力是多大？ （3）整个过程中线框产生的热量是多少？
【答案】（1）2V （2）0.1N （3）0.04J
【解析】 【分析】
bc 边进入磁场时，bc 切割磁感线运动，产生的感应电动势；同样ad 边进入磁场时，ad 切割磁感线运动，产生的感应电动势。

【详解】
（1）当bc 边进入磁场时，bc 切割磁感线运动，产生的感应电动势
10.210V 2V E BLv ==⨯⨯=
（2）bc 边进入磁场后，它所受到的磁场力即为安培力
2
10.2N 0.1N 4
B E F BIL B L R ==⋅
⋅=⨯⨯= （3）整个过程中，bc 边进入磁场和ad 边进入磁场过程都有感应电动势产生，产生的感应电动势大小相等。

两边在磁场中运动的时间：
0.222s 0.04s 10
L t v ⨯＝＝＝
产生热量：
220.540.04J 0.04J Q I Rt ==⨯⨯=
答：（1）当bc 边进入磁场时，线框中产生的感应电动势是2V ； （2）bc 边进入磁场后，它所受到的磁场力是0.1N ； （3）整个过程中线框产生的热量是0.04J 。

8．某电子天平原理如图所示，E 形磁铁的两侧为N 极，中心为S 极，两极间的磁感应强度大小均为B ，磁极宽度均为L ，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C 、D 与外电路连接，当质量为m 的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I 可确定重物的质量．已知线圈匝数为n ，线圈电阻为R ，重力加速度为g.问：
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C 端还是从D 端流出？ (2)供电电流I 是从C 端还是从D 端流入？求重物质量与电流的关系； (3)若线圈消耗的最大功率为P ，该电子天平能称量的最大质量是多少？
【答案】（1）感应电流从C 端流出 （2）2nBL
m I g =（3）02nBL P
m g
R
= 【解析】 【分析】 【详解】
（1）根据右手定则，线圈向下切割磁感线，电流应从Ｄ端流入，从Ｃ端流出
（２）根据左手定则可知，若想使弹簧恢复形变，安培力必须向上，根据左手定则可知电流应从D 端流入，根据受力平衡2mg nBI L =⋅① 解得2nBL
m I g
=
② （3）根据最大功率2P I R =得P I R
=③ ②③联立解得：02nBL P m g R
=
9．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L ，M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻，一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r ，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为g )
（1）在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小；
（2）求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值.
（3）杆在下滑距离d 的时以经达到最大速度，求此过程中通过电阻的电量和热量。

【答案】(1) I r BLv R =+，22sin ()B L v
a g R r m θ=-+(2) 22
()sin m mg R r v B L θ+=(3) BLd q r R =+,32244
sin ()sin 2R mgdR m g R r R Q R r B L θθ
+=-+ 【解析】
【详解】
(1)杆受力图如图所示：
重力mg ，竖直向下，支撑力N ，垂直斜面向上，安培力F ，沿斜面向上，故ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意如图所示，当ab 杆速度为v 时，感应电动势E =BLv ，此时电路中电流
E BLv
I R r R r
=
=++ ab 杆受到安培力：
22B L v
F BIL r R
==
+ 由牛顿运动定律得：
mg sin θ-F =ma
解得加速度为
22sin ()B L v
a g R r m
θ=-+
(2)当金属杆匀速运动时，杆的速度最大，由平衡条件得
22sin B L v
mg R r
θ=
+ 解得最大速度
22
()sin m mg R r v B L θ
+=
(3)杆在下滑距离d 时，根据电荷量的计算公式，可得
E BLd
q It t R r r R
==
=++ 由能量守恒定律得
2
1sin 2
m mgd Q mv θ=+
解得
322244
()sin sin 2m g R r Q mgd B L
θ
θ+=- 电阻R 产生的热量
32223224444
()sin sin ()sin (sin )22R R m g R r mgdR m g R r R Q mgd R r B L R r B L θθθ
θ++=-=-
++
10．如图所示，两平行光滑的金属导轨MN 、PQ 固定在水平面上，相距为L ，处于竖直向
下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2、3、…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B、…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。

（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中，通过电阻R的电荷量q。

（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F0，让它从磁场1左侧边界处开始运动，当向右运
动距离为时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t。

（3）对导体棒ab施加水平向右的恒定拉力F1，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的水平拉力，使棒ab保持该匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab通过整个磁场区过程中回路产生的电热Q。

【答案】⑴；⑵；⑶
【解析】
试题分析:⑴电路中产生的感应电动势。

通过电阻的电荷量。

导体棒穿过1区过程。

解得
（2）棒匀速运动的速度为v，则
设棒在前x0/2距离运动的时间为t1，则
由动量定律：F0 t1-BqL=mv；解得：
设棒在后x0/2匀速运动的时间为t2，则
所以棒通过区域1所用的总时间：
（3）进入1区时拉力为，速度，则有。

解得；。

进入i区时的拉力。

导体棒以后通过每区都以速度做匀速运动，由功能关系有
解得。

考点：动能定理的应用；导体切割磁感线时的感应电动势；电磁感应中的能量转化。