2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
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2010 年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2010B1、函数 f ( x ) ◆答案： [ 3, 3 ] ★解析： 易知 f ( x ) 的定义域是 5,8 ， 且 f ( x ) 在 5,8 上是增函数， 从而可知 f ( x ) 的值域为 [ 3, 3 ] .
容易知道当 1 z 1 时， 0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时，
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
z 1 , 1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
2
所以 g ( y ) min 2
1 3 2 1 2 . 4
综上 f ( x ) 在 x [ 1,1] 上的最小值为
1 . 4
2010B 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则 轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 ◆答案：
2010B 10、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 y 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) ， 其中 x1 x 2 且 x1 x 2 4 ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 的面积的最大值。 ★解析：解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0
12 17
★解析：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
21 7 ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷）
第 2 页 共 12 页
7 5 7 5 7 7 ( )2 ( )4 12 12 12 12 12 12
1 12 . 25 17 1 144
3 2 / 2
★解析：解法一：
f (0) c, 1 3 f ( x) 3ax 2 2bx c, 由 f ( ) a b c, 得 4 2 f (1) 3a 2b c
1 3a 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( ) . 2
n 1 2
对一切正整数 n 都成立，即 6n 3 (n 1) log 9 对
一切正整数 n 都成立.从而 log 9 6,3 log 9 ，求得 3 3 , 3 ， 3 3 3 .
2010B 5、函数 f ( x ) a
PB PA1 5 , A1O B1O 2 , PO 3 .
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷）
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在直角 PA1O 中， A1O PO A1 P OE ,即
2 3 5 OE , OE 6 4 5 . 5 5
பைடு நூலகம்6 5
2010B 7、正三棱柱 ABC A1 B1C1 的 9 条棱长相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B A1 P B1 的平面 角为 ，则 sin ◆答案：
10 4
★解析：解法一：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在直线为 y 轴，建立空 间 直 角 坐 标 系 . 设 正 三 棱 柱 的 棱 长 为 2 ， 则 B (1,0,0), B1 (1,0,2), A1 ( 1,0,2), P (0, 3 ,1) ， 从 而 ，
1
1 2
2
1 1 2 ； 2 4
3 ,+) 上是递增的. 2 1 a 2 3a 1 2 8 a 1 2 a ， 2
2
a 1 时， y [a 1 , a ] ， g ( y ) max a 2 3a 2 8 a 2 ，
.
又 B1O
2 , B1 E B1O 2 OE 2 2 B1O 2 10 . B1 E 4 5 4 5
sin sin B1 EO
2010B 8、方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解 ( x, y , z ) 的个数是 ◆答案： 336675 ★解析：首先易知 x y z 2010 的正整数解的个数为 C 2009 2009 1004 . 把 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解分为三类： （1） x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1； （2） x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数，易知为 1003； (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知 1 3 1003 6k 2009 1004 ， 所以 6k 2009 1004 3 1003 1 2006 1005 2009 3 2 1 2006 1005 2004 ， 即 k 1003 335 334 335671 . 从而满足 x y z 的正整数解的个数为 1 1003 335671 336675 . 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2010B 9、 （本题满分 16 分） 已知函数 f ( x ) ax bx cx d ， （a 0） ，当 0 x 1 时， f ( x ) 1 ，求实数 a 的最大值。
m BA1 2 x1 2 z1 0, n B1 A1 2 x 2 0, ， m BP x1 3 y1 z1 0, n B1 P x 2 3 y 2 z 2 0, 由此可设 m (1,0,1), n (0,1, 3 ) ，所以 m n m n cos ，即 3 2 2 cos cos 6 10 .所以 sin . 4 4
(99 k ) 99 49 4851 .又 x 轴上有 98 个整点，
k 1
99
所以所求整点的个数为 2 4851 98 9800 .
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2010B 4、 已知数列 a n 是公差不为 0 的等差数列，bn 是等比数列， 其中 a1 3 ，b1 1 ，a 2 b2 ，
2
x1 x 2 y y2 ， 2, y 0 1 2 2
k AB
y 2 y1 y y1 6 3 . 22 2 x 2 x1 y 2 y1 y 0 y 2 y1 6 6 y0 ( x 2) . （1） 3
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y y 0
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
所以 3 a 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( ) 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( )
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1 2
1 2
8，
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所以 a 为
8 . 3
8 8 3 2 . 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值 3 3
2x
3a x 2 （ a 0 ，且 a 1 ）在区间 x [1,1] 上的最大值为 8 ，则它
在这个区间上的最小值为 ◆答案：
1 4
x
★解析：令 a y , 则原函数化为 g ( y ) y 3 y 2 , g ( y ) 在 ( 当 0 a 1 时， y [ a, a ] , g ( y ) max 所以 g ( y ) min ( ) 3 当
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
x 5 24 3 x 的值域为
2010B 2、已知函数 y ( a cos x 3) sin x 的最小值为 3 ，则实数 a 的取值范围为 ◆答案：
2
3 ,12 2
2
★解析：令 sin x t ，则原函数化为 g (t ) ( at a 3)t ，即 由
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2010B1、函数 f ( x ) ◆答案： [ 3, 3 ] ★解析： 易知 f ( x ) 的定义域是 5,8 ， 且 f ( x ) 在 5,8 上是增函数， 从而可知 f ( x ) 的值域为 [ 3, 3 ] .
容易知道当 1 z 1 时， 0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时，
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
z 1 , 1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
2
所以 g ( y ) min 2
1 3 2 1 2 . 4
综上 f ( x ) 在 x [ 1,1] 上的最小值为
1 . 4
2010B 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则 轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 ◆答案：
2010B 10、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 y 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) ， 其中 x1 x 2 且 x1 x 2 4 ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 的面积的最大值。 ★解析：解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0
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★解析：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
21 7 ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
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7 5 7 5 7 7 ( )2 ( )4 12 12 12 12 12 12
1 12 . 25 17 1 144
3 2 / 2
★解析：解法一：
f (0) c, 1 3 f ( x) 3ax 2 2bx c, 由 f ( ) a b c, 得 4 2 f (1) 3a 2b c
1 3a 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( ) . 2
n 1 2
对一切正整数 n 都成立，即 6n 3 (n 1) log 9 对
一切正整数 n 都成立.从而 log 9 6,3 log 9 ，求得 3 3 , 3 ， 3 3 3 .
2010B 5、函数 f ( x ) a
PB PA1 5 , A1O B1O 2 , PO 3 .
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在直角 PA1O 中， A1O PO A1 P OE ,即
2 3 5 OE , OE 6 4 5 . 5 5
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2010B 7、正三棱柱 ABC A1 B1C1 的 9 条棱长相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B A1 P B1 的平面 角为 ，则 sin ◆答案：
10 4
★解析：解法一：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在直线为 y 轴，建立空 间 直 角 坐 标 系 . 设 正 三 棱 柱 的 棱 长 为 2 ， 则 B (1,0,0), B1 (1,0,2), A1 ( 1,0,2), P (0, 3 ,1) ， 从 而 ，
1
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2
1 1 2 ； 2 4
3 ,+) 上是递增的. 2 1 a 2 3a 1 2 8 a 1 2 a ， 2
2
a 1 时， y [a 1 , a ] ， g ( y ) max a 2 3a 2 8 a 2 ，
.
又 B1O
2 , B1 E B1O 2 OE 2 2 B1O 2 10 . B1 E 4 5 4 5
sin sin B1 EO
2010B 8、方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解 ( x, y , z ) 的个数是 ◆答案： 336675 ★解析：首先易知 x y z 2010 的正整数解的个数为 C 2009 2009 1004 . 把 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解分为三类： （1） x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1； （2） x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数，易知为 1003； (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知 1 3 1003 6k 2009 1004 ， 所以 6k 2009 1004 3 1003 1 2006 1005 2009 3 2 1 2006 1005 2004 ， 即 k 1003 335 334 335671 . 从而满足 x y z 的正整数解的个数为 1 1003 335671 336675 . 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2010B 9、 （本题满分 16 分） 已知函数 f ( x ) ax bx cx d ， （a 0） ，当 0 x 1 时， f ( x ) 1 ，求实数 a 的最大值。
m BA1 2 x1 2 z1 0, n B1 A1 2 x 2 0, ， m BP x1 3 y1 z1 0, n B1 P x 2 3 y 2 z 2 0, 由此可设 m (1,0,1), n (0,1, 3 ) ，所以 m n m n cos ，即 3 2 2 cos cos 6 10 .所以 sin . 4 4
(99 k ) 99 49 4851 .又 x 轴上有 98 个整点，
k 1
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所以所求整点的个数为 2 4851 98 9800 .
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2010B 4、 已知数列 a n 是公差不为 0 的等差数列，bn 是等比数列， 其中 a1 3 ，b1 1 ，a 2 b2 ，
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x1 x 2 y y2 ， 2, y 0 1 2 2
k AB
y 2 y1 y y1 6 3 . 22 2 x 2 x1 y 2 y1 y 0 y 2 y1 6 6 y0 ( x 2) . （1） 3
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y y 0
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
所以 3 a 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( ) 2 f (0) 2 f (1) 4 f ( )
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所以 a 为
8 . 3
8 8 3 2 . 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值 3 3
2x
3a x 2 （ a 0 ，且 a 1 ）在区间 x [1,1] 上的最大值为 8 ，则它
在这个区间上的最小值为 ◆答案：
1 4
x
★解析：令 a y , 则原函数化为 g ( y ) y 3 y 2 , g ( y ) 在 ( 当 0 a 1 时， y [ a, a ] , g ( y ) max 所以 g ( y ) min ( ) 3 当
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
x 5 24 3 x 的值域为
2010B 2、已知函数 y ( a cos x 3) sin x 的最小值为 3 ，则实数 a 的取值范围为 ◆答案：
2
3 ,12 2
2
★解析：令 sin x t ，则原函数化为 g (t ) ( at a 3)t ，即 由