【聚焦中考】(陕西)2015中考数学总复习 第32讲 图形的相似教学案

第32讲图形的相似
某某《中考说明》
某某2012～2014年中考试题分
析
考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重
图形的相
似，了解线段的比、成比例线段，，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，的概念；，
2014
解答题20 8 相似三角形的实际
应用
解答题23(2) 4 第2问中涉及相似三
角形
2013
解答题20 8 相似三角形的实际
应用
解答题24 3
二次函数与三角形结合，涉及相似三角
形的性质
2012
选择题
5
3
相似三角
形的性质
解答题
18(2)
3
相似三角
形的判定和性质
解答题
25(1)
2
以三角形和正方形为基础图形，以问题探究的性质综合考
查利用尺规作图、正方形性质及其最值问题，涉及到位似
%
本节考查内容有：，有单独考查的，如2012年第5题，，将相似三角形与实际问题结合考查，大多以考查学生对实际问题的理解及将生活问题转化为数学问题的处理能力，这也是某某中考的一个亮点，常涉及测量问题，一般出现在解答题第20题，分值为8分，对于位似虽然未单独考查过，但在解答题第25题第1问有所涉及，故考生在复习时不容忽视，预计2015年中考在选择(填空)题中考查相似三角形的性质与判定，也可能在解答题中考查相似三角形的判定及性质或实际应用．
1．比和比例的有关概念
(1)表示两个比相等的式子叫做__比例式__，简称比例．
(2)第四比例项：若a b ＝c
d
或a∶b＝c∶d，那么d 叫做a ，b ，c 的__第四比例项__．
(3)比例中项：若a b ＝b
c
或a∶b＝b∶c，那么b 叫做a ，c 的__比例中项__．
(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较
短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段__黄金分割__．即AC 2
＝__AB ·BC__，AC ＝2
__AB≈____两__个．
2．比例的基本性质及定理 (1)a b ＝c
d ⇒ad ＝bc ； (2)a b ＝c d ⇒a±b b ＝c±d d
； (3)a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)⇒a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b . 3．平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成__比例__；
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__； (3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__，那么这条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的__相似比__． 5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等
于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题转化为相似三角形的问题； ②找出一对相似三角形；
③根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解． (2)运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题．
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比例，有身高影长＝建筑物的高度
建筑物的影长
.
8．射影定理：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．
(1)AC 2
＝AD·AB； (2)BC 2
＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2
∶BC 2
＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC. 9．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角__相等__，对应边__成比例__．
(2)相似多边形周长之比等于__相似比__，面积之比等于__相似比的平方__． 10．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线相交于__一点__，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做__位似中心__．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__． (3)利用位似图形将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点；③描出新图形．
两个注意
(1)求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位．如果单位不同，那么必须先化成同一单位，且两条线段的比是一个实数，没有单位．
(2)四条线段成比例与它们的排列顺序有关，线段a ，b ，c ，d 成比例表示成a b ＝c
d ，而线
段b ，a ，c ，d 成比例则表示成b a ＝c
d
.
“三点定形”法
证明比例式或等积式的方法主要有“三点定形”法：(1)横向定形：欲证AB DE ＝BC
EF ，横向
观察，比例式中分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；分母的两条线段是DE 和EF ，三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；
(2)纵向定形：欲证AB BC ＝DE
EF ，纵向观察，比例式中左边的两条线段AB 和BC 中的三个字
母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；右边的两条线段DE 和EF 中的三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；
(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．
四个解题技巧
判定两个三角形相似的常规思考过程是：
(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；
(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；
(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形． 五种基本思路
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．
1．(2012·某某)如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ( D )
A ．1∶2
B ．2∶3
C ．1∶3
D ．1∶4
2．(2014·某某)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB ＝；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE ＝，小明的眼睛距地面的距离CB ＝．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？
解：由题意得，∠BAD ＝∠BCE，∵∠ABD ＝∠CBE＝90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴BD BE ＝AB
CB ，
即BD 9.6＝1.7
1.2
，解得BD ＝米．答：河宽BD 是
3．(2013·某某)一天晚上，李明和X 龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图，当李明走到点A 处时，X 龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD 的长．(结果精确到0.1 m )
解：如图，设CD 长为x m ，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ，
∴EC ＝CD ＝x ，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25
x －1.75
，，所以路灯高CD 约为
相似三角形综合问题
【例1】 (2014·某某)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED⊥A B 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2
＝BF ·BO.求证：点G 是BC 的中点；
(3)在满足(2)的条件下，AB ＝10，ED ＝46，求BG 的长．
解：(1)证明：连OC ，如图，∵ED ⊥AB ，∴∠FBG ＋∠FGB＝90°，又∵PC ＝PG ，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线
(2)证明：连OG ，如图，∵BG 2
＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO ∽△BFG ，∴∠OGB ＝∠BFG＝90°，即OG ⊥BG ，∴BG ＝CG ，即点G 是BC 的中点 (3)解：连OE ，如图，∵ED ⊥AB ，∴FE ＝FD ，而AB ＝10，ED ＝46，∴EF ＝26，OE ＝5，在Rt △OEF 中，OF ＝OE 2
－EF 2
＝52
－（26）2
＝1，∴BF ＝5－1＝4，∵BG 2
＝BF·BO，∴BG 2
＝BF·BO ＝4×5，∴BG ＝2 5
【点评】 本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
1．(2014·某某)课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
解：(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC ＝AE AD ，
即2y 120＝80－y 80，解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm (2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80，解得PQ ＝80－23x.∴S＝PN·PQ＝x(80－23x)＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2
＋2 400，∴S 的最大
值为2 400 mm 2
，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23
×60＝40(mm )
相似三角形的实际应用
【例2】 我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直．已知装饰画的高度AD 为．
求：(1)装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数(精确到1°)；
(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC(精确到)．
，∴AE ＝12，在Rt △ABE 中，∵sin ∠ABE ＝AE AB ＝0.33
1.6，∴∠ABE ≈12°，∵∠CAD ＋∠DAB
＝90°，∠ABE ＋∠DAB＝90°，∴∠CAD ＝∠ABE＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12° (2)∵∠CAD＝∠ABE，∠ACD ＝∠AEB＝90°，∴△ACD ∽△BEA ，∴CD AE ＝AD AB ，∴
CD
0.33＝0.66
1.6
，∴CD ≈0.14.∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是
【点评】 本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
2．(2014·某某)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2 m ，它的影子BC ＝1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2 m ，MN ＝0.8 m ，则木竿PQ 的长度为____m .
试题 如图，在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，∠ACB ＝
∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2，问：当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？
错解 在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2－AD 2
＝ 2.要使这两个三角形相似，有AC AD ＝AB AC ，∴AB ＝AC 2
AD ＝（6）2
2
，这两个直角三角形相似．
剖析 (1)此题中，Rt △ABC 与Rt △ADC 中，∠ACB ＝∠ADC＝90°，∠B 可能与∠ACD 相等，也可能与∠CAD 相等，，有两种情况需要分类讨论．
(2)分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法．
(3)在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题．忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现．
正解 在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2
－AD 2
＝ 2.要使这两个三角形相似，有AC AD ＝AB AC 或AC CD ＝AB AC ，∴AB ＝AC 2
AD ＝（6）2
2＝3，或AB ＝AC 2
CD ＝（6）2
2＝3 2.故当AB 的
长为3或32时，这两个直角三角形相似．。