高考数学复习考点题型归类解析44圆锥曲线综合应用

高考数学复习考点题型归类解析
专题44圆锥曲线综合
一、关键能力
1.会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
2.会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．
3.会处理有关弦长、距离、角等解析几何的处理办法.
4.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.
5.理解数形结合的思想；
二、高频考点+重点题型
考点一求直线、圆、圆锥曲线的方程
例1-1.设椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心
率为
5 5.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若ON＝OF(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
例1-2.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且直线MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
例1-3.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.
(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，
求直线l 的方程．
考点二、弦长
例2-1．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（0，√3），离心率为1
2，左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l ：y =−12x +m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足|AB||CD|=5√34，求直线l 的方程．
考点三、面积
例3-1.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB ―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．
例3-2.设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，
D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点
E ．
（Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
例3-3.（2021·河北省北戴河中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24
＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，
若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 22，y 2，m·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由．
考点四、角的考察
例4-1.（2021·陕西省延安中学模拟）椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、
右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；
例4-2.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B
两点，点M 的坐标为(2，0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .
例4-3.（2021·福建省三明市第一中学模拟）已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
考点五定点问题
例5-1.（圆过定点）
(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
例5-2.（直线过定点）
(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，
P 4⎝
⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
考点六 定值问题
例6-1.（2021·辽宁省东港市第二中学模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)，过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．
例6-2.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)．当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
考点七探索三角形及四边形形状
例7-1.（2021·江西省崇义中学模拟）已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(2)若l 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
例7-2.（2021·山东省广饶第一中学模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正
半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝8611.
(1)求抛物线的方程；
(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点八 探究点在线上
例8-1．（2021·福建省莆田模拟）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且
经过A (－2，0)，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32三点． (1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆E 交于M ，N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．
巩固训练
一、单项选择题
1．已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为（ ）
A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，
C ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭，
D ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 2．焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线C 有公共点，则双曲线C 的离心率的最小值是（ ）
A
B ．3
C 3． 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点P 是抛物线C 上一动点，则线段FP 的中点Q 的轨迹方程是（ ）
A ．24(1)y x =-
B ．24y x =
C ．24(1)x y =-
D ．24x y =
4． 双曲线x 2
－y 23＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝（ ）
A ．12
B ．
C ．1
D ．2 5． 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的
半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A ．22143y x +=
B ．22143x y +=
C ．22142x y +=
D ．22
142
y x += 6．在平面直角坐标系x O y 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为（ ）
A ．12
B ．
C ．32
D ．2
二、多项选择题
7．若方程C:x 2+
y 2a =1(a 是常数)则下列结论错误的是( ) A. ，方程C 表示椭圆B.
，方程C 表示双曲线C. ，方程C 表示椭圆D.
，方程C 表示抛物线 8．已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，斜率为√3的直线l 经过点F 且与抛物线C 交于点A 、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |=8，则以下结论正确的是( )
A. p =4
B. DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA
⃗⃗⃗⃗⃗ C. |BD |=2|BF |D. |BF |=4 三、填空题
9．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA 、PB 的斜率k PA 、k PB 存在时，k PA ·k PB ＝____________．
10．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC
面积的最大值为________．
11． 对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P(a ，0)都满足|PQ|≥|a |，则a 的取值范围是________．
12．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．则△AOB 面积的最小值为．
四、解答题
13．在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，直线l ：x
－my －1＝0(m ∈R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 已知点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知椭圆C ：x 212＋y 24＝1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另外一点A(点A 在x 轴下方)，且线段AB 的中点E 在直线y ＝x 上．
(1) 求直线AB 的方程；
(2) 若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y ＝x 于点M ，N ，证明：OM·ON 为定值．。