高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 第2课时 分段函数及映射学业分层测评 新人教A版必修1

2018版高中数学第一章集合与函数概念1.2.2 第2课时分段函数及映射学业分层测评新人教A版必修1
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1。

2。

2 第2课时 分段函数及映射
(建议用时：45分钟）
[学业达标]
一、选择题
1．设函数f （x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2
x ≤1
x 2
＋x －2x >1
，
则f
（
⎭
⎪⎫
1f 2的值为( )
A 。

1516
B ．－错误!
C 。

错误!
D ．18
【解析】 当x ＞1时,f (x ）＝x 2
＋x －2，则f (2）＝22
＋2－2＝4，∴
1
f 2＝错误!，当x ≤1
时,f (x ）＝1－x 2
,
∴f 错误!＝f 错误!＝1－错误!＝错误!。

故选A 。

【答案】 A
2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤2｝，B ＝{y |1≤y ≤2｝，在下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( ）
【解析】 在A 中，当0＜x ＜1时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故A 不成立； 在B 中,当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 构不成映射，故B 不成立；
在C 中,当0≤x ≤2时，任取一个x 值,在1≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；
在D 中,当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在1≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.
【答案】 D
3．已知f (x ）＝错误!则f (3）＝（ ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
【解析】 由题意，得f (3）＝f （5）＝f (7)， ∵7≥6,∴f (7）＝7－5＝2。

故选A . 【答案】 A
4．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ,y ）｜x ,y ∈R ｝，且f :（x ，y ）→（x －y ,x ＋y ）,则与
B 中的元素(－1，1)对应的A 中的元素为( ）
A ．（0,1)
B ．（1,3）
C ．（－1,－3)
D ．（－2，0）
【解析】 由题意,错误!解得x ＝0,y ＝1，故选A . 【答案】 A
5．设f （x )＝错误!若f (x ）＝3，则x ＝（ ）
A 。

错误!
B ．±错误!
C ．－1或错误!
D ．不存在
【解析】 ∵f (x ）＝错误!f （x ）＝3, ∴⎩⎨
⎧
x ＋2＝3x ≤－1
或错误!或错误!
∴x ∈∅或x ＝错误!或x ∈∅，∴x ＝错误!.故选A 。

【答案】 A 二、填空题
6．设f （x ）＝错误!则f 错误!
的值为________，f （x ）的定义域是________． 【解析】 ∵－1〈－错误!〈0，
∴f 错误!＝2×错误!＋2＝错误!.而0〈错误!<2， ∴f 错误!＝－错误!×错误!＝－错误!。

∵－1<－错误!<0，∴f错误!＝2×错误!＋2＝错误!.因此f错误!＝错误!。

函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<0｝∪{x｜0〈x〈2｝∪｛x｜x≥2｝＝｛x|x≥－1，且x≠0}．
【答案】3
2
｛x|x≥－1，且x≠0}
7．已知函数f(x）的图象如图1.2。

5所示，则f(x)的解析式是______．
图1.2。

5
【解析】由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f（x)＝ax＋b，将(－1，0），（0,1)代入解析式，则错误!∴错误!即f(x）＝x＋1.
当0〈x〈1时，设f(x)＝kx，将（1，－1)代入,则k＝－1，即f（x)＝－x。

综上,f（x）＝错误!
【答案】f（x)＝错误!
8．若定义运算a⊙b＝错误!则函数f（x)＝x⊙（2－x)的值域为________．
【解析】由题意得f（x）＝错误!
画出函数f(x)的图象得值域是（－∞，1]．
【答案】(－∞,1］
三、解答题
9．如图1­2­6，定义在[－1,＋∞)上的函数f(x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
图1­2。

6
(1）求f（x）的解析式;
（2）写出f（x)的值域．
【解】（1）当－1≤x≤0时，设解析式为y＝k x＋b（k≠0），
则错误!得错误!∴y＝x＋1,
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1.
∵图象过点（4，0），∴0＝a(4－2）2－1，得a＝错误!,
∴f（x)＝错误!
(2）当－1≤x≤0时,y∈[0，1]．
当x〉0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0，1］∪［－1，＋∞）
＝［－1，＋∞）．
10．如图1。

2.7，动点P从边长为4的正方形A BCD的顶点B开始，顺次经C，D,A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△A PB的面积，求函数y＝f（x)的解析式．
图1­2­7
【解】当点P在BC上运动,即0≤x≤4时,y＝错误!×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝错误!×4×4＝8;
当点P在DA上运动，即8〈x≤12时，y＝错误!×4×(12－x)＝24－2x。

综上可知，f（x）＝错误!
［能力提升]
1．下列图形是函数y＝错误!的图象的是( )
【解析】由于f（0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0,－1);当x〈0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图形C符合．
【答案】C
2．集合A＝｛a,b}，B＝｛－1,0，1｝,从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f（b）＝0，
那么这样的映射f:A→B的个数是（）
A．2 B．3
C．5 D．8
【解析】由f(a）＝0,f(b)＝0,得f(a)＋f（b）＝0;由f（a)＝1，f（b)＝－1，得f（a）
＋f（b）＝0;由f(a）＝－1，f(b）＝1,得f（a）＋f（b)＝0,共3个．
【答案】B
3．已知实数a≠0，函数f(x)＝错误!若f(1－a）＝f（1＋a)，则a的值为________.
【解析】当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1,∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－错误!
(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a,解得a＝－错误!。

【答案】－错误!
4．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每
吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时,超过的部分的水费加收200％，若超过6吨而不超
过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季
度他应交的水费y(单位：元)．
【解】①当x∈［0，5］时，f(x)＝1。

2x。

②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200％，即当x∈(5，6］时，
f（x)＝1。

2×5＋（x－5）×3.6＝3。

6x－12。

③当x∈（6，7］时，f(x）＝1。

2×5＋1×3。

6＋（x－6)×6＝6x－26.4.
∴f(x)＝错误!。