高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系：第6节 线面、面面平行的综合应用

第6节线面、面面平行的综合应用
【基础知识】
1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；a⊥α⇒a∥β.
3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
4．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
5．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，a⊥α⇒a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.
6．与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；
(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
【规律技巧】
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
【典例讲解】
【例1】在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥
平面A 1MC ？请证明你的结论．
规律方法 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．
【变式探究】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．
(1)求三棱锥A －PDE 的体积；
(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1、设α表示直线,,αβγ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若a α⊥且a b ⊥，则//b α
B ．若γα⊥且γβ⊥，则//αβ
C ．若//a α且//a β，则//αβ
D ．若//γα且//γβ，则//αβ
【答案】D
【解析】A ：应该是//b α或b α⊂；B ：如果是墙角的三个面就不符合题意；C ：m α
β=，
若//a m 时，满足//a α，//a β，但是//αβ不正确，所以选D.
2、如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是________．
①BD ∥平面CB 1D 1；
②AC 1⊥平面CB 1D 1；
③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2；
④CB 1与BD 为异面直线．
【答案】①②④
【解析】易知①②正确，AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是
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，故③错；由异面直线的判定可知④是正确的．
3、已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________． 【答案】245
或24.
4、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，点M ，N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点．
(1)求证：MN ∥平面BCC 1B 1；
(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.
[证明] (1)连接BC 1，
∵点M ，N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1.
∵MN ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，
∴MN ∥平面BCC 1B 1.
(2)∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴AA 1⊥BC ．
又∵AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.
∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.
5、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，当点Q 在（ ）位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO.
A．Q与C重合B．Q与C1重合
C．Q为CC1的三等分点D．Q为CC1的中点【答案】D
【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA.
∵P、O分别为DD1、DB的中点，
∴D 1B∥PO.
又∵D 1B平面PAO，PO平面PAO，
QB平面PAO，PA平面PAO，
∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D 1B∩QB＝B，D1B、QB平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
6、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.
(1)求证：AD⊥B1D；
(2)求证：A1C∥平面AB1D；
(3)求三棱锥C－AB1D的体积．
(2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE.
∵AA 1＝AB ，∴四边形A 1ABB 1是正方形，
∴E 是A 1B 的中点，
又∵D 是BC 的中点，
∴DE ∥A 1C ．
∵DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ，
∴A 1C ∥平面AB 1D ．
(3)解：VC －AB 1D ＝VB 1－ADC ＝13S △ADC ·|BB 1|＝324
a 3. 7、如图，在四棱锥PABCD 中，底面是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点．在线段PD 上是否存在一点E ，使NM ∥平面ACE ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .
证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，
因为N ，E 分别为PA ，PD 的中点，所以NE 綉12
AD .
又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12
AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .
又EC 平面ACE ，NM 平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，
即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .
8、如图，在三棱锥A －BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6
，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、OB 的中点．
（Ⅰ）求证：CO ⊥平面AOB ；
（Ⅱ）在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．
【证明】 （Ⅰ）因为AO ⊥平面COB ，
所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO .
即△AOC 与△AOB 为直角三角形．
又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6
，AB ＝AC ＝2， 所以OB ＝OC ＝1.
由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2
，
可知△BOC 为直角三角形．
所以CO ⊥BO .
又因为AO ∩BO ＝O ，AO
平面AOB ，BO 平面AOB ， 所以CO ⊥平面AOB .
（Ⅱ）在段线CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点． 如图，连接DF ，EF ，
因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，
所以DE ∥OA .
又DE 平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .
因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，
所以EF ∥OC .
又EF 平面AOC ，所以EF ∥平面AOC .
又EF ∩DE ＝E ，EF 平面DEF ，DE 平面DEF ，
所以平面DEF ∥平面AOC .
【巩固提升】
1.直线a ∥平面α，则a 平行于平面α内的( )
A ．一条确定的直线
B ．所有的直线
C ．无穷多条平行的直线
D ．任意一条直线 【答案】C
2.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
3. 关于直线m l ,及平面βα,，下列说法中正确的是 ( )
A ．若∥α,l m 则,=βα ∥m B.若∥α, m ∥α ,则∥m
C ．若l l ,α⊥∥β,则βα⊥
D ．若∥α,∥m ，则α⊥m
【答案】C
【解析】对于A ，由∥α,,m αβ= 是不能推出∥m 的，故A 不正确；对于B ，平行于同一平面的两直线，是不一定平行的，故B 也不正确；对于C ，若一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，知C 正确；对于D ，两平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条直线只能是与此平面平行或在此平面内，是不可能和平面垂直的，故D 也不正确．故选：C ．
4.α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．
【答案】：①③
5.若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )
A ．b ⊂α
B ．b ∥α
C ．b ⊂α或b ∥α
D ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α
【答案】D
【解析】 当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.
6.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，
1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：
（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）由题意知，E 为1C B 的中点，
又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．
又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ，
所以D //E 平面11C C AA ．
7.如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.
（Ⅰ）证明：1//EF B C ；
（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.
【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；8.如图，已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱1AA ，1CC 上的中点. 求证：四边形F BED 1是平行四边形.
【错证】在正方体1111D C B A ABCD -中，平面//11ADD A 平面11BCC B ，由两个平行平面于第三个平面相交得交线平行，故FB E D //1，
同理EB F D //1，
故四边形F BED 1是平行四边形.
【剖析】主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理. 例题几何问题只有在化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.
【证明】取1DD 的中点G ，连结AG 、FG ，
因为G D AE 1=且G D AE 1//，
所以AG E D =1且AG E D //1，
又CD FG =，AB CD =且CD FG //，AB CD //， 所以AB FG =且AB FG //，
所以AG BF =且AG BF //，
所以BF E D =1且BF E D //1，
故四边形F BED 1是平行四边形.。