2013年高考安徽文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，若复数10
()3i
a a R -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）
（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D
【解析】()()()()()()()2
103i 103i 103i 10
3i 3i 3i 3i 3i 9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ． 【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题．
（2）【2013年安徽，文2，5分】知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()
R C A B =（ ）
（A ）{}
2,1--
（B ）{}
2-
（C ）{}
1,0,1-
（D ）{}0,1
【答案】A
【解析】1x >-，{|1}R C A x x =≤-，(){1,2}R C A B =--，故选A ．
【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题． （3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
（A ）34 （B ）16 （C ）1112 （D ）25
24
【答案】C
【解析】112,0,022n s s ===+=；11134,,2244n s s ===+=；33111
6,,44612
n s s ===+=；
11
8,12
n s ==，输出，故选C ．
【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题． （4）【2013年安徽，文4，5分】“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】1
(21)0,02
x x x -==或，故选B ．
【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题． （5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的
机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
（A ）23 （B ）25 （C ）35 （D ）9
10
【答案】D
【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都
被录用的可能性3种，所以最后的概率333
110
p ++==，故选D ．
【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题．
（6）【2013年安徽，文6，5分】直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）【答案】C
【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ，半径r ，所以弦长为4=，故选C ．
【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题． （7）【2013年安徽，文7，5分】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ）
（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A
【解析】188333638()
442
a a S a a a a a +=⇒=⇒+=，60a ∴=，2d =-，9726a a d =+=-，故选A ．
【点评】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解． （8）【2013年安徽，文8，5分】函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个
不同的数12,,
,n x x x ，使得
1212
()
()()
n n
f x f x f x x x x ===
，则n 的取值范围为（ ） （A ）{}2,3 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4 （D ）{}3,4,5
【答案】B
【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()
n n
f x f x f x x x x ===
表示 1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像 上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ．
【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识． （9）【2013年安徽，文9，5分】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，
则角C =（ ）
（A ）3π （B ）23π （C ）34π （D ）56
π
【答案】B
【解析】3sin 5sin A B =由正弦定理，所以535,3a b a b ==即；因为2b c a +=，所以7
3
c a =，
2221cos 22a b c C ab +-==-，所以23
C π
=
，故选B ． 【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度． （10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）
（A ）23π （B ）3π （C ）6
π （D ）0
【答案】A
【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，
由23(())2()0f x af x b ++=， 则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下： 如图则有3个交点，故选A ．
【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5
小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2013年安徽，文11，5分】函数1
ln(1)y x
=++的定义域为 ．
【答案】(]0,1
【解析】21
10011011
x x x
x x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1． 【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0．
（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量,x y 满足约束条件1
24x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩
，则x y +的最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=，
取得最大值．
【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z 取最大． （13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为 ． 【答案】13
-
【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅则22244||||cos a a b a b θ=++⋅，即2
20443||cos b b θ=+⋅， 得1
cos 3
θ=-．
【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简． （14）【2013年安徽，文14，5分】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当01x ≤≤时．()(1)f x x x =-，
则当10x -≤≤时，()f x = ．
【答案】(1)
2
x x +-
【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=，
所以(1)
()2
x x f x +=-．
【点评】考查抽象函数解析式的求解．
（15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q
为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）
①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当3
4
CQ =时，S 与11C D 的
交点R 满足113C R =；④当3
14
CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S
【答案】①②③⑤
【解析】（1）1
2
CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；（2）1CQ =，S =
，⑤ 正确，图（2）如下；（3）34CQ =，画图（3）如下：11
3
C R =，③正确；
（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；（5）102
CQ <<，如下图（5），是四边形，故①正确．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定
区域内．
（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数()sin sin()3
f x x x π
=++．
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；
（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到．
解：（1）()sin sin cos
cos sin
3
3
f x x x x π
π
=++13sin sin sin 22x x x x x =++=+
))66x x ππ=+=+，当sin()16x π
+=-时，min ()f x =
此时3262x k πππ+=+，42,()3x k k Z π
π∴=+∈，所以，()f x 的最小值为x 的集合
4{|2,}3
x x k k Z ππ=+∈．
（2）sin y x =横坐标不变，得y x =； 然后y x =向左平移
6
π
个单位，
得())6
f x x π
+．
【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解
能力，中等难度．
（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，
（1）
次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值．
解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，30
0.05n
=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成
绩不及格人数为5．据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为55
1306
-=．
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，
249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．
【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力． （18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为
2的菱形，60BAD ∠=．已
知2,PB PD PA === （1）证明：PC BD
⊥；
（2）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积． 解：（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =．
由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O =知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．
（2）因为E 是PA 的中点，所以11
22
P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2PB PD AB AD ====
知，ABD PBD ∆∆≌．因为60BAD ∠=︒，所以PO AO == AC =1BO =．
又PA =222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故1
·32
APC S PO AC ∆==．
由（1）知，BO ⊥面APC ，因此1111
(2232)
P BCE B APC APC V V BO S --∆===．
【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考
查空间观念，推理论证能力和运算能力．
（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数
1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足'()02
f π
=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1
22n
n n a b a =+
（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅
，
1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（
），121'()02
n n n n f a a a a π
+++=-+-=， 所以122n n n a a a ++=+ {}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+
⋅=+（）． （2）1111
22121222n
n n a n n b a n n +=+
=++=++
（）（）（），
21112211122=3131122212
n n n n n n S n n n n ++=+++-=++--（-）
（）（）．
【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和
运算能力．
（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>．
（1）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-；
（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，22
1a
x a
=
+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<， 因此区间20,1a a I ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
=，区间长度为2
1a a +． （2）设()2
1d a a
a =+，则()22211a a a d -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>，
()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最 小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而
23
2232
11211<111211k
d k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==+(+)-++(+)，故()1)1(d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2
122k
k k --+．
【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的
能力．
（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为4
，且过点P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E
．取点A ，连接AE ，
过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．
解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C
过点P ，所以2223
1a b
+=，故28a =，24b =，
从而椭圆C 的方程为22184
x y
+=．
（2）由题意，E 点坐标为()00,x ．设(),0D D x
，则(0,AE x =-
，(,D AD x =-．
再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=．由于000x y ≠，故0
8
D x x =-
． 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线QG 的斜率000
2000
88QG y x y x x k x ==--． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=①从而00
2QG x k y -
=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②
将②代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．③再将①代入③，化简得220020x x x x -+=． 解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．
【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运
算能力．。