平行四边形的判定 新人教版

3
D
2
C
∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
随堂练习 6
已知:如图,在□ ABCD中,BF=DE. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 证明:
′ ∵四边形ABCD是平行四边形,
D
E
C
A
F
B
∴DC∥AB,DC=AB. ∵ DE=BF, ∴CE=AF, ∴四边形AFCE是平行四边形.

.
4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF 平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
[创新思维] 1、以△ABC的三条边为边在BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、 等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
.
2．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB 于E．求证：BE=CF．
八年级数学(下)第十八章
1.平行四边形(3) 平行四边形的判定
回顾与思考 2
平行四边形的性质(三种语言)
定理:平行四边形的对边相等.
′
∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AB=CD,BC=DA.
A
B C
D
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
回顾与思考 3
3
D C
我思,我进步4
平行四边形的判定P79
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 . 已知:如图,在四边形ABCD中 A D
,∠A=∠C,∠B=∠D.
′
求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: ∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∠A+∠C+∠B+∠D=3600.
∴ 2∠A+2∠B=3600. ∴∠A+∠B=1800. ∴AD∥BC. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

.
1．如图所示．在平行四边形ABCD中， △ABE和△BCF都是等边三角形．求证： △DEF是等边三角形． 2、如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC， CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平 分．
3、 如图所示．ABCD中，DE⊥AB于E， BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．

。
已知：如图4-12， ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，M， N分别是AD，BC的中点．求证： 四边形MENF是平行四边形．
4．已知：如图4-23，P是等边△ABC内一点， PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC．求证：PD+PE+PF为定 值．
A F
P
E
B
C D

已知：如图，在□ ABCD中，AE⊥AD交BD于 E．若CD= 1 DE ,求证：∠ADB= 1
D
C
回顾
思考
平行四边形的判定(三种语言)
定理:两组对边分别相等的四边形是平行 四边形. A
∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
B C D
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形.
∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.
回顾
思考
平行四边形的判定(三种语言)
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A ∵AO=CO,BO=DO, O ∴相等的四边形是平行四边形. ∵∠A=∠C,∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B C D
下课了!
结束寄语
•
•
严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰，因果相应,言必有据.是初 学证明者谨记和遵循的原则.
A
1 2
B
P
D
3
E C

.
1、如图在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中 点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H，试 说明四边形EGFH的形状。 2、如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E， CF⊥BD于点F，求证：四边形AECF为平行四 边形。
A
D
A
E
D F
G H B F C
E B C
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. 定理:等腰梯形的两条对角线相等.
A D
B A D
C
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴AC=DB..
B
C
回顾与思考 5
等腰梯形的判定(三种语言)
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
A 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. B 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. A 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. B D
求证:PD+CD=BC.
证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E. ∵四边形ABCD是平行四边形, ′ ∴AB∥CD,AD∥BC. ∴PE∥CD∥AB, ∴ ∠1＝∠3, 四边形PDCE是平行四边形.
∴ PD=EC,PE=CD. ∵ ∠1＝∠2. ∴∠3＝∠2. ∴PE=BE. ∴PD+CD=BE+EC=BC.
A
1
D
2
B
C
随堂练习 3
平行四边形的判定P78
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线 A AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. 1 O 求证:四边形ABCD是平行四边形. 4 2 B 证明: ∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2, ∴△AOD≌△COB(SAS). ∴∠3=∠4. ∴AD∥CB. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
2
.
2
∠BDC
已知：如图4-21，在
ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角 形．求证：△DEF是等边三角形．
C
议一议
2
平行四边形的判定P78
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中 ,AB∥CD,AB=CD. ′ 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:连接AC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠1=∠2. ∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SAS).. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的性质(三种语言)
定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形 ′ ∴CO=AO,BO=DO.
B
A
O
D
C
定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
∵ MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
P
M
A C
D
Q
N
B
回顾与思考 4
等腰梯形的性质(三种语言)
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
C
D
C
行家看门道 1
平行四边形的判定P77
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD A 中,AB=CD,BC=DA.. 4 1
求证:四边形ABCD是平行四边形. B 证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4.
B
C
随堂练习
随堂练习


已知:如图,在□ABCD中,AE平分∠BAD, 交DC的延长线于点E,CF平分∠BCD,交 F BA的延长线于F. A D 求证:四边形AECF是 平行四边形.
B C
E

.
6、如图所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交 AC于F．求证：AE=CF． 7、已知，如图，AD为△ABC的 中线，E为AC上一点，连结BE 交AD于点F，且AE=FE，求证： BF=AC
做一做
5
已知:如图. 求证:四边形MNOP是 平行四边形. ′ 证明:
2 2
P
11-x
M
5 O
4
x-3
x 3 x 5 4 .
2
x 8.
x-5
N
MN 5 PO. PM 3 ON .
∴四边形MNPO是平行四边形.
随堂练习 7
已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD 相交于点P.
A
[能力提高]
E F B D C
独立 作业
P79习题3.2 2题
F E O
2
2.已知:如图, AC,BD是□ABCD的两条对 A 角线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是E,F. 1 B 求证:AE=CF. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2.
∵∠AED=∠CFB=900, ∴△AED≌△CFB(AAS). ∴AE=CF.