河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题-附参考答案

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试卷
命题人：鲍芳 王海涛 审核人：邱蕊说明：
1.考试时间120分钟，满分150分；
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；
3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．
卷Ⅰ(选择题 共60分)
选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．）
1．已知复数，则
（ ）
i i
z 2131+-=
=z A. 2B. C. D. 5
2
10
2．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线
)0,0(122
22>>=-b a b y a x ）（3,2的准线上，则双曲线的方程为
（ ）
x y 742=A. B. C. D.
1432
2=-y x 1342
2=-y x 128212
2=-y x 121282
2=-y x 3．已知x 与y 之间的一组数据：
若求得关于y 与x 的线性回归方程为：，则m 的值为 （ ）
7.02.2ˆ
+=x y A.1B.0.85
C.0.7
D.0.5
x 0123y
m
3
5.5
7
4.若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数（ ）
l 42
2=+y x 32l 1322
=+y x A. 1个
B. 2个
C. 1个或2个
D. 1个或0个
5．已知直线，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，l m ,βα,βα⊂⊥l m ,//αβm l ⊥αβ⊥则；③若，则； ④若，则．//m l m l ⊥αβ⊥//m l αβ⊥其中正确的命题是 （ ）
A.①④
B.③④
C.①②
D.②③
6．已知中，,，求证：.证明：
ABC ∆ 30=∠A 60=∠B b a <,60,30 =∠=∠B A ，，画线部分是演绎推理的
（ ）
B A ∠<∠∴b a <∴A. 大前提
B. 小前提
C. 结论
D. 三段论
7．如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是 1111D C B A ABCD -1BD θθ（ ）
A. B. C. D. 65π43π32π5
3π8．下列说法：
①残差可用来判断模型拟合的效果；
②设有一个回归方程：，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；
x y 53ˆ
-=③线性回归直线：必过点；
a x
b y ˆ
ˆ
ˆ
+=）（y x ④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中
22⨯079.132
=k %99）；
001.0)828.10(2=≥k P 其中错误的个数是 （ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
9．若函数
在区间上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）
x x x f ln 1621)(2
-=
]2,1[+-a a A. B. C. D. )3,1()3,2(]2,1(]
3,2[
10．若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为
（ ）
A. B. C. D. π23π23π3π
311．如图，在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是 1AC A BD A 1H （ ）
A ．点是的垂心
B ．的延长线经过点H BD A 1∆AH 1
C C ．垂直平面
D ．直线和所成角为AH 1
1D CB AH 1BB
45
已知函数,
，若对任意，存在使，13)(3--=x x x f a x g x
-=2)(]2,0[1∈x ]2,0[2∈x 2)()(21≤-x g x f 则实数a 的取值范围 （ ）
A. B. C. D.]5,1[]5,2[]
2,2[-]
9,5[卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.观察下列各式：
，则的末四位数字为________．...781255,156255,312557
65===2016514.椭圆在其上一点处的切线方程为.类比上述结论，双曲线
)0(122
22>>=+b a b y a x ),(00y x P 12020=+b y y a x x 在其上一点
处的切线方程为_________．)0,0(122
22>>=-b a b y a x ),(00y x P 15.直线与圆：
的位置关系是_________．01:=-+-m y mx l C 5)1(2
2=-+y x
16.如图，抛物线和圆
，其中，x y C 2:21=41)21(:222
=+-y x C 0>p 直线经过的焦点，依次交于四点，则的
l 1C 21,C C D C B A ,,,⋅值为 ____．
三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. (本题满分10分)
已知坐标平面上两个定点，(0,0)O ，动点(,)M x y 满足：
．
)4,0(A OM
MA 3=
（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记(1)中的轨迹为C ，过点
的直线l 被C 所截得的线段的长为，求直线l 的方程．)
1,21(-N 22(本题满分10分)
如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面
ABCD P -PA ，
ABCD ，是的三等分点，2,1===BC AB PA F E ,PD （1）求证：平面；//FB EAC （2）求证：平面⊥平面；EDC PAD （3）求多面体PB AEC -的体积．19. (本题满分10分)
某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程
不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计
30
30
60
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：
2()
P K k ≥0.050.0250.0100.0050.001k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++）
20.(本题满分10分)
已知圆，点是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点
8)1(:2
2
=+-y x C )0,1(-A P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．
21. (本题满分10分)
已知函数
，曲线在点处的切线方程为．c bx ax x x f +++=2
3)()(x f y =))0(,0(f P 13+=x y （1）若函数在时有极值，求表达式；
)(x f y =2-=x )(x f （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
)(x f y =]1,2[-a 22. (本题满分10分)
已知函数
．)0()(>-=a e ax x f x （1）当时，求函数的单调区间；1=a )(x f （2）当时，求证：.e a +≤≤11x x f ≤)(唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学答案
一、选择题：1-4:BBDC 5-8:ABCB 9-12:CDDB ；
二、选择题：13. 0625；14. ；15.相交； 16..
002
21x x y y
a b -=三、解答题：
17.（1） 由
得
OM
MA 3=2
2223)4()0(y x y x +=-+-
化简得：
，轨迹为圆 ---------------4
49
21(22=
++y x （2）当直线l 的斜率不存在时，直线
符合题意；
----------------６
21
:-
=x l 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：)
21
(1+=-x k y 由圆心到直线的距离等于得
2134
-
=k 此时直线l 的方程为：
----------------10
)
21
(341+-=-x y 18.（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，因为E 为FD 的中点，G 为BD 的中点，所以,又因为EG EAC ⊂平面,PB EAC ⊄平面，EG FB //所以平面EAC
-------------------------4
//FB (2)平面,,.
⊥PA ABCD ABCD CD 平面⊂CD PA ⊥∴，,,,是矩形ABCD CD AD ⊥PAD CD 平面⊥∴EDC CD 平面⊂.
------------------------8
PAD EDC 平面平面⊥∴（3）
PB EAC P ABCD E ADC V V V ---=-,因为E 为PD 的三等分点，PA ABCD ⊥平面,
所以点E 到平面ADC 的距离是,即,PA 31ABCD
P ADC ADC E V PA S V -∆-==61
31.31所以
--------------------12
95
65=
=-=----ABCD P ADC E ABCD P EAC PB V V V V 19.（1）由公式 ，
879
.767.630303030)100400(602
2
<≈⋅⋅⋅-=K 所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．---------------------4
（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020m
m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，
-----------------------------6
从中选出3人的基本事件数有20种 ----------------------8恰有两名男生一名女生的事件数有12种
---------------------10
所以
---------------------12
53
=
P 20.（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴
AQ PQ
=．
又
2
CP CQ QP =+=，∴
22
CQ QA CA +=>=．
∴曲线E 是以坐标原点为中心，
()
1,0C -和
()
1,0A 为焦点，长轴长为22设曲线E 的方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>．
∵1,2c a ==，∴2211b =-=．
∴曲线E 的方程为2
21
2x y +=．
------------4
（2）设
()()
1122,,,M x y N x y ．
联立2
2{1
2
y kx m x y =++=消去y ，得()
222124220k x kmx m +++-=．
此时有2
2
16880k m ∆=-+>．由一元二次方程根与系数的关系，得
122
412km
x x k -+=+，
21222212m x x k -=+． -----------------6
∴
2
22
22422141212km m MN k k k --⎛⎫=+-⨯ ⎪++⎝⎭()
2222
1821
12k k m k +=-++∵原点O 到直线l 的距离
21m d k =
+，
∴
1
·2
MON S MN d ∆=
=
()
2222221
12m k m k -++． -------------------8
由0∆>，得2
2
210k m -+>．又0m ≠，∴据基本不等式，得
()
222
2122·2MON
m k m S ∆+-+≤=
．当且仅当
22
212k m +=时，不等式取等号．∴MON ∆2
．
-------------------------12
21.解：（1）f′（x ）=3x2+2ax+b
∵曲线y=f （x ）在点P （0，f （0））处的切线方程为y=3x+1．
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=-=0
)2()
0(3)0(3)0(''f x f y f 解得a=，b=3，c=1415
∴
------------------------4
13415)(2
3+++
=x x x x f (2)
上恒成立 -----------------------6在0323)(2
'≥++=ax x x f []1,2-①当时，解得
----------------------8
63≤≤-a 33≤≤-a ②当时，解得
，所以无解
-----------------------10
6>a 415
≤
a ③当时，解得，所以无解3-<a 3-≥a 综上 -----------------------12
33≤≤-a 22.(1)当a=1时，f(x)＝x －ex.令f′(x)＝1－ex ＝0，得x ＝0.
当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．------------4
(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.
①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；------------6
②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，
当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，
∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，
∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，
∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，
∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．
综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.----------------12。