上海市金山中学高二数学下学期期中试题

金山中学2014学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．双曲线13
22
=-y x 的两条渐近线的方程为
0x = ． 2．若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为 4 .
3．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线AB 和1CC 的距离为 2 ． 4．过点(3,4)P 的圆2225x y +=的切线方程为 34250x y +-= ．
5．椭圆
22
1259
x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = 4 . 6．已知三棱锥ABC P -满足PC PB PA ==，则点P 在平面ABC 上的射影是三角形ABC 的
外 心.
7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V =
16
+
． 8．在北纬60圈上有,A B 两地，他们在纬度圈上的弧长等于
2
R
π(R 是地球的半径)，则,A B 两地的球面距离是
3
R
π .
9．将一个半径为2
10．已知抛物线x y 342
=的准线过椭圆22
221(0,0)x y a b a b +=>>的一个焦点，椭圆的长轴长是短
轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 14
22
=+y x . 11．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD AA ===，点
E 在棱AB
上移动，当AE = 1D E 与平面11AA D D 所成角为45.
12．空间四边形,8,ABCD AB CD M N P ==、、分别为BD AC BC 、、的中点，若异面直线AB 和CD 成60的角，则MN =
4或
13．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，1DD 中点为Q ，过A 、Q 、1B 三点的截面面积为 9
8
．
第7题
A
错误
错
第13题
14．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()4,3,2,1=i a i ，此四边形内任一点P 到第i 条
边的距离为()4,3,2,1=i h i ，若k a a a a ====43214321，则12342234S h h h h k
+++=；根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积为()4321,,,i S i =，此三棱锥内任一点Q 到i 个面
的距离为()1,2,3,4i H i =，若
k S S S S ====4
3214
321，则=+++4321432H H H H 3V
k
. 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．“方程
22
121x y m m -=++表示双曲线”的一个充要条件是 （ C ） A ．21m -<<- B ． 0m < C ．2m <-或1m >- D ．0m >
16．已知A ，B ，C ，D 是空间四点．命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC
和BD 不相交，则甲是乙成立的 （ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A B C D E F 、、、、、这六个字母，现放成下面
三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A B C 、、对面的字母依次分别为 （ C ）
第18题
错误！未找到引用源。

第17题
错误！未找到引用源。

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三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分，第（1
）小题4分，第（2）小题
8分）
如图，在体积为
16的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
点M 是
1DD 的中点，12DD AD
=． （1）求棱BC 的长；
（2）求异面直线1AD 与1C M 所成角的大小．
解：（1）
2BC = …………………………4分 （2）连1BC ，则11//BC AD
1MC B ∴∠或其补角为直线1AD 与1C M 所成的角 …………6分
在1MC B ∆中，11MC BC MB ===
1cos MC B ∴∠=
直线1AD 与1C M 所成角的大小为arccos 5
…………12分
20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，已知PA ⊥平面ABCD ，
1
12
PA AB
AD CD ====，90BAD ADC ∠=∠=．
（1）求直线PD 与平面PAB 所成角的大小； （2）求点B 到平面PCD 的距离． 解：（1）
PA ⊥平面ABCD ，PA AD ∴⊥，
又
090BAD ∠=AD ∴⊥平面PAB
DPA ∴∠是直线PD 与平面PAB 所成的角 …………3分
C A 1 第19题
P
B
C
D
A
第20题
4
DPA π
∠=
，所以直线PD 与平面PAB 所成的角为
4
π
…………6分 （2） B PCD P BCD V V --= ………………8分
而111
211323
P BCD V -=
⋅⋅⋅⋅= ………………………10分
PD
PCD S ∆， ………………………12分
13B PCD PCD V S d -∆=⋅
，所以2d =，即点B 到平面PCD
的距离为2
……14分
21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 如图，在四棱锥CD P AB -中，底面CD AB 为矩形，PA ⊥平面CD AB ，点E 在线段C P 上，C P ⊥平面D B E ． （1）求证：D B ⊥平面C PA ；
（2）若1PA =，2D A =，求二面角C B P A --的大小． 解：（1） 证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面 ∴PA BD ⊥．
同理由PC BDE ⊥平面，可证得PC BD ⊥． 又PA
PC P =，∴BD PAC ⊥平面． …………………………………6分
（2）解法一：设,AC BD 的交点为O ，过点O 作OF PC ⊥于点F ，连BF
易证BFO ∠为二面角C B P A --的平面角 …………………………………9分 由（1）知BO AC ABCD ⊥∴为正方形2AB ∴=，
在Rt BFO ∆
中，tan 33
BO OF BFO ==
∴∠=， ∴二面角B PC A --的大小为arctan 3…………………………………14分
解法二：
分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A xyz -． 由(1)知BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面， ∴BD AC ⊥． 故矩形ABCD 为正方形，∴2AB BC CD AD ＝＝＝＝．
∴00020022()()00(20001)()()A B C D P ，
，，，，，，，，，，，，，． ∴ ()()()2,0,1,0,2,0,2,2,0PB BC BD ===-．
A
D
C
P
第21题
B
E
设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0
n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2000200x y z x y z +⋅-=⎧⎨⋅++⋅=⎩，
∴20
z x
y =⎧⎨=⎩，取1x =，得(1,0,2)n =． ∵BD PAC ⊥平面，∴(2,2,0)BD =-为平面PAC 的一个法向量． 所以10cos ,n BD n BD n BD
⋅<>=
=-
． 设二面角B PC A --的平面角为α，由图知02
π
α<<
，则10cos cos ,D n α=B
=
∴二面角B PC A --的大小为 …………………………………14分
22．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）
如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等. 铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ，加工中不计损失）.
（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.
第22题
图2
解：设钉身的高为h ，钉身的底面半径为r ，钉帽的底面半径为R ，由题意可知：……1分 （1） 圆柱的高382==R h ………………………………………2分
圆柱的侧面积==rh S π21π760……………………………………………3分 半球的表面积πππ108342
1
222=+⨯=
R R S ……………………………5分 所以铆钉的表面积21S S S +=πππ184********=+=(2
mm )……7分
（2）πππ240024100121=⨯⨯=⋅=h r V …………………………9分 3
1371819323421332π
ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=
R V …………………11分 设钉身长度为l ，则l r V ⋅=23πl π100= …………………12分 由于213V V V +=,所以l ππ
π1003
137182400=+
， …………………14分 解得70≈l mm ………………15分
答：钉身的表面积为2
1843
mm π，钉身的长度约为mm 70． ………16分 23 ．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是2
2
440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点． （1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形 曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．
（3）过点A 作直线l 分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M N 、，求||MN 的最大长度．
解：（1）设双曲线的方程为()22
2210,0x y a b a b -=>>，在已
知圆的方程中，令0y =，得2
40x -=，即2x =±，则双曲
第23题
线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是2a =
令2y =，可得2
80x -=
，解得x =±
()
2±，则
22
84
12b -=所以2b =， 所以所求双曲线方程为
22
144
x y -= ……………………4分 （2）由（1
）得双曲线的两个焦点()1F -
，()
2F …………………… 5分
当1290F PF ︒
∠=时，设点(),P x y ，
①若点P 在双曲线上，得224x y -=， 由120FP F P ⋅=，
得(
2
22
080x x y
x y
+-+=⇒-+=由2222
4
80
x y x y ⎧-=⎨-+=⎩，解
得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
(
(1
234,,,P P P P …… 8分 ②若点P 在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120FP F P ⋅=，
得(
2
0x x y +-+=，由2222
44080
x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩无解…………………… 11分 综上，满足条件的点有4个，分别为
(
(1
2
34,,,P P P P …………………… 12分
（3）设点M N 、的横坐标分别为M N x x 、，
①当直线l 斜率不存在时，可求得||8MN = …………………… 14分 ②当直线l 斜率存在时，设直线:(2)l y k x =+，则：
2222
22
(2)(1)(44)4840440
y k x k x k k x k k x y y =+⎧⇒++-+--=⎨+--=⎩， 以上方程有一根为2-且两根之和21224841k k x x k --=+，所以22242
1
M k k x k -++=+，
由两半圆关于x 轴对称可求得22
242
1N k k x k --+=+，
2|8|||||81M N k MN x x k ∴=-==<+，
所以||MN 的最大长度为8． …………………… 18分。