Chp3-正弦稳态电路分析

u(t) 0
I k
0
U k 0
注意：这里用到了正弦量的有效值，以后没有特别说明，相量表示都用有效值
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
相量的计算
正弦量+、－
复数+、－
u1(t ) 2 U1 sin(w t 1 ) Im( 2U1ejw t )
u2(t ) 2 U2 sin(w t 2 ) Im( 2U2ejw t )
jsin(
π)
j
2
2
-j π
-jA Ae 2
ej(π) cos(π) jsin(π) 1 - A Aejπ
Im
jA
A
0
Re
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子 “一乘(j/-j/-1)就转” A jA
3 正弦稳态电路分析（3.2 正弦交流电的表示法） 对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量 2. 旋转矢量法 对于正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行 w t1
的描述形式，不等同于正弦量
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
例：已知 i1 12sin(314t 450 ) A i2 2sin(314t 450 ) A 计算i1+i2
解： 必须先将正弦量写成标准形式才能用相量表示
用+或-取决于初相 位结果不超过180
i2 2sin(314t 450 ) =2sin(314t 450 1800 ) 2sin(314t 1350 ) A
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
3. 纯电容电路
（1）元件约束关系（电流电压关系）
i (t)
+
u-C(t)
C
时域模型
i(t) C duC (t) dt
得到：ULm wLIm =X LIm UL X LI 元件约束关系依旧满足欧姆定律
其中： XL wL 感抗 单位为Ω
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
uL
(t)
L
di(t) dt
w LI m

cos(w
t
i
正弦稳态电路分析
3 正弦稳态电路分析
3.1 正弦交流电的基本概念
1. 正弦量的三要素
t 时刻瞬时值
i + u_
i(t)=Imsin(w t + )
相位
(a) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(b) 角频率(angular frequency) w
w
2π
f
2π T
单位： rad/s
uR (t) Ri(t) RIm sin(w t i ) URm sin(w t u )= 2UR sin(w t u )
I Ii
UR R I
UR URu =RIu RIi RI
结论： 1. 电阻上的电流电压相量关系也满足欧姆定律 2. 电阻上的电流电压同相
I
+
U R
R
-
相量模型
？为什么要用相 量表示正弦电流
i a
+
uS _
b
iR iS
R
R 2 i ?
uS 10sin(w t 300 ) iS 2sin(w t 600 ) iR uS / R 5sin(w t 300 )
i iR iS ?????
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
3 正弦稳态电路分析（ 3.2 正弦交流电的表示法）
延伸到基尔霍夫电流、电压定律的应用
i(t) 0
i(t) Ikm sin(wt k ) Im[Ikme jk e jwt ] Im [Ikme jk e jwt ] Im [ 2Ikejwt ] Im[ 2ejwt Ik ] 0
3 正弦稳态电路分析（3.1正弦交流电的基本概念）
(2) 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umsin(w t+ u), i(t)=Imsin(w t+ i) 相位差 = (w t+ u)- (w t+ i)= u - i
u, i u i
>0， u 超前i ，或i 滞后 u
wt
不说 u 滞后 i 270°
或 i 超前 u 270°
规定： | | (180°)
3 正弦稳态电路分析（3.1正弦交流电的基本概念）
(3) 周期量的有效值(effective value)
(a) 定义
I 1 T i 2 (t )dt
T0
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
有效值也称方均根值或均方根值 (root-mean-square，简记为rms)
时域模型
uR (t) Ri(t) RIm sin(w t i )
i u
URm sin(w t u )= 2UR sin(w t u )
得到： URm RIm UR RI 电流电压最大值（有效值）关系满足欧姆定律
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
论证同频复数加法与正弦量加法之间的关系
i Im sin(w t ) 相量表示法 I m =Im Im (cos jsin) Imej 复数：Ime j(wt ) Ime jwt e j = I m e jwt Im cos(w t ) j Im sin(w t ) 正弦量： i Im sin(w t ) Im[Ime j(wt) ] Im[I m e jwt ] 复数的虚部就是正弦量
A
t1
A
有向线段：A
A A
i(t)=Imsin(w t + )
此例： A Im 0 旋转角频率为w
有向线段在纵轴投影：|A|sin(w t1)=Imsin(w t1 )
t=0时刻：A=|A|
有向线段纵轴投影：|A|sin()
正弦量瞬时值：i(t)=Imsin( )
t=tk时刻：
投影：|A|sin(w tk) 瞬时值：i(t)=Imsin( w tk )
i1 I1m sin(w t 1) Im[I1m ejwt ] i2 I2m sin(w t 2 ) Im[I 2m ejwt ]
i i1 i2 Im[I1mejwt ] Im[I2mejwt ] Im[(I1m I2m )ejwt ] Im[Imejwt ]
Im I1m I2m Ime j i Im[Ime j e jwt ] Im[Ime j(w t ) ] Im sin(w t )
三角函数式 A A (cos jsin )
指数式 A A e j
极坐标 A A
转换关系 a A cos
b A sin
A a2 b2 arctan b
a
3 正弦稳态电路分析（3.2正弦交流电的表示法） (b) 复数的运算
加减运算——直角坐标 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
乘除运算——极坐标
( ) A1 A2 A1 A2 1 2
(c) 旋转因子
复数 ej = cos + jsin = 1∠
欧拉公式
Aej A ejej A ej( )
A逆时针旋转一个角度 ，模不变
jπ
π
π
e 2 cos jsin j
2
2
jπ
jA Ae 2
j( π )
e2
cos(
π)
U R I
相量图
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
（2）功率关系
i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
瞬时功率：
uR (t) URm sin(w t u )= 2UR sin(w t u )
pR uRi URm Im sin2 (w t i ) 2UR I sin2 (w t i ) UR I[1 cos 2(w t i )]
)
ULm sin(w t i 90) ULm sin(w t u )
I Ii
UL jXL I
UL ULu X L I u X L I (i 900 ) jX LI
结论： 1.电感上的电流电压相量关系也满足欧姆定律 2. 电感上的电压超前电流900
I
+
U jwL
相量模型
U
I
相量图
u(t ) u1(t ) u2(t) Im( 2U1ejw t ) Im( 2U2ejw t )
Im( 2U1ejw t 2U2ejw t ) Im[ 2(U1 U2 )ejw t ]
U U1 U2
u1(t) u2 (t) = u3 (t)
U
注意：相量表示式只是正弦量
U 1 U 2 U 3
2. 纯电感电路
（1）元件约束关系（电流电压关系）
i(t)
+ uL (t) L -
时域模型
di(t) uL (t) L dt
i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
uL
(t)
L
di(t) dt
w LI m
cos(w
t
i
)
u i 900
ULm sin(w t i 90) ULm sin(w t u )
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）
（2）功率关系
i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
瞬时功率：
uL (t) ULm sin(w t i 90) ULm sin(w t u )
pL uLi ULm sin(w t i 90)Im sin(w t i )
0
wt
<0， i 超前 u，或u 滞后 i
u i
相位差是基于两个正弦量同频的基础上
3 正弦稳态电路分析（3.1正弦交流电的基本概念）
特殊相位关系
= 0， 同相
= ( 180o ) ，反相
u, i 0
u, i
u
i
u
i
wt
0
wt
u, i u i
0
= 90°
u 超前 i 90°
或 i 滞后 u 90°
(b) 正弦电流（电压）有效值
i(t ) Im sin(w t ) 2I sin(w t )
Im 2I
有效值表示方式为大写字母U或I，没有下标
3 正弦稳态电路分析
3.2 正弦交流电的表示法
1. 复数
复平面上点的矢量表示
(a) 复数的表示形式
Im
A
b
|A|
0
a Re
直角坐标 A a jb
3 正弦稳态电路分析（3.2 正弦交流电的表示法）
3. 相量表示法
正弦量可以用一个旋转的有向线段（矢量）来表示，而有向线段可以用复数
来表示，复数的模表示正弦量的大小（幅值），复数的辐角表示正弦量的初
相位。把表示有向线段的复数称为相量。 注意这个点不能少
i Im sin(w t ) 相量表示法 Im =Im Im (cos jsin)
I1 12 (450 ) 12 [cos(450 ) jsin(450 )] 6 j6 A
2
2
I 2 2 (1350 ) 2 [cos(1350 ) jsin(1350 )] 1 j A
2
2
I I1 I 2 (6 j6) (1 j) 5 j7
52 72arctan( 7) 8.6 54.50 5
1 2
U
Lm
I
m
sin
2(w
t
i
)
ULI
sin
2(w
t
i
)
有功功率P：
PL
1 T
T 0
pLdt
1 T
T
0 ULI sin 2(w t i )dt 0
无功功率Q（瞬时功率最大值）：QL
结论：
ULI
XLI 2
U
2 L
XL
电感不耗电
1. 电感平均功率为零说明电感不是耗能元件，而是储能元件
2. 电感与电源能量交换的最大规模用无功功率表示，单位为乏(var)
i 8.6 2 sin(314t 54.50 ) 11.6sin(314t 54.50 ) A
3 正弦稳态电路分析
3.3 单一元件的交流电路
1. 纯电阻电路
（1）元件约束关系（电流电压关系）
i(t)
+
uR(t) R -
uR (t ) Ri(t ) i(t) Im sin(wt i ) 2I sin(wt i )
w d(wt )
dt
(c) 初相位/角(initial phase angle)
相位随时间的 变化率
i(t) t0 Im sin
t = 0时的相位
3 正弦稳态电路分析（3.1正弦交流电的基本概念）
i i(t)=Imsin(w t+)
i =/2
Im
wt
波形图
00
00
t
=0
=-/2
一般 | |
平均功率P（有功功率）：
PR
1 T
T 0
pR dt
1 T
T
0 UR I (1
cos 2(w t
i ))dt
URI
I 2R
UR2 R
结论： 1.电阻上的瞬时功率始终大于零，说明电阻是纯耗能元件 2. 平均功率是器件的实际耗电功率，单位为瓦(W)
3 正弦稳态电路分析（3.3 单一元件的交流电路）