北安市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

北安市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
α(sin15,cos15)-o
o
2
cos αA ．
B ．
C.
D ．0
12+123
4
2． 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（
）
①三棱锥M ﹣DCC
1的体积为定值
②DC 1⊥D 1M
③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．
A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．②③④
3． 矩形ABCD 中，AD=mAB ，E 为BC 的中点，若，则m=（
）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
4． 下列命题中正确的是（
）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“
”
5． 设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n
B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n
C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β
D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
6． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ）
A ．{5}
B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅7． i 是虚数单位，
=（
）
A ．1+2i
B ．﹣1﹣2i
C ．1﹣2i
D ．﹣1+2i
8． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
9． 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB 所在的直线方程是（ ）
A ．y=x ﹣4
B ．y=2x ﹣3
C ．y=﹣x ﹣6
D ．y=3x ﹣2
10．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）
A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7
12．=（）
A．﹣i B．iC．1+i D．1﹣i
二、填空题
13．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．　
14．已知i是虚数单位，复数的模为 ．
15．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为 ．
16．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于 ．
17．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
18．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
三、解答题
19．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
20．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：AD ＝；
12
2b 2＋2c 2－a 2（2）若A ＝120°，AD ＝，＝，求△ABC 的面积．
192
sin B sin C 35
21．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n 。

22．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这
,,A B C
三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对三项重点工程竞标成功的概率分
,,A B C 别为，，
，已知三项工程都竞标成功的概率为，至少有一项工程竞标成功的概率为．a b 14()a b 12434
（1）求与的值；
a b （2）公司准备对该公司参加三个项目的竞标团队进行奖励，项目竞标成功奖励2万元，项目竞,,A B C A B 标成功奖励4万元，项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
C 【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
23．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．　
24．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3；（1）求a 的值； （2）求
的值；
（3）解不等式f （x ）＜f （x+2）．
北安市第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
2．【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积
为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．
3．【答案】A
【解析】解：∵AD=mAB，E为BC的中点，
∴=+=+=+，
=﹣，
∵，
∴•=（+）（﹣）=||2﹣||2+=（﹣1）||2=0，
∴﹣1=0，
解得m=或m=﹣（舍去），
故选：A
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．
4．【答案】D
【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；
命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；
“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，
“”⇒“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
5．【答案】B
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；
对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，
故命题B正确．
对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．
故选B．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．
6．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
7．【答案】D
【解析】解：，
故选D．
【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．
8．【答案】C
【解析】
二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k
当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，
当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，
当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，
当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，
当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，
故展开式中x k的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
9．【答案】A
【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x12=﹣2y1，x22=﹣2y2．两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2）
∴直线AB的斜率k=1，
∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4．
故选A，
10．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，
故选C．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
12．【答案】B
【解析】解：===i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，
而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
15．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
17．【答案】 ．
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．
18．【答案】　0　
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin周期为8，
所以S=sin+sin+…+sin=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，
∴EM2+MC2=EC2，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，
则MC与平面EAC所成的角为45°．
20．【答案】
【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝.a 2法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2＝AD 2＋－2AD ·a 24cos ∠ADB ，①a 2b 2＝AD 2＋－2AD ··cos ∠ADC ，②a 24a 2①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋，a 22即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝.122b 2＋2c 2－a 2法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2＋－2c ·cos B a 24a 2
＝c 2＋－ac ·a 24a 2＋c 2－b 22ac ＝，2b 2＋2c 2－a 24
∴AD ＝.12
2b 2＋2c 2－a 2（2）∵A ＝120°，AD ＝，＝，1219sin B sin C 35由余弦定理和正弦定理与（1）可得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，①
2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
＝，③b c 35联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝×3×5×sin 120°＝.1212
1534即△ABC 的面积为.154321．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得
a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣
≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=。

22．【答案】
【解析】（1）由题意，得，因为，解得．…………………4分11424131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩a b >1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量，
X 则的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
X 而；；41433221)0(=⨯⨯=
=X P 1231(2)2344P X ==⨯⨯=； ；1131(4)2348P X ==⨯⨯=1211135(6)23423424
P X ==⨯⨯+⨯⨯=； ；1211(8)23412P X ==⨯⨯=1111(10)23424
P X ==⨯⨯=．…………………9分1111(12)23424
P X ==⨯⨯=所以的分布列为：
X X 024681012P 41418124512124124
1于是，．……………12分1115111()012345644824122424E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2312=23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）．设点P 的坐标为（x ，y ）
化简得x 2+3y 2=4（x ≠±1）．
故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2=4（x ≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）则
．
因为sin ∠APB=sin ∠MPN ，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…。