2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——函数含答案

2016浙江精彩题选——函数
【一、选择填空题】
1.（2016温州一模13）．已知
4
()ln()f x x a x
=+
-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =
，则实数a 的取值范围是 [4,)+∞ ．
分析：题目之意就是函数值域为R ，是一道一轮复习时的训练好题
2.（2016浙江六校联考15）.设a ，b ，c ∈R ，对任意满足1≤x 的实数x ，都有
12≤++c bx ax ，则c b a ++的最大可能值为___3___.
解法二：取极端情况，可知2
()21f x x =-
3. （2016金丽衢第二次联考）设f(x)=4x+l +a ·2x +b （a ，b ∈R ），若对于∀x ∈[0，1]，|f(x)|≤
12都 成立，则b= 17
2
． 令2x t =，2
()4g t t at b =++
法一：21
14221
11622
2112162a b a b a b ⎧-≤++≤⎪⎪
⎪-≤++≤⎨⎪⎪-≤-≤
⎪⎩
可行域只有一个点A
法二：2211
|4|||2448
at b t at b t ++≤
⇔++≤
取特殊情况可得22213117()()3448288at b g t t t t t =++=--=-+，即1717,b ,482
b == 法三：
4.（2016绍兴期末8）对于函数()f x ，若存在0x Z ∈，满足01
|()|4
f x ≤
，则称0x 为函数()f x 的一根“近零点”。

已知函数2
()(0)f x ax bx c a =++>有四个不同的“近零点”，则a 的最大值为（ D ）
A ．2
B ．1
C ．
12 D ．14
解：法一：取极端情况，离原点最近的四个整数：1(0)41(1)41
(1)41(2)4
f f f f ⎧
=-⎪⎪
⎪=-⎪⎨
⎪-=⎪⎪⎪=⎩，2111()444f x x x =--
法二：任取四个连续整数，则
1
4(3)()(2)(1)|(3)||()||(2)||(1)|414
a f m f m f m f m f m f m f m f m =++-+-+≤++++++≤⨯
=
5.（2016绍兴期末15）已知函数2
|1|y x =-的图像与函数2
(2)2y kx k x =-++的图像恰有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 014k ork ork ≤=≥ 注：本题是函数与方程零点的极佳训练题。

解：1x =为方程的解，
当1x ≠时，参数分离3
1,111-1+,||1
x x x
k x x ⎧+≤->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩
或画图可求。

同类题：7.已知函数f (x )＝
|x |
x ＋2
，如果关于x 的方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
解 ∵f (x )＝|x |x ＋2，∴原方程即|x |
x ＋2
＝kx 2.
①x ＝0恒为方程(*)的一个解．
②0x ≠时化为12
||
x k x +=
综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解．
6.（2016绍兴二模8）设函数2
2
()f x x mx n =++，2
2
()(2)1g x x m x n m =+++++，其中
x R ∈，若对任意的t R ∈。

(),()f t g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是
（ A ）
A.1
C.2
D.
分析：()(1)g x f x =+，题目即为()f x 向左平移一个单位负的部分不重叠，即()f x 的零点
12||1x x -≤可得。

7.（2016嘉兴二模8）已知y x <<0,2
5
22<+<y x ，则下列不．正确的是 （ D ）
A ．)
2
5
sin(sin 2y x -<
B ．)
2sin(sin 2y x ->
C ．y x sin )2sin(2<-
D ．)1cos(sin 2-<y x
解析：因为0>x ，2
522<+<+y x x x ，所以2.121
110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以
1>y ，又2
5
<
y ，所以251<<y ．
由252<
+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)2
5
sin(sin 2y x -<，故A 正确； 由y x +<22得
2
21244.12
2π
π
->-
>->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取2
22π
=-x ，
2
12
π
π
+<
<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12
sin(sin 2y y x -=-+<π
，故D 正确．
8. （2016衢州二模15）已知函数2()()32,3
x n f x m x nx =-⋅++记函数()y f x =的零点
构成的集合为A ，函数[]()y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围为 8[0,)3
．
分析：设()t f x =，()y f t =，,()0A B f t =∴=Q 时，t=0,即(0)0f =，
40,,333
n n n
m m m n ∴-
=∴=+=
2()2(2)f x x nx x x n ∴=+=+，由()0f t =得t=0.t=-2n,
则()2f x n =-无解，即2
220x nx n ++=无解，2
480,02n n n ∴∆=-<<<，
有n=0时符合题意，则48033
n ≤
< 9.(2016宁波二模4)已知函数1(0)
()1(0)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
，并给出以下命题，其中正确的是（ C ）
A.函数(sin )y f x =是奇函数，也是周期函数；
B. 函数(sin )y f x =是偶函数，不是周期函数；
C.函数1
(sin )y f x =是偶函数，但不是周期函数；D.函数1(sin )y f x
=是偶函数，也是周期函数；
分析：学生在做此题时，只是用原式的分段函数去想，不能把这个分段函数写成其原始形式，造成不能准确判断。

事实上，()1||f x x =+，理科就可判断A 、B 错，C 选项中，要能判断出1
sin y x
=不是周期的，当x →∞时1
sin
0x
→。

10.(2016宁波二模14)已知函数2
()(,)f x x ax b a b R =++∈，对任意的实数a ，总存在实数m ，当[,m 1]x m ∈+时，使得函数()0f x ≤恒成立，则b 的取值范围是 1
4
b ≤-
分析：由题意12||1x x -≥即可。

11.(2016新高考研究联盟二模10)函数21
21x x y -=+的奇偶性为 奇 ，函数
2
()121
x
f x =
++的对称中心为 （0，2） 分析：这是一道小巧的函数题，关键是看出第一个空的函数与第二个空函数的关系。

212
()12121
x x x y g x -===-++，则()()2f x g x =-+
12. (2016新高考研究联盟二模4)函数1
()2
f x x -=-的值域是
（ D ）
A.44[,]33-
B. 4[,0]3-
C. 4
[0,]3
D. [0,1]
分析：问题转化为(x 到（2,1）的斜率的范围。

13（2016杭二最后卷5）设函数)γsin(c )βsin(b )αsin( )(+++++=x x x a x f ，则:p “π()02
f =”是:q “()f x 为偶函数” 的 （ C ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 解：C 。

.f(x)的实质是()sin()f x A x ϕ=+，关键是x 的系数为1，其他字母都可以化掉的。

14（2016杭二最后卷8）.记),,(z y x M 为z y x ,,三个数中的最小数，若二次函数
)0,,()(2
>++=c b a c bx ax x f 有零点，则),,(
c
b
a b a c a c b M +++的最大值为 （ C ）
A.2
B.
23 C.4
5
D. 1 分析：
由题意，24b ac ≥，又,,a b c R +
∈，所以①.,b a b c ≥≥；或②a b c ≥≥或③c b a ≥≥；只有这三种情形，其中后两种是一样的，只需分别考虑前两种。

（ⅰ）由,b a b c ≥≥，可知(
,,)b c c a a b c a c a
M a b c b b b
++++==+ 设,a c
x y b b ==，则由,b a b c ≥≥，24b ac ≥可得01011
04x y y x ⎧
⎪<≤⎪<≤⎨⎪⎪<<
⎩
，即 z x y =+在1
(1,)4
和1(,1)4处同时取得最大值54。

（ⅱ）由a b c ≥≥可知(,,)b c c a a b b c b c
M a b c a a a ++++==+
同样换元,b c x y a a ==，2010114
x y y x y x <≤⎧⎪<≤⎪⎪
⎨≤⎪
⎪≤⎪⎩，即在1(1,)4处取得最大值54
【二、解答题】
1.（2016名校联盟第一次18）．（本题满分15分）
设f (x )=x 2+bx +c (b ,c ÎR )，函数f (x )在区间(2,3]上有最大值1. （Ⅰ）若c =4，求b 的值；
（Ⅱ）当|x |>2时，f (x )>0恒成立，求b +
1
c
的取值范围.
2.（2016嵊州期末18）（本小题满分15分）
已知函数2()21(0)f x ax ax b a =-++>在区间[]23，上的最大值为4，最小值为1． （Ⅰ）求a b ，的值；
（Ⅱ）设()
()f x g x x =，若关于x 的方程2(21)(3)021
x x
g k -+-=-在()()0-∞+∞U ，0，上有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
解：（Ⅰ）2()(1)1.f x a x b a =-++-
因为0>a ，所以()f x 在[]3,2上为增函数， ………………2分
故(2)1(3)4f f =⎧⎨=⎩，，即4411961 4.a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，
………………4分
解得1,0a b ==． ………………6分
（Ⅱ）方程2(21)(
3)021x x g k -+-=-可化为1221(23)021
x
x
k k +-+-+=-， 即2
21(23)21(12)0x x k k --+-++=，210x -≠． ………………8分
令
21x t
-=，则方程可化为
2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠，
由方程
2
(21)(
3)021
x x g k -+-=-在
()()0-∞+∞U ，
0，上有三个不同的实数解，结合21x t =-的图像（如右图）可知，
方程0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根12t t ，，且
2110t t <<<或12011t t <<=，．
………………10分
记2()(23)(12)h t t k t k =-+++，则(0)120(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩，，或(0)120(1)0230 1.
2h k h k k
⎧
⎪=+>⎪
=-=⎨⎪+⎪<<⎩
，
， ……14分
解得0k >． ………………15分
3.（2016嘉兴期末）.已知函数c bx x x f ++-=2)(2，设函数)()(x f x g =在区间]1,1[-上的最大值为M ．
（Ⅰ）若2=b ，求M 的值；（Ⅱ）若k M ≥对任意的c b ,恒成立，试求k 的最大值． 解
一
.
（
1
）
当
2
b =时，()f x 在
[]
1,1-上递增，
{}{}max (1),(1)max 3,5M f f c c ∴=-=+-
3151
c c c
c +≥⎧⎨-<⎩
（2）法一：
()()()0,112,112f c f b c f b c ==-++-=--+ (8)
()()()()20112f f f -+-= (9)
()()()()()()()2201120114f f f f f f M =-+-≤++-≤ 1
2
M ≥
(12)
等号成立当且仅当()()()102
1
112f f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩，即：1,02c b == (14)
M 最小值为12 即k 的最大值1
2
(15)
解二：（Ⅰ）当2=b 时，c bx x x f ++-=2)(2在区间]1,1[-上是增函数， 则{})1(),1(max g g M -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）
又c g c g +=+-=-3)1(,5)1(，
∴⎪⎩
⎪⎨
⎧>+≤+-=1,31,5c c c c M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） （Ⅱ）c b b x x f x g ++--==22)()()(，
（1）当1>b 时，)(x f 在区间]1,1[-上是单调函数，则{})1(),1(max g g M -=， 而c b g c b g ++-=+--=-21)1(,21)1(，
∴442121)1()1(2>≥++-++--=+-≥b c b c b g g M ， ∴2>M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）
（2）当1≤b 时，)(x g 的对称轴b x =在区间]1,1[-内，
则{})(),1(),1(max b g g g M -=，又c b b g +=2)(， ①当01≤≤-b 时，有)()1()1(b f f f ≤-≤，则 {}2
1
)1(21)1()(21))1()((21)(),1(max 2≥-=-≥+≥
=b f b f g b g b g g M ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）
②当10≤<b 时，有)()1()1(b f f f ≤≤-，则
{}2
1)1(21)1()(21))1()((21)(),1(max 2≥+=--≥-+≥
-=b f b f g b g b g g M 综上可知，对任意的c b ,都有21
≥
M ．．．．．．．．．．．．．．．．．（14分） 而当2
1,0==c b 时，21)(2+-=x x g 在区间]1,1[-上的最大值21
=M ，
故k M ≥对任意的c b ,恒成立的k 的最大值为
2
1
．．．．．．．．．．（15分）
4.（2016台州一模 18）（本小题满分15分）已知函数2
()3f x x x x a a =---,a >0.
（Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ，求
12
11
x x -
的取值范围. 解：（Ⅰ）22
23,1,
()133, 1.
x x x f x x x x x x ⎧--≤=---=⎨->⎩
根据函数的图象可得,
()f x 在1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. -----------------------6分
（Ⅱ）22
23,,
()33,.
x ax a x a f x x x x a a ax a x a ⎧--≤=---=⎨->⎩
① 当03a <<时,令()0f x =,可得
123,x x ==
,
3x =(因为2
()30,f a a a =-<所以3x a >舍去) --------------------8分
所以121111133
2x x -=+==在03a <<上是减函数,所以
()12
11
1,x x -∈+∞. -----------------------------11分 ② 当3a ≥时,令()0f x =,则可得12,x x 是方程2230x ax a --=的两个根,
所以
121212111,13x x x x x x -⎛⎤
-=== ⎥⎝⎦
, ------------------14分 综合①②得,
12111,3x x ⎛⎫
-∈+∞ ⎪⎝⎭
. -------------------------------------15分 5.(2016桐乡一模18)．已知R c b a c bx ax x f ∈++=,,)(2，，定义域为[]1,1-， （Ⅰ）当1=a ，1)(≤x f 时，求证：11≤+c ；
（Ⅱ）当02>>a b 时，是否存在[]1,1-∈x ，使得b x f ≥)(?
解：证：（Ⅰ）Θ11)1(≤+-=-c b f 11)1(≤++=c b f ，
Θ21111≤++++-≤++++-c b c b c b c b 222≤+∴c 11≤+∴c ……6分 （Ⅱ）02>>a b Θ得12-<-a
b ，则)(x f 在[]1,1-上递增且0>b []
c b a c b a x f +++-∈∴,)( …………………………………………………… 9分 ① 当0>+c a 时，0>>++b c b a ……………………………………………… 11分 此时有b f ≥)1(即存在1=x ，使得b x f ≥)(成立
② 当0<+c a 时，0<-<+-b c b a ………………………………………… 13分 此时有b f ≥-)1(即存在1-=x 使得b x f ≥)(成立
③ 当0=+c a 时，[]b b x f ,)(-∈，存在x 使得b x f ≥)(成立
∴存在1±=x 使得b x f ≥)(成立……………………………………………………15分
6.（2016诸暨质检18）已知2
()|1|(0,1)f x x a x b a b =--+>>-.
（Ⅰ）若b=0，a>2，求f(x)在区间[0.2]内的最小值m(a);
（Ⅱ）若f(x)在区间[0.2]内不同的零点恰有两个，且落在区间[0,1),(1,2]内各一个，求a-b 的取值范围。

分析：第二问分成两个函数2()g x x b =+与()|1|h x a x =-两个分开画更好说一点
7.（2016新高考研究联盟17）已知函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，记M 是|()|f x 在区间[0,1]上的最大值，（Ⅰ）当b=0且M=2时，求a 的值；（Ⅱ）若12
M ≤，证明01a ≤≤。

8.（2016永康适应）已知函数f (x )=x +1x -a +1x -b
(a ,b 为实常数). (Ⅰ)若a +b =0，判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明；
(Ⅱ)记M =⎩
⎨⎧a , b <a b , b ≥a ，A =a +b 2，求实数λ的取值范围，使得方程f (x )=λx -A +A 在区间(M ,+∞)上无解.。