最新版高一数学上学期期中试题 理 及答案(新人教A版 第164套)

荆州中学2013～2014学年度上学期
期 中 试 卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U ={0，1，2，3，4}，M ={0，1，2}，N ={2，3}，则（U C M ）∩N =（ ）
A ．{}4,3,2
B ．{}2
C ．{}3
D ．{}4,3,2,1,0 2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个
3．实数,,a b c 是图象连续不断的函数()y f x =定义域中的三个数，且满足,()()0,()()0a b c f a f b f c f b <<<<，则()y f x =在区间(,)a c 的零点个数为（ ） A ．2 B ．奇数 C ．偶数 D ．至少是2
4．()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递减，若(2)(4)0f a f a -+-<，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．3a <
C ．1a >
D ． 3a > 5．下列函数图象关于原点对称的有（ ）
①()f x =2()log (f x x =；
③1
(),(1,0)(0,1]f x x x
=
∈- ④()lg f x x x =-. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ． ②④
6．集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1
{|(),1}2
x B y y x ==>，则()
R C A B =（ ）.
A ．1
{|0}2
y y <<
B ．{|01}y y <<
C ．1
{|
1}2
y y << D ．∅
7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2
121L x x
=-+和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（ ）
A ．120.25万元
B ．120万元 C. 90.25万元 D ．132万元 8．下列说法正确的个数是（ ）
①空集是任何集合的真子集；②函数1
()3
x f x +=是指数函数；③既是奇函数又是偶函
数的函数有无数多个；④若A B B =，则A B A =
A.0个
B.1个
C. 2个
D. 3个
9．已知函数()f x 的定义域为{}
,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，
2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）
A ．5[,)4+∞
B ．7[,)4+∞
C ．5(1,]4
D ．7(1,]4
10．定义域为R 的函数1,33()2,3x x f x x ⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程2
()()0f x af x b -+=有
3个不同实数解123,,x x x ，且123x x x <<，则下列说法错误的是（ ） A ．521b a +-= B ．0b <
C ．1233x x x -+=
D ．222
1239x x x ++=
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知2510x
y
==，则
11
x y
+= ____________________． 12．已知A 是有限集合，x A ∉，{}B A x =，若,A B 的子集个数分别为,a b ，且b ka =，
则k = _____．
13．已知1()02x a x x ⎧⎫∈-=⎨⎬⎩⎭
，则2(23)()x x f x a --=的增区间为 _______________．
14． 已知函数22
log (1)(0)
()2(0)
x x f x x x x +>⎧=⎨
--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_______________．
15．若函数()y f x =是函数(01)x
y a a =<≠
的反函数，其图象过点)a ，且函数
(3)m
y f x x
=-+
-在区间(2,)+∞上是增函数，则正数m 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题12分）（1
）计算：221
3
log lg14
81
2
lg
1)27100
-
⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
（2）已知112
2
3x x
-
+=，求
2212
3
x x x x --+-+-的值.
17．（本题12分）已知集合{}41(21)(216)0x x A ++=--≤与{}
131B x m x m =+≤≤-分别是函数()f x 的定义域与值域.
（1）求集合A ；
（2）当A B B =时，求实数m 的取值范围．
18．（本题12分）湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元，x 为整数.
(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y (元)与每枚纪念章的销售价格
x (元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域．．．
)； (2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出最大值．
19．（本题12分）已知函数4
()n
f x x x
=-
，且(4)3f =. （1）判断()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数12,[1,3]x x ∈，有12()()f x f x t -≤成立，求t 的最小值.
20．（本题13分）若非零函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x f y f x y ⋅=+，且当0x <时() 1.f x >
（1）求证：()0f x >；
（2）求证：()f x 为R 上的减函数； （3）当1(4)16f =
时， 对[1,1]a ∈-时恒有2
1(22)4
f x ax -+≤，求实数x 的取值
范围.
21．（本题14分）已知函数1
()a x f x x
-=
（1）写出函数()f x 的单调区间；
（2）若()2f x x <在(1,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若函数()y f x =在[,]m n 上值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围．
荆州中学2013～2014学年度上学期
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年级：高一 科目：数学（理科） 命题人：徐法章 审题人：田园
参考答案
一、选择题：
三、解答题：
16.解：（1）原式＝2
22
log 2320322
[()]log101)3
----++
19
21344
=
--+=- ………………6分 （2）112
12
2()29x x
x x --+=++=得17x x -+=
1222()249x x x x --+=++=得2247x x -+=
原式＝
47245
734
-=- ………………12分 17. 解：（1）由41(21)(216)0x x ++--≤可化为1
12168
x +≤≤
则314x -≤+≤得43x -≤≤
故集合{}
43A x x =-≤≤ ………………6分 （2）
集合B 为函数的值域B φ∴≠
A B B B A =∴⊆ ………………8分
131
41413313
m m m m m +≤-⎧⎪
∴+≥-≤≤⎨⎪-≤⎩
得
故实数m 的取值范围为4[1,]3
………………12分
18. (1)依题意⎩
⎨⎧∈<<---∈≤<--+=++
N x x x x N x x x x y ,4020),7)](20(1002000[,207),7)](20(4002000[
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧∈<<-
--∈≤<---=++N x x x N x x x y ,4020],41089
)247[(100,207],81)16[(40022， 定义域为{}
407<<∈+x N x ………………6分
(2) ∵⎪⎩
⎪
⎨⎧∈<<-
--∈≤<---=++
N x x x N x x x y ,4020],41089
)247[(100,207],81)16[(40022， ∴ 当720x <≤时，则16x =，max 32400y =(元)
当2040x <<时，则23x =或24，max 27200y =(元)
综上：当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元. ………………12分 19.解：（1）(4)413n
f =-=即44,1n
n =∴= 4
()f x x x
∴=-
函数定义域为(,0)
(0,)-∞+∞关于原点对称
4
()()f x x f x x
-=-+
=- ()f x ∴是奇函数 ………………4分
（2）任取120x x <<
则212121212112
444()()()f x f x x x x x x x x x x x -=--
+=-+-⋅ 120x x << 21120,0x x x x ∴->⋅> 21()()f x f x ∴>
()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增 ………………8分
（3）依题意只需 12max ()()t f x f x ≥-
又12max min max 14()()()()3
f x f x f x f x -=-=
143t ∴≥
min 143
t ∴= ………………12分 20. （1）证法一：(0)()()f f x f x ⋅=即()[(0)1]0f x f -=又()0f x ≠
(0)1f ∴=
当0x <时，()1,f x > 0x ->
()()(0)1f x f x f ⋅-== 则1
()(0,1)()
f x f x -=
∈ 故对于x R ∈恒有()0f x > ………………4分 证法二：2
()()[()]0222
x x x f x f f =+=≥ ()f x 为非零函数 ()0f x ∴>
（2）令12x x >且12,x x R ∈
有1212()()()f x f x x f x ⋅-=， 又210x x -< 即21()1f x x -> 故
2211()
()1()
f x f x x f x =-> 又()0f x > 21()()f x f x ∴> 故()f x 为R 上的减函数 ………………8分 （3）21
(4)(22)(2)16f f f =
=+=⇒故1(2)4
f =， ………………10分 则原不等式可变形为2
(22)(2)f x ax f -+≤ 依题意有 2
20x ax -≥对[1,1]a ∈-恒成立
2220
220
x x x x x ⎧-≥∴⇒≥⎨+≥⎩或2x ≤-或0x = 故实数x 的取值范围为{}
(,2]
0[2,)-∞-+∞ ………………13分
21.解：（1）增区间(0,)+∞, 减区间(,0)-∞ ………………2分
（2）()2f x x <在(1,)+∞上恒成立即1
2x a x
+
>在(1,)+∞上恒成立 易证，函数1
()2g x x x
=+
在
上递减，在)+∞上递增 故当x ∈(1,)+∞上有()(3,)g x ∈+∞3a ∴≤
故a 的取值范围为(,3]-∞ ………………5分 （3）[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞
①当0m n <<时，
()f x 在(0,)+∞上递增，(),()f m m f n n ∴==
即11a m m a n
n ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
即方程1a x x -=有两个不等正实数根
方程化为：2
10x ax -+=故2400a a ⎧∆=->⎨>⎩
得2a > ………………10分
②当0m n <<时
()f x 在(0,)+∞上递减 (),()f m n f n m ∴== 即1(1)1(2)a n m a m n ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
（1）－（2）得1()(1)0n m mn --=
又n m ≠，1mn ∴= 0a ∴= ………………13分 综合①②得实数a 的取值范围为{}(2,)
0+∞ ………………14分。