甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试数学(理)试题 含答案

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2013年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联考考试数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)—(24)题为选考题,其它题为必考题。

考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

考试结束后,只收回答题卡和答题纸。

注意事项:
1、答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写无效。

4、保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5、做选做考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每題给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.设复数z=2+bi (b∈R)且z=22,则复数z的虚部为( )
A。

2 B。

±2i C.±2 D.±22
【答案】C
【KS5U 解析】因为z =22,所以222=22b +±,解得b=2,因此选
C 。

2.已知集合A={y ︱y=3x
},B={x ︱x 2>1},,则A ∩C R B =
( )
A 。

[-1,1] B.(0,1) C 。

[0,1] D. (]1,0
【答案】D
【KS5U 解析】因为集合A={y ︱y=3x
} {}|0y y =>,B={x ︱x 2>1}
{}|11x x x =><-或,所以
C R B {}|11x x =-≤≤,所以A ∩C R B =(]1,0。

3.下列命题是真命题的是 ( )
A 。

a b >是2
2
ac bc >的充要条件 B 。

1a >,1b >是1ab >的充分条件 C 。

x ∀∈R ,x 2>2
x D 。

0
x ∃∈R ,0
x e < 0
【答案】B
【KS5U 解析】A 。

a b >是2
2
ac bc >的充要条件,错误,若a b >,当c=0时,2
2
ac bc >不成立;
C 。

x ∀∈R ,x 2>2x ,错误,例如:x=2时,x 2=2
x ; D 。

0
x ∃∈R ,0x e < 0,错误,对于x ∀∈R ,0
x e >0.
4.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 的值是 ( )
A .102
B .39
C .81
D .21 【答案】A
【KS5U 解析】第一次循环:3
3,12n
S S n n n =+⋅==+=,满足条件4n <,再次
循环;
第二次循环:321,13n
S S n n n =+⋅==+=,满足条件4n <,再次循环;
第三次循环:3
102,14n
S S n n n =+⋅==+=,不满足条件4n <,结束循环,因
此输出的S 的值是102.
=-=+)22
cos(31)4cos(
.5x ,x π
π
则若 ( ) A 。

-97 B 。

-91 C 。

9
8
D.9
7
【答案】D
【KS5U 解析】因为1cos()4
3
x π+=,所以2
7cos 22cos
12
49x x ππ⎛⎫
⎛⎫
+=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
,即
7sin 29x =
,所以7cos 2sin 229x x π⎛⎫
-== ⎪⎝⎭。

6.设等差数列{}n
a 的前n 项和为S n ,若a 1=-15, a 3+a 5= —18,则当S n
取最小值时n 等于( )A .9 B .8 C .7 D .6 【答案】B
【KS5U 解析】因为a 3+a 5= -18,所以4
9a
=-,又a 1=—15,所以
d=2,所
以()1521217n
a
n n =-+-=-,由21708.5n n -≤≤得:,所以当
S n 取最小值时n
等于8.
7。

已知一个几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 ( ) A.3
2-8π
B 。

34-8π
C 。

3
4-4π
D 。

3
2-4π
【答案】D
【KS5U 解析】由三视图知:该几何体为一个长方体里面挖去一个半球,长方体的体积为:2214⨯⨯=,半球的体积为3
314142123
233
r
πππ⨯=⨯⨯=,所
以该几何体的体积为3
2-4π.
8. 如果实数x 、y 满足
⎪⎩

⎨⎧≤--≥++≤022011y x y x y 那么z=2x+y 的范围为
( )
A .)(93-,
B .][9,3-
C .][91-,
D . [)9,3- 【答案】B
【KS5U 解析】画出约束条件
⎪⎩

⎨⎧≤--≥++≤022011
y x y x y 的可行域,由可行域知:
目标函数z=2x+y 过点(4,1)时,取最大值9,过点(—2,1)时,取最小值-3,所以z=2x+y 的范围为][9,3-.
9.(2x+)x
a (2x-)1x
5的展开式中各项系数之和为3,则该展开式中常数
项为 ( )
A .40
B 。

160
C 。

0 D.320 【答案】C
【KS5U 解析】令x=1,得:2+a=3,所以a=1,由()
()55525
51212r
r
r r
r r r
C x C x x ---⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭
,令5212r r -==得,()2
3251280C -=;令5213r r -=-=得,()3
23
51240C -=-,所以该展
开式中常数项为4028010-⨯+⨯=。

10.f (x )=3sin(ωx+φ)+cos (ωx+φ)
(ω>0,φ<)2
π的最小正周
期为π,
且f (-x )=f (x ),则下列关于g(x )= sin (ωx+φ)的图象说法正确的是 ( )
A .函数在x ∈[3
4-ππ, ]上单调递增 B. 关于直线x=12
7π对

C. 在x ∈[0,6
π ]上,函数值域为[0,1] D. 关于点),(06
π


【答案】B
【KS5U 解析】
())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=
+++=++ ⎪
⎝⎭,因为
最小正周期为π,所以2,=2ππωω
=所以,又因为
()()
f x f x -=,所以
()()
1212
f f ππ
-
=,所以 2sin 2=2sin 2-126126ππππϕϕ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⨯++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭,n =3πϕ所以,所以()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因此选B 。

11.若P 点是以A(—3,0)、B (3,0)为焦点,实轴长为52的双曲
线


9
2
2
=+
y
x 的一个
交点,则
PB
PA +=
( ) A .134
B 。

142
C.
132
D.
143
【答案】C
【KS5U 解析】不妨设点P 在双曲线的右支上,则PA PB >,因为点P 是双曲线与圆的焦点,所以由双曲线的定义知:
PA PB -=
又2
2
36PA
PB +=…………………………………………②
①两边平方得: 216PA PB ⋅=,所以()2
2
2
252PA PB PA PB PA PB +=++=,所
以PB PA +=132。

12.⎩⎨⎧>-≤+=)
0(ln )
0(2)(x x x kx x f ,则下列关于2)]([-=x f f y 的零点个数判断正确的是
( )
A.当k=0时,有无数个零点 B 。

当k <0时,有3个零点
C 。

当k >0时,有3个零点
D 。

无论k 取何值,都有4个零点 【答案】A
【KS5U 解析】当k=0时,
2(0)()ln (0)
x f x x x ≤⎧=⎨->⎩,当
x 〉1时,ln 0x -<,所以
()[()]ln 2f f x f x =-=,所以此时2)]([-=x f f y 有无数个零点;
当k <0时,
2
)]([-=x f f y 的零点即方程
[()]2
f f x =的根,所以
()()20f x f x e -==或,由图可知方程只有两根;
当k >0时,由图可知:()2f x =有两根,所以由[()]2
f f x =得:()()2
0f x f x e -==或,又()0f x =有两根,()2
f x e -=有两根,所以[()]2f f x =有
四根。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选做题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知平面向量 a ,b 满足2)(,61=-⋅==a b a b a ,则b a 与的夹角为 【答案】
60
【KS5U 解析】因为2
()2,3a b a a b a a b ⋅-=⋅-=⋅=所以,
所以31
cos ,162
a b a b a b
⋅==
=⨯⋅,所以b a 与的夹角为
60。

14。

6人站一排照相,其中有甲乙两人,则甲乙两人之间间隔两人的排法有 【答案】144
【KS5U 解析】我们对六个位置从左到右编号为1,2,3,4,5,6,甲乙可以在14,25,36的位置,有三种,而另外四人的排列有44
A 种,
又甲乙可以互换,所以甲乙两人之间间隔两人的排法有44
32144A
⨯⨯=种。

15.如右图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC=32,点D 在BC 边上,∠ADC=
75,
则AD 的
长为 【答案】
2-6
【KS5U 解析】在△ABC 中,因为AB=AC=2,BC=32,所以0
30C ∠=,又∠ADC=
75,所以∠DAC=
75,所以CD=AC=2,所以由余弦定理
得:2
2228AD
CD AC CD AC COS C =+-⋅⋅∠=-AD=2-6。

16.给出下列命题:①抛物线x=2
4
1-y 的准线方程是x=1;
②若x ∈R ,则
2
322++x x 的最小值是2; ③2sin 22
=⎰-π
πxdx ;
④若ξ~N (3,2
σ)且P (0≤ξ≤3)=0.4,则P (ξ≥6)=0.1 。

其中正确的是(填序号) 【答案】⑴⑷
【KS5U 解析】①抛物线x=2
4
1-y 的标准方程为2
4y
x =-,所以其准线方
程是x=1;
②若x ∈R ,
222,=
=≥所以
2
32
2++x x 取不到最小值2;
③因为sin y x =是奇函数,所以2
2
sin 0xdx π
π-=⎰ ;
④若ξ~N(3,2
σ)且P (0≤ξ≤3)=0。

4,则P(ξ≥6)=0。

1,正确。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

B
17.(本题满分为12分)
各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 2=8, a 4=128, b n=log 2a n .
(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 求数列{b n }的前n 项和S n (3)
求满足不等式2013
1007
)11()11()11(32≥
-⋅⋅⋅-⋅-
n S S S 的正整数n 的最大值
18.(本小题满分12分)在三棱柱ABC
-A 1B 1C 1中,
AB =BC =CA =AA 1=2,侧棱AA 1⊥面
ABC ,D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点,点F 在棱
AB
上,且
1
4
AF AB =

(Ⅰ)求证:EF ∥平面BDC 1;
(Ⅱ)求二面角E -BC 1-D 的余弦值.
19.(本小题满分12分)
高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学,事先进行了多方详细咨询,并根据自己的高考成绩情况,最终估计这3名男生报此所大学的概率都是2
1,这1名女生报此所大学的概率是3
1.且这4
人报此所大学互不影响.
(Ⅰ)求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率;
(Ⅱ)在报考某所大学的上述4名学生中,记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和,试求ξ的分布列和数学期望.
20.(本题目满分12分)
如图,已知圆C 与y 轴相切于点T(0,2),与x 轴正半轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的
右侧),且
3
MN =。

椭圆D :
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的焦距等于2ON ,且过点6(
2,
)2
( I ) 求圆C 和椭圆D 的方程;
(Ⅱ) 若过点M 的动直线与椭圆D 交于A 、B 两点,若点N 在以弦AB 为直径的圆的外部,求直线l 斜率的范围。

21.(本小题满分12分)
已知函数)R a x x a ax x f ∈++-=(ln 2)12(2
1)(2
(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值及函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)设2
()(2)x
g x x x e =-,若对任意(]10,2x ∈,均存在(]2
0,2x ∈,使得12
()()f x g x <,求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.(本小题满分10分) 选修4—1:几何证明选讲
在ABC ∆中,AB=AC,过点A 的直线与
其外接圆
交于点P ,交BC 延长线于点 D.
(1)求证:
BD
PD
AC PC =; (2)若AC=3,求AD AP ⋅的值。

23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程
设直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t
y t
x 22(t 为参数),若以直角坐标系xOy 的O 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线
C 的极坐标方程为ρ=
θ
θ
2sin cos 8.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,求AB 。

24。

(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数212)(+--=x x x f
(1)求f(x)≤6 的解集 (2)若f (x)≥m 对任意x ∈R 恒成立,求m 的范围.
高三数学(理科)参考答案
一.选择题:CDBAD BDBCB CA
二.填空题:13:
60 14:144 15:
2-6 16:⑴⑷
三.
解答或证明题:
17:(12分)
解:(1)∵ 等比数列{a n }的各项为正,a 2=8, a 4=128
设公比为q ∴168
128
242
===
a a q q=4 a 1=2 ∴a n =a 1q n-1=2×1
4-n =1
22-n
(4分) (2)∵122log log 1222-===-n a b n n n
∴n n
b b b S
+⋅⋅⋅++=21=22
)
121()12(31n n n n =-+⋅=
-+⋅⋅⋅++ (8
分)
(3) ∵(1—
)1-131-121-1)11()11()122232n
S S S n ())((⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅-⋅ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅5
4322321n
n n n n n n n 11112+⋅-⋅-⋅
--=n n 21
+
∴2013
100721≥+n
n ∴n ≤2013 ∴n 的最大值为2013 (12分)
18(12分)(1)证法一:设O 为AB 的中点,连结A 1O , ∵AF=4
1AB ,O 为AB 的中点
∴F 为AO 的中点,又E 为AA 1的中点
∴EF ∥A 1O
又∵D 为A 1B 1的中点,O 为AB 的中点
x
y o
z
∴A 1D=OB 又A 1D ∥OB ∴四边形A 1DBO 为平行四边形
∴A 1O ∥BD 又EF ∥A 1O ∴EF ∥BD
又EF ⊄平面DBC 1 , BD ⊂平面DBC 1 ∴EF ∥平面DBC 1 (6分)
证法二:建立如图所示的坐标系。

(坐标系建立仅为
参考)
∵AB=BC=CA=AA 1=2,D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点,AF=4
1AB
E (-1,0,1),
F ),,(002
1
-,B (1,0,0),D (0,0,2),
C 1(0,)
,23) 设平面平面DBC 1的法向量为),,(z y x n =
)1-,0,2
1
(=EF ,)2,0,1(-=BD ,)2,3,1(1-=BC
02=+-=⋅z x n BD
0231=++-=z y x BC
令z=1,则
y=0,x=2
)1,0,2(=n
0)1(102
1
2=-⋅++⋅
=⋅n EF ∴
n EF ⊥
又EF ⊄平面BDC 1 ∴EF ∥平面
BDC 1 (6分)
(2)设面EBC 1的法向量为),,(z y x m = )1,0,2(-=BE ,)2,3,1(1-=BC
02=+-=⋅z x m BE
0231=++-=⋅z y x m BC
令x=1,则z=2,y=-3

)2,3,1(-=m cos <n
m ,>=
n m 5
102
252
1)3(012=
⋅⋅+-⋅+⋅
由图知二面角E -BC 1-D 为锐二面角,所以二面角的余弦值为
5
10 (12分)
19。

(12分)解:(1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数
相等的”事件为A ,男生人数记为B i (i=0、1、2、3),女生人数记为C i (i=0、1)
P (A)=P(B 0C 0)+P(B 1C 1)=⋅3203C 211330)2
1()21(31)21()21(C ⋅+=
24
5
(5分)
(2)ξ=0,1,2,3,4
P (ξ=0)=12
1242)21()21(323003
==C P(ξ=1)=+3003)21()21(31C 2113)21()21(32C =24
7
P (ξ=2)=8
3249)21()21(32)21()21(3112232113==+C C
P (ξ=3)=24
5)21()21(32)21()21(3103331223=+C C
P (ξ=4)=
24
1)21()21(310333=C
(9分)
∴ξ的公布列为:
∴E (ξ)=0
×
12
1+1×
24
7+2×
24
9
+3×
24
5+4×
24
1=6
11 (12分)
20.(12分)解:(1)设圆半径为r, 由条件知圆心C (r ,2) ∵圆在x 轴截得弦长MN=3 ∴4
25
232222
=+=)(r
∴r=2
5
∴圆C 的方程为:4
25
)2()
2
5(22
=
-+-y x (3分)
ξ 0 1 2 3 4
P 121 247 249 24
5
24
1
C G
上面方程中令y=0,得0452
=+-x x 解得x=1或x=4, ∵点M 在点
N 的右侧
∴M (4,0),N (1,0)
∵椭圆焦距2c=2ON =2 ∴c=1 ∴椭圆方程可化为:11
22
22=-+a y a x
又椭圆过点(),26
2 代入椭圆方程得:049224
=+-a a
解得
4
2
=a 或2
12
=
a (舍) ∴椭圆方程为:
13
42
2=+y x
(6分)
(2)设直线l 的方程为:y=k (x-4) 代入椭圆方程化简得: (0126432)342222
=-+-+k x k x k
△=32
2
)316)(34(16224-+-k k k >0 2k <
4
1
设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则x 1+x 2=3
43222+k k x 1x 2=
3
412
642
2+-k k
(7分)
∵点N 在以弦AB 为直径的圆的外部,NB NA ⋅>0 ∴(2121
)1)(1y y x x
+-->0
即:116))(14()12212212
++++-+k x x k x x k (>0
)1(2
+k 34126422+-k k —()142
+k 3
4322
2+k k +1162+k >0 化简得:2
k >8
1 ∴8
1<2
k <4
1 ∴k ∈
)2
1
,42()42,2
1
--(
(12分)
21.(12分)【解】(Ⅰ)21
()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-,由(1)(3)f f ''=得2
3
a =
,…(2分)
272(23)(2)
()333x x f x x x x
--'=-+=
得其单调递增区间为3(0,),(2,)2
+∞单调递减区间
为3(,2)2
. (5分) (
(Ⅱ)若要命题成立,只须当[]0,2x ∈时,max
max ()()f x g x <,由22)x g e '-(x)=(x 可知 当(]0,2x ∈时max
()(0)(2)0g x g g ===,所以只须max
()0f x <
……(7分)
对()f x 来说,2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x
--'=-++=,

当12
a >时,max
11
()
()2ln 22f x f a a a
==---
当1a ≥时,显然小于0,满足题意,当112
a <<时,可令1
()2ln 22h x a a
=---求导可知该函数在112
a <<时单调递减,1
()2ln 202h x a a
=--
-<,满足题意,所以1
2
a >
满足题意, ② 当1
2a ≤时,()f x 在(]0,2x ∈上单调递增,max ()(2)2ln 222f x f a ==--0<得
1
ln 212a -<≤ 综上所述,满足题意

ln 21a >-
……(12分)
22.(10分)
(1) 证明:连结BP ,∵四边形ABCP 内接于圆, ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD~△BAD ∴BD
PD
BA
PC
= 又∵AB=AC
∴BD
PD
PC =AC (5分) (2)连结BP 。

∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB 又∵四边形ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB 从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD
∴△PAB~BAD ∴AD
AB BA PA = ∴2
AB AD AP =⋅
又∵AB=AC=3 ∴2
AB AD AP =⋅=92
=AC
(10分)
23.(10分)解:(1)由ρ=θ
θ2
sin cos 8得ρθθcos 8sin
2
=
θρθρcos 8sin 22= ∴x y
82
=
∴ 曲线C 表示顶点在原点,焦点在x 上的抛物线
(5分)
(2)
{
22t x t
y +==化为t x t
y 55
25
52{
+
==代入
x
y 82=得020522=--t t
10)20(4)52(4)(22121212=-⨯-=-+=-=t t t t t t AB (10分)
(或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可) 24.(10分)解:(1)212+--x x ≤6 不等式等价于:2
-6)2()-12{x <x x ≤++( 或1
262)-12{≤≤-≤--x x x (或1
62)1(2{x >x x ≤---
等价于2-2{x <x -≥ 或122{≤≤--≥x x 或1
10{x >x ≤
∴不等式的解集
为[—2,10]
(5分)
(2)由(1)知)

2-(-41(4)12(3{x <x x >x x x -≤≤-- 容易求得函数最小值为—3 ∵f (x )≥m 对任意x ∈R 恒成立 ∴m ≤-3 (10分)。

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