南京市、盐城市高三第一次模拟考试讲评建议、相似题型及巧思妙解.docx

高中数学学习材料
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南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试
讲评建议、相似题型及巧思妙解
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = . 答案：1 2．若复数a i
z i
+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = . 答案：－1
3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 . 答案：
65
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 . 答案：0.3
解读：本题体现了2015年新的《考试说明》中对互斥事件的要求，选材于课本中的习题。

5．若双曲线2
2
2
(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2
4y x =的焦点重合，则a = .
答案：
22
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 . 答案：42
解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2x y
+的最大值为 .
答案：8
8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 . 答案：
33
π 9．若函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=+
>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
2
π
，且该函数图象关于点i ←1
S ←0
While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S
第6题图
0(,0)x 成中心对称，0[0,]2
x π
∈，则0x = .
答案：512
π
10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22
x y x y
+-的最小值为 .
答案：4
相似题型：（南通市2014届高三数学临门一脚第11题）已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则
22
42x y x y
+-的最小值为 ．答案：4
11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1
tan 2
θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分
12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆2
2
2
(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足53
44
OC OA OB =+，则r = . 答案：10
解读：方法1：（平面向量数量积入手）2
2
2
2532553924416
4416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，
即：2
22225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5
AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB
于D ，则23c o s 2c o s 15A O B A O D ∠=∠-=-，得21
c o s 5
A O D ∠=，又圆心到直线的距离为
222
OD ==，所以22
2212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，10r =.
方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由53
44
OC OA OB =+得
125344x x x =+，1253
44
y y y =+，
则22
2222221212111122225
3532525152525154
4441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由题意得，()2
22112225251516168
r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =.
相似题型：（海安县曲塘高级中学2014届高三数学5月模拟试卷第13题）已知A 、B 、C 是直线l 上的三
点，向量OA ，OB ，OC 满足：1
[()](1)0O A
f x O B x O C
x
-+
⋅+-⋅=，且对任意[1,),x ∈+∞()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是___ __．
答案：(,1)-∞-
因为A B C 、、三点共线，所以1()(1)1f x x x ++-=1
()f x x x
⇒=-， ∴f （x ）为增函数且m ≠0，
若m >0时，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意．
若m <0时，有221111
02()012m mx mx mx m x mx x m x m
-+-<⇒-+∙<⇒+<, 因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+212m
<，即2
m >1,解得m <-1.
联想到平面向量共线定理，但本题
24
3
45=+，所以可以考虑等式两边同时除以2来处理这个问题。

方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+得153
288
OC OA OB =+，设OC 与AB 交于点
M ，则A M B 、、三点共线。

由AMO ∠与BMO ∠互补结合余弦定理可求得4
=5
AB r ，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，根据圆心到直线的距离为222OD ==，得()
2
22225r r ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，解得210r =，10r =.
巧思妙解：（平面向量共线定理入手）5344OC OA OB =+得153
288
OC OA OB =+，设OC 与AB 交于点
M ，则A M B 、、三点共线且M 为OC 的中点。

延长线段OA 至D ，使得OA OD 4
5
=，在线段OB 上
取点E ，使得OB OE 4
3
=，即OE OD OC +=，所以四边形ODCE 为平行四边形，因为
r OD CE r OE r OC 4
5
,43,====，所以︒=∠90COE ，即︒=∠90MOB ，过点O 作AB 的垂线，垂足
为F ，因为,21
,r OM r OB =
=所以,51r OF =
又点O 到直线AB 的距离为2，所以25
1=r ，所以10r =。

13．已知()f x 是定义在[2,2-上的奇函数，当(0,2x ∈时
，()21x
f x =-，函数
2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值
范围是 .
答案：[5,2]--
14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}
2n a C
A
B
D x
y
O
M E
F
单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = .
答案：(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21
,3
21,3
n n
n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数
）
解读：*
1||2()n n n a a n N +-=∈这种模型2011年的北京卷用过，2014年的湖南卷上又用了。

方法一：因为22122n n n a a +-=±，212212n n n a a ---=±，所以两式相加，得221
212122n n n n a a -+--=±±，
而{}21n a -递减，所以21210n n a a +--<，故2212
2n n n
a a +-=-；同理，由{}2n a 递增，得21
2212n n n a a ---=；
又21a a >，所以11(1)2n n
n n a a ++-=-，再利用累加法即可；
方法二：先采用列举法得,3,1,1321-==-=a a a ,21,11,5654=-==a a a ……，然后从数字的变化上找
规律，得11(1)2n n
n n a a ++-=-，再利用累加法即可。

巧思妙解：先采用列举法得,3,1,1321-==-=a a a ,21,11,5654=-==a a a ,85,4387=-=a a ……，然后从数字的变化上找规律，得),2(12*
1N n n a a n n ∈≥--=-，即)31(2311+-=+
-n n a a ，所以⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧
+31n a 是以32311-=+a 为首项，2-为公比的等比数列，所以3
)2()2(32311
n n n a -=--=+-，即=n a (2)13n --.
讨论时，有老师提出这样太为难学生了，得分率会很低，所以又作了修改，从而造成了本题的不足是与2014年的湖南卷的相似度偏大。

二、解答题：
15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，
将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2
π
后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；
（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
若()2f C =
，且2a =，1c =，求b .
解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2
y y π
ααα==+
=， ………4分
所以()sin cos 2sin()4
f π
αααα=+=
+， ………………6分 因为(0,)2πα∈，所以3(,
)444
πππ
α+∈，故()(1,2]f α∈. ………………8分 （2）因为()2sin()24f C C π=
+=，又(0,)2C π∈，所以4
C π
=， ………………10分
在ABC ∆中，由余弦定理得222
2cos c a b ab C =+-，即2
2
12222
b b =+-⨯
， x
y
P
Q
O
α 第15题图
解得1b =. ………………14分 （说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）
解读：选择此题背景的意图是引导老师们要强化概念的教学，不能整天只是让学生做题。

初稿是：在平面直角坐标系xOy 中，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，
终边与单位圆交于点11(,)A x y ，将射线OA 按顺时针方向旋转56
π
后与单位
圆交于点22(,)B x y . 记12()f x y α=+，其中角α为锐角. （1）求函数()f α的值域；
（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
若()0f C =，且3a =
，1c =，求b .
答案：（1）由题意，得125cos ,sin()6x y π
αα==-， ………………2分
所以513()cos sin()cos sin 622f πααααα=+-
=-=cos()3
πα+， ………………6分 因为(0,
)2
π
α∈，所以5(,)336
π
ππ
α+
∈，故31()(,)22f α∈-
. ………………8分 （2）因为()cos(
)03f C C π
=+=，又(0,)2C π∈，所以6
C π
=， ………………10分
在ABC ∆中，由余弦定理得222
2cos c a b ab C =+-，即2
3
13232
b b =+-⨯
， 解得1b =或2b =.
讨论时，有老师提出作为第15题，该题的运算量偏大，而且第（2）小题还有两个结果，得分率会偏低。

16．(本小题满分14分) 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点.
（1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE . 证明（1）：连接1BC ，设1
1BC B C F =，连接OF ， ………2分
因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且1
2
OF DC =，
又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且1
2
EB DC =
， 从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，
所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，
所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，
所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分
而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分
B A
C
D B 1 A 1
C 1
D 1
E F
O x
y
A
B
O
α
第15题图 B
A C
D
B 1 A 1
C 1
D 1 E
第16题图
O B
A
C
D B 1
A 1 C 1 D 1
E
x y
O l
A B
F P 第17题图 ·
解读：初稿是：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点. （1）求证：1//BC 面1B DE ； （2）求证：面1B DC ⊥面1B DE .
讨论时，有老师提出第（1）小题偏难了，所以作了修改。

17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右
准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2
的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P
三点共线时，试确定直线l 的斜率.
解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分
∴右焦点F 到直线l 的距离为
2225
55
c a
-=
，1a c ∴-=， ……………4分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24
a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，2
3b ∴=， ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +
=； ……………6分 （2）由（1）知(0,3)B ，(1,0)F ， ∴直线BF 的方程为3(1)y x =--， ……………8分
联立方程组223(1)143y x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，解得85335x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或03x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩（舍），即833(,)55P -， …………12分 ∴直线l 的斜率33
0()
3358225
k --
=
=-. ……………14分 其他方法：
方法二: 由（1）知(0,3)B ，(1,0)F ， ∴直线BF 的方程为3(1)y x =--，由题(2,0)A ，显然
直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组3(1)(2)y x y k x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，解得23333k x k k
y k ⎧+=⎪+⎪
⎨-⎪=⎪+⎩
，
代入椭圆解得：332k =
或32k =-，又由题意知，303
k
y k -=>+得0k >或3k <-，所以332k =. 方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得()
2222
431616120k x k x k +-+-=，2
2
1643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,2
1243
P k
y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，
即22
212334386143
k
k k k ---+=-+，解得332k =或32k =-，又由题意知，303
k y k -=>+得0k >或3k <-，所以33
2
k =.
解读：初稿是：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>的右准线:4l x =与x 轴交于点H ，动直线m 过椭圆C 的右顶点A ，且与l 相交于点M ，设点M 的纵坐标(0)t AH λλ=>，其中当
2λ=时，椭圆的右焦点F 到直线m 的距离为25
5
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线m 与椭圆C 相交
于点P ，当,,P F B 三点共线时，试确定λ的值.
答案同上。

讨论时，有老师认为，虽然此题没有科学性错误，但题目的条件比较
别扭，会不会引起学生的疑问，即做第（2）小题时，用不用第（1）小题得到的椭圆方程？所以，后来把题目作了修改，使得题意更加简洁明了。

此时的不足是第（2）小题的运算量偏小些，学生可避免字母运算。

18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其
设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲
线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其
中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线
BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的
半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.
（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；
（3）若1
25
a =，求AD 的最大值.
（参考公式：若()f x a x =-，则1
()2f x a x
'=--）
解：（1）因为5030CD t =-=，解得20t =. …………… 2分
此时圆222
:(20)30E x y +-=，令0y =，得105AO =，
所以245105145OD AD AO =-=-=，将点(145,30)C 代入2
50(0)y ax a =-+>中，
解得1
49
a =
. ………… 4分 （2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在2
50y ax =-+中令50y t =-，得t OD a
=，
则由题意知5075t
FD t a
=-+≤对(0,25]t ∈恒成立， ………… 8分 所以125
t a t
≤+
恒成立，而当25t t =，即25t =时，25t t +取最小值10， 故
110a ≤，解得1100
a ≥. ………… 10分 x
y
O l m
M H
A B
F P
第17题图
·
第18题-甲 x y O A B C D 第18题-乙 E · F
（3）当125
a =
时，5OD t =，又圆E 的方程为222
()(50)x y t t +-=-，令0y =，得1025x t =±-，所以1025AO t =-，
从而()10255(025)AD f t t t t ==-+<≤， ………… 12分
又因为215(252)
()5()2525t t f t t t t t
--'=-
+=
--⋅，令()0f t '=，得5t =， ………… 14分 当(0,5)t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增；当(5,25)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减，从而当5t =
时，()f t 取最大值为255.
答：当5t =米时，AD 的最大值为255米. …………16分 （说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分） 解读：此题取材于射阳中学新建体育馆的模型，是一道原创题，初稿中只有（2）（3）两小题，讨论中有
老师认为此题的起点偏高，还要给中等偏下的学生送点分，所以又设计了第（1）小题。

（3）方法二：令2
25cos
,[0,)2
t π
αα=∈，则10255105sin 55cos AD t t αα=-+=⨯+⨯
105sin 55cos 255sin()αααφ=⨯+⨯=+，其中φ是锐角，且1tan 2
φ=
， 从而当2
π
αφ+=
时，AD 取得最大值为255米.
方法三：令25,x t y t =-=，则题意相当于：已知22
25(0,0)x y x y +=≥≥，求
5(2)
z A D x y ==⨯+的最大值. 根据线性规划知识，当直线2y x z =-+与圆弧22
25(0,0)x y x y +=≥≥相切时，z 取得最大值为
255米.
19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当
排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --+++
+
13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫
=≥∈⎨⎬⎩⎭
中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.
解：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴2
15364a a a ==，38a ∴=，
又
5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分
（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，
1
121,2
4m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分
②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，
综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，
则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，
所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--+++
+=⋅--，
即123
112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）
∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）
则（**）式两边同乘以2，得234
1123122223284n n n n n b b b b n +---+++
+=⋅--，（***）
∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，
又当1n =时，2
1232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分
212n n n b n a -∴
=，111212352222n n n n n
n n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，
110n n n n b b a a --->，即21
21
b b a a >； 3n ∴≥时，11
0n n n n b b a a ---
<，此时n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
单调递减， 又1112b a =，
2234b a =，3358b a =，447
16b a =，71162
λ∴<≤. ……………16分 解读：第（2）小题本来是探求“5,,k m l a a a ”这三项能否构成等差数列的，但考虑到学生的答案可能有多
种形式，所以将它改成了充要条件的证明题。

本题的初稿是：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数(1,)λ∈+∞，使得
11
n n n a a a λλ
+≤≤与
11
n n n S S S λλ
+≤≤对任意*n N ∈都成立，则称{}n a 是“可控”数列.
（1）已知数列{}n a 的通项公式为n a r =（r 是不为0的常数），试判断{}n a 是否是“可控”数列，并说明理由；
（2）已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，若当4λ=时，{}n a 是“可控”数列，求公比q 的取值范围； （3）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 是“可控”数列，求λ的取值范围.
讨论时，大家认为此题的形式很美，但题目较难，特别是第（3）小题超难，而且考查的知识与江苏
高考不太吻合，所以只能忍痛不用。

第二稿是：设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，24a =，1432a a =，数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有()11122122n n n a b a b a b n +++
+=-⋅+.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若集合*1,n n n b b M n
n N a λ+⎧⎫
=≥∈⎨⎬⎩⎭
中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围； （3）将数列{}n a 与{}n b 按112233,,,,,,
,,,
n n a b a b a b a b 的顺序排好后，再删去其中小于2015的项，
剩下的项按原来的顺序构成一个新数列{}n c ，试求数列{}n c 的前n 项和n T .
更换后，第（1）（2）问还不错，第（3）小题也有创意，但第（3）小题的运算太繁琐，批阅起来麻
烦，所以临时又换成了一道现在这个较为常规的题目。

20．已知函数()x
f x e =，()
g x mx n =+.
（1）设()()()h x f x g x =-.
① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；
② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；
（2）设函数1()()()
nx r x f x g x =
+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 解：（1）由题意，得()(()())()x x
h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，
所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分 又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，
将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………4分
（2）方法一：当0n =，可得()()x
x
h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x
e e
>
， ①当1m e
≤
时，()0x
h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11
m e e
-≤≤. ……………6分
②当1m e
>时，由()0x
h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，
当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，
令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1
m e e
<<.
综上所述，1
[,)m e e ∈-. ……………10分
方法二：当0n =，x
e mx = ①当0x =时，显然不成立；
②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x
e y x
=，则()221x
x x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，当1x >时，0y '>，函数x
e y x
=单
调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1
[,)m e e
∈-.
（3）由题意，1114()()()4x x n x
nx x m r x n f x g x e e x x m
=+=+=+
++， 而14()14x x
r x e x =+≥+等价于(34)40x e x x -++≥，
令()(34)4x
F x e x x =-++， ……………12分
则(0)0F =，且()(31)1x
F x e x '=-+，(0)0F '=，
令()()G x F x '=，则()(32)x
G x e x '=+，
因0x ≥， 所以()0G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，
从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分
解读：此题的初稿是：已知函数()x
f x e =，()
g x mx n =+（其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =）.
（1）若函数()()y f x g x =-在0x =处的切线过点(1,0)，求mn 的最大值；
（2）当0n =时，若函数1
()()
y f x g x =-在(1,)-+∞总有意义，求m 的取值范围；
（3）设0m >，0n >，若函数1()()nx y f x g x =+在区间[0,)+∞上的最小值为1，求m n
的最大值. 解答：（3）由题意，11()()()1x nx x
r x m f x g x e x n
=+=+
+，令0m t n =>， 则1()1
x x
r x e tx =++，因(0)1r =，所以题意等价于()1r x ≥对(0,)x ∈+∞上恒成立， ………12分
而1()11
x x r x e tx =
+≥+等价于[(1)1]10x e t x tx -+--≤， 令()[(1)1]1x F x e t x tx =-+--，则(0)0F =，所以存在00x >，使得函数()F x 在0(0,)x 上单调递减，即导数()[(1)]0x
F x e t x t t '=-+-≤在0(0,)x 上恒成立，而(0)0F '=，所以存在10(0,)x x ∈，导数()F x '在1(0,)x 上单调递减.
令()()G x F x '=，即导数()0G x '≤在1(0,)x 上恒成立，又可求得()[(1)21]x G x e t x t '=-+-，由(0)0G '≤，解得12t ≤
， ……………14分 反过来，当12
t ≤时，()0G x '≤在[0,)+∞上恒成立，所以导数()F x '在(0,)+∞上单调递减，即导数()0F x '≤在(0,)+∞上恒成立，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，即最大值(0)0F =. 综上所述，m n 的最大值为12. ……………16分 讨论时将第（1）（2）小问作了合并，使得题目更简洁些，但大家都对第（3）小问提出了异议，原因是平时学习的常规方法都行不通，这样不仅会成为一道废题，而且还会误导学生，所以又将它改为上述的常规题。

附加题答案
21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知点P 为Rt ABC ∆的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与
Rt ABC ∆的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若
18PA =，6PC =，求线段CD 的长.
解：由切割线定理，得2PC PA PB =⋅，解得2PB =，
所以16AB =，即Rt ABC ∆的外接圆半径8r =，……5分
记Rt ABC ∆外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥，
在Rt POC ∆中，由面积法得OC PC PO CD ⋅=⋅，解得245
CD =. ………………10分 B 、（选修4—2：矩阵与变换）
求直线10x y --=在矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的变换下所得曲线的方程. 解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''， 则2222222
2x y x x y y ⎧''-=⎪⎪⎨⎪''+=⎪⎩，解得2()22()2
x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩， ………………5分 代入10x y ''--=中，得22()()1022
x y y x +---=， 化简可得所求曲线方程为22x =. ………………10分 C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13π
ρθ+=的距离. C A B D P 第21-A 题图
解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为22
20x y x +-=，圆心为(1,0)， ………………4分 又2sin()13
πρθ+=，即132(sin cos )122ρθθ+=， 所以直线的普通方程为310x y +-=， ………………8分 故所求的圆心到直线的距离312d -=
. ………………10分 D 、解不等式124x x ++-<.
解：当1x <-时，不等式化为124x x --+-<，解得312
x -<<-； ………………3分 当12x -≤≤时，不等式化为124x x ++-<，解得12x -≤≤； ………………6分
当2x >时，不等式化为124x x ++-<，解得522
x <<； ………………9分 所以原不等式的解集为35(,)22
-. ………………10分 22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，
动点P 满足1(0)CP CC λλ=>，当12λ=
时，1AB BP ⊥. （1）求棱1CC 的长； （2）若二面角1B AB P --的大小为
3
π，求λ的值. 解：（1）以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，
设1CC m =，则1(3,0,)B m ，(3,0,0)B ，(0,4,)P m λ， 所以1(3,0,)AB m =，(3,4,)PB m λ=--，(3,0,0)AB =， ………………2分 当12λ=时，有11(3,0,)(3,4,)02
AB PB m m ⋅=⋅--= 解得32m =，即棱1CC 的长为32. ………………4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则由1100
AB n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3034320x x y z λ=⎧⎪⎨--=⎪⎩，即04320x y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =，则324y λ=-，所以平面PAB 的一个法向量为132(0,,1)4n λ=-，………………6分 又平面1ABB 与y 轴垂直，所以平面1ABB 的一个法向量为2(0,1,0)n =，
因二面角1B AB P --的平面角的大小为3
π， 所以1223214cos ,232()14
n n λ
λ-
==+，结合0λ>，解得269λ=. ………………10分 23．设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P .
（1）求23,P P 的值；
C A B P
B 1
C 1 A 1 第22题图
（2）求n P 的表达式.
解：（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， ………………2分
当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；
若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ………………4分
（2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,
,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有012
1111112k k k k k k C C C C ------+++
+=种情况， ………………6分 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有1232
1n k n k n k n k n k n k C C C C ------++++=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，
集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对， ………………8分
当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数， 求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L . ………………10分
相似题型：（海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试第23题）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．
（1）求a3；
（2）求a n ．
解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，
({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，
所以a 35=； …… 3分
（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，
则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：
0111111C C C 2
k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分 B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能
都不在B 中，故B 的个数为：1
2C C C 2
1n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，
所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。