第17讲 系统的频域分析及其应用
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信号与系统-信号与系统的频域分析
§3.1 周期信号的分解与合成
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用收敛 的正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一 书中。
§3.1 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
周期信号 f t,周期为T1
F () 0 0
F () , j
F () 0 0
说明：
F() F(0) f (t)dt
0
时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直
0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
co sn1t n1
2 0
4 A (n 1, 3, 5,) nπ 0 (n 2, 4, 6,)
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t )
4A π
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
2
( n1 )
)
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数：
Sa(t) sin t t
Sa (0) 1
当 t k (k 1,2,3 时，) Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号 可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系 统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中， 应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面 的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而， 常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为
傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
第17讲 周期信号的傅里叶变换
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
j1t 1 FT [sin 1 t ] FT [ 2 e j1t )] j (e
j [ ( 1 ) ( 1 )]
FT[cos1 t ] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1 )
1
F ( )
( 1 )
周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在 的。 周期信号的频谱是离散的频谱密度， 即傅立 叶变换是一系列冲激。
1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
因为 对于复指数 由频移特性，可知 而对于正弦和余弦信号
1 2 ( )
f 0 (t )
1
2
F0 ( )
2
2
1
1
1
( 1 )
1
F ( )
( 1 )
1
2.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t ) 的指数形式的傅里级数展开式为
f (t )
n
F
n
.e jn1t
系数：
Fn
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 T1 1
t
系统的频域分析
X i (s) X o (s)
10 GK ( s) s 1
X o (s)
xoss (t ) ?
10 10 GB ( s) s 1 10 s 11 1 s 1 10 GB ( j ) 11 j
A( )
10 10 11 j 121 2
( ) 10 11 j
=0 arctan
11
arctan
11
xoss (t ) A( ) sin(t 30 ( )) 10
2
121 10 1 sin(t 30 arctan ) 11 121 1
sin(t 30 arctan
) 11
频率特性的物理意义
T 1 T
2
如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根 据式（4-8），其输出位移应为
y( t ) x0 A( )sin t ( ) x0 1 T
2
sin t arctan T
（4-19）
频率特性G(j)的物理意义
本例用定义法求频率特性。直观，但较繁琐。 寻找新的求解频率特性的方法：
X O ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) X I ( s ) am s m am 1 s m 1 a1 s a0
当输入为一正弦波，即 xi ( t ) X i sin t X i X I ( s) 2 2 s
(3) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有 储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量 或电容、电感这些储能元件，它们在能量交 换时，对不同频率的信号使系统显示出不同 的特性。
系统的频域分析及其应用
-
F ( jw ) H ( jw ) e jwt dw
Yf (jw)
3．连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义
Yf (jw)= H(jw) F(jw) 系统把频谱为F(jw) 的输入改变成频谱为H(jw) F(jw) 的 响应，改变的规律完全由H(jw) 决定。 H(jw)称为系统的频率响应，定义为
无失真传输系统与理想滤波器
• 无失真传输系统 • 理想滤波器的频响特性 • 理想低通滤波器
• • 冲激响应 阶跃响应
无失真传输系统
若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为
y(t ) K f (t - td )
K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。 •时域特性 •频域特性
f(t) A
-T0
- 0
T0
t
解：对于周期方波信号，其Fourier系数为
A nw0 Cn Sa T 2
由
y(t ) C0 H ( j 0) 2 Re{Cn H ( jnw0 )e jnw0t }
n1
A A nw0 e jnw0t y (t ) 2 Sa Re aT T 2 a jnw0 n 1
• • • • •
1．虚指数信号ejwt(-<t<)通过连续系统 的零状态响应
y f (t ) e
jwt
h(t )
-
e
jw ( t - )
h( )d e
jwt
-
e- jw h( )d
e jwt H ( jw)
其中
H ( jw)
-
系统的频域分析
6 系统的频域分析 p 5
Yzs (jw)= H(jw) F(jw)
Yzs ( jw ) 或 : H ( jw ) H ( jw ) e j (w ) F ( jw )
如果信号不存在傅氏变换时，不可以用频域分析方法。 在本教材中，没有特别提示时，涉及到H(jw) 的求解， 都指满足IR条件的LTI因果系统，即不考虑初始状态的影响， 即满足：
4/RC
w
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号 的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大，即低通。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。
6 系统的频域分析 p 13
连续信号通过系统响应的频域分析
在此就是求零状态响应。又称：零状态响应的频域分析法
H ( jw ) FT[h(t )]
1 1 jw 1 jw 2 1 ( jw ) 2 3( jw ) 2
6 系统的频域分析 p 9
例 LTI系统，输入 f(t)＝e –t u(t)，输出 y(t)= e-tu(t) + e2tu(t) ，求频率响应H(jw)和h(t)。
部分分式展开
1 3( jw ) 3 jw 44 Yzs ( jw ) Fzs ( jw ) H ( jw ) jw ) 22 jw 2 (jw 3 1)((jw )(3 jw 3)
1 -t 5 - 3t - 2t y zs (t ) FT [Yzs ( jw )] [ e 2e - e ]u (t ) 2 2
j wC
由Fourier反变换，得系 统的冲激响应h(t)为：
6 系统的频域分析 p 12
1 -(1 / RC)t h(t ) e u(t ) RC
信号与系统课件：连续信号与系统的频域分析
双边谱指的是当 n 为任何值时( -∞< n <∞ )， 和 θn 随频
率 nω 0变化的图形。
连续信号与系统的频域分析
若某周期信号傅里叶级数为
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－1 周期信号频谱
连续信号与系统的频域分析
【例 3.3－1 】 试画出图 3. 2－1 所示的周期方波信号
的单边频谱和双边频谱。
A 2 =8 ， A 3 =0 ， A 4 =2 ，相位 φ 1 =-180° ， φ 2 =0° ，
φ 3 =0° ， φ 4 =90° 。于是 f ( t )的单边频谱如图 3. 3 4 所
示。
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－4 信号 f ( t )的单边谱
连续信号与系统的频域分析
由单边频谱和双边频谱的关系，可得 f (t )的双边频谱如
种简洁形式:
连续信号与系统的频域分析
两种表达式中的系数的关系为
由式( 3. 2－5 )可知， A n 是 n 的偶函数; φ n 是 n 的奇函数。
连续信号与系统的频域分析
也可由式(3. 2－4 )得到式( 3. 2－2 )，系数的关系为
连续信号与系统的频域分析
式( 3. 2－4 )表明，任意周期信号可以分解为直流和许
指函数 ej ωt 为基本信号，将任意连续信号分成一系列不同频
率的正弦信号或虚指函数信号线性组合，并加分析。对周期
信号的分解工具是傅里叶级数，对非周期信号的分解工具是
傅里叶变换。利用信号的正弦分解思想，系统的响应可看做
各不同频率正弦信号产生响应的叠加，这种思想将时域映射
到频域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频
信号与系统--系统的频域分析及其应用
Ionic conductances
synapses (es)
+
Chemical synapses (cs)
Gion1 Gion2
Gionm
Ges1 Ges2
Gesn
Gcs1, 1 Gcs1, 2
Gcs1, p
Gcsn, 1 Gcsn, 2
Gcsn, p
CM
++
+
++
+
++
+
++
+
Iex
Eion1 Eion2
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；
对f(t)*f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
信号与系统
Signals and Systems
国家精品课程主教材、北京市精品教材 《信号与系统》(第2版)
陈后金，胡健，薛健 清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005年
系统的频域分析及其应用
连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
F( jw)
1
Fs( jw)1 T
n
F[ j(w
nws
)]
w
wm 0 wm
ws 2.5wm Fs ( jw)
F[j(wws)]
1
T F(jw)
《连续系统频域分析》课件
频域分析的优势
频域分析能够提供系统的频率响应和稳定性分析 ，适用于系统的稳定性和性能评估。
3
互补性
在实际应用中，时域分析和频域分析各有优势， 应结合使用以全面了解系统的特性和性能。
CHAPTER
06
总结与展望
频域分析的总结
频域分析的定义和
意义
频域分析是一种研究系统频率响 应的方法，通过将时域问题转换 为频域问题，可以更方便地分析 系统的频率特性、稳定性、传递 函数等。
CHAPTER
05
频域分析的局限性
频域分析的假设条件
线性时不变系统
频域分析适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统则不适 用。
周期信号
频域分析主要针对周期信号进行分析，对于非周期信号，需要采用 其他方法。
无初始条件
频域分析假设系统无初始条件，对于有初始条件的情况，需要进行 特殊处理。
频域分析的局限性
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号在复平面上的工具，它可以求解差分方程 和离散时间系统。
02
Z变换具有收敛性、唯一性和线性等性质，这些性质使得Z变换在解决 实际问题时具有广泛的应用。
03
Z变换的逆变换是将复平面上的函数转换回实数轴上的过程，它也是 通过数学公式实现的。
04
在实际应用中，Z变换被广泛用于数字信号处理、数字图像处理和数 字控制系统等领域。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换具有收敛性、唯一性和线性等性 质，这些性质使得拉普拉斯变换在解决实际问
题时具有广泛的应用。
在实际应用中，拉普拉斯变换被广泛用于电路分析、 控制系统分析和信号处理等领域。
拉普拉斯变换是分析线性时不变连续系统的工 具，它可以求解常微分方程和偏微分方程。
频域分析能够提供系统的频率响应和稳定性分析 ，适用于系统的稳定性和性能评估。
3
互补性
在实际应用中，时域分析和频域分析各有优势， 应结合使用以全面了解系统的特性和性能。
CHAPTER
06
总结与展望
频域分析的总结
频域分析的定义和
意义
频域分析是一种研究系统频率响 应的方法，通过将时域问题转换 为频域问题，可以更方便地分析 系统的频率特性、稳定性、传递 函数等。
CHAPTER
05
频域分析的局限性
频域分析的假设条件
线性时不变系统
频域分析适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统则不适 用。
周期信号
频域分析主要针对周期信号进行分析，对于非周期信号，需要采用 其他方法。
无初始条件
频域分析假设系统无初始条件，对于有初始条件的情况，需要进行 特殊处理。
频域分析的局限性
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号在复平面上的工具，它可以求解差分方程 和离散时间系统。
02
Z变换具有收敛性、唯一性和线性等性质，这些性质使得Z变换在解决 实际问题时具有广泛的应用。
03
Z变换的逆变换是将复平面上的函数转换回实数轴上的过程，它也是 通过数学公式实现的。
04
在实际应用中，Z变换被广泛用于数字信号处理、数字图像处理和数 字控制系统等领域。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换具有收敛性、唯一性和线性等性 质，这些性质使得拉普拉斯变换在解决实际问
题时具有广泛的应用。
在实际应用中，拉普拉斯变换被广泛用于电路分析、 控制系统分析和信号处理等领域。
拉普拉斯变换是分析线性时不变连续系统的工 具，它可以求解常微分方程和偏微分方程。
信号与系统频域分析的简单应用
《信号与系统》读书报告（2014 / 2015 学年第一学期）题目：频域分析在信号中的应用专业学生姓名班级学号频域分析在信号中的应用任意信号可以表示成一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和，连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率分量的分析方法，这种方法以傅立叶变换理论为工具，将时间域映射到频率域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的关系，从而得到信号和系统的频谱、宽带以及无失真传输等重要概念。
下面就简要分析一下频域分析给我们带来的好处及其应用。
一． 关于计算一般情况下，系统的频域分析相比于时域分析更加简单方便，例1.若系统的微分方程为)(')(6)('5)("t x t y t y t y =++，已知，)()(t e t x t ε-=试求系统的零状态响应。
解：（1）利用频域分析法求解零状态响应)(t y zs65)()(2++=ωωωωj j j H )3)(2(11)()()(++⋅+==ωωωωωωωj j j j H X Y32322121+-++++-=ωωωj j j )(]23221[)(32t e e e t y t t t zs ε----+-=∴在本题求解零状态响应的过程中可以明显体现出频域分析法的的优势，无需求解微分方程，只需对信号进行两次简单的时域到频域的变换。
如果使用时域分析法则需要先求解冲激响应，再求解卷积积分，相当的麻烦。
二．频域分析而且在物理上更为直观，即通过频域分析，我们很容易发现系统对信号做了什么样的手脚（具体来说，就是，系统对信号各个频率分量做了怎样的处理）。
比如在信号的无失真传输以及滤波方面。
1.无失真传输从时域来看，无失真传输的条件是指响应与激励相比只有幅度大小和出现时间先后的不同，而波形没有变化)()(d t t Kx t y -=。
从频域来看d t je KX Y ωωω-=)()(系统函数d tj j Ke X Y e H H ωωθωωωω-===)()()()()( dt j K H ωωθω-==)(相位频谱)(幅度频谱无失真传输系统应满足的两个条件：通频带为无穷大)1( 成正比相频特性与)2(ω2.关于理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并阻止其它的频谱分量通过。
信号与系统--系统的频域分析及其应用
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，
抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？
(2) 若连续时间信号 f (t) 的最高频率 fm 未知， 如何确定抽样间隔T？
信号重建
x[k]
D/A
x s (t )
k
x[ k ] (t kT )
hr (t ) F [ H r (w )] Sa (
wst
2
)
...
w s wm
2
...
0
wm ws w
f (t ) f s (t ) * hr (t )
k
f (kT ) h (t kT )
r
2
4、信号重建
由抽样信号fs(t) 恢复连续信号f (t)
生物医学信号处理
AB CB DB Personal Computers In Window Operation Environments DO AO
AdLink PCI 9112 A/D, D/A Card
AI
生物信号采集系统组成框图
5、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
生物信号采集系统接口
...
k
t
f s (t ) f (t ) T (t )
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
若连续信号f(t)的频谱函数为F(jw)，则抽样信号 f s (t ) f (t ) T (t ) 的频谱函数Fs(jw)为
1 jkwT Fs ( jw ) F[ j(w nws )] f [kT ]e T n k
系统频域分析实验报告
系统频域分析实验报告1. 引言系统频域分析是一种用于研究线性时不变系统的方法，通过对系统的输入和输出信号在频域上的分析，可以得到系统的频率响应特性。
本实验旨在通过实际测量和分析，了解系统频域分析的基本原理和方法。
2. 实验设备和原理2.1 实验设备本实验所用设备包括： - 函数发生器 - 数字示波器 - 电阻、电容和电感等被测元件 - 电缆和连接线等连接配件2.2 实验原理系统频域分析是基于傅里叶变换的原理，通过将时域上的信号转换到频域上进行分析。
在本实验中，我们将使用函数发生器产生不同频率和幅度的正弦信号作为输入信号，通过被测系统输出的信号，使用数字示波器进行采集和分析。
3. 实验步骤3.1 连接实验设备将函数发生器的输出端与被测系统的输入端相连，将被测系统的输出端与数字示波器的输入端相连，确保连接正确可靠。
3.2 设置函数发生器调整函数发生器的频率、幅度和波形等参数，以产生不同频率和幅度的正弦信号作为输入信号。
3.3 采集数据使用数字示波器对被测系统的输出信号进行采集和记录。
可以选择适当的采样频率和采样时间，确保得到足够的数据点。
3.4 数据分析使用计算机软件或编程语言，对采集到的数据进行频域分析。
可以使用离散傅里叶变换（DFT）等方法，将时域上的信号转换到频域上，得到信号的频谱图。
3.5 分析结果根据得到的频谱图，可以分析出被测系统的频率响应特性。
可以通过找到频率响应曲线的极值点、截止频率等特征，来判断系统的性能和特点。
4. 实验结果和讨论4.1 频谱图展示根据采集到的数据和进行频域分析的结果，绘制出被测系统的频谱图。
4.2 频率响应特性分析根据频谱图的分析结果，可以得到被测系统的频率响应特性。
比如，可以观察到系统在不同频率下的增益特性、相位特性等。
4.3 讨论实验误差在实际实验中，可能存在各种误差的影响。
可以对实验误差进行分析和讨论，比如测量误差、系统本身的非线性特性等。
5. 结论通过本实验，我们了解了系统频域分析的基本原理和方法。
《频域分析法》课件
傅里叶变换
2
征。
傅里叶变换和快速傅里叶变换是频域分
析法的核心工具。
3
广泛应用
频域分析法在信号处理、振动分析等领 域应用广泛。
语音信号处理
MFCC特征提取
通过倒谱分析等算法提取人声音频信号的谱系数用 于人声识别等应用。
DTW匹配算法
计算不同说话人、不同语音之间的距离，分析其声 学特征进行语音识别等应用。
3
子空间分析
采用Blind Signal Separation和Principal Component Analysis等做成的成熟算法对多个通道的振 动信号进行分析。
4
小波分析
将振动信号分解为多个尺度和频带的信号，用于分析其局部特征。
快速傅里叶变换算法原理
1 简介
2 算法思想
3 应用场景
FFT是一种高效的傅里叶变 换算法，能够将N个离散 复值序列进行O(N log N)次 计算，大大提高了计算效 率。
自相关函数和互相关函 数
可以用来分析信号的周期性 和相关性。
应用案例
语音信号处理
通过频域分析，可以对说话人的 声音信号进行识别和分类。
图像处理
可以通过傅里叶变换将图像转换 到频域进行增强和滤波处理。
振动信号分析
可以通过频域分析，对机械结构 的振动特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行诊断和预测。
总结
1
频谱特征
通过频域分析法可以获得信号的频谱特
图像处理
1 频域滤波
通过傅里叶变换将图像转 换到频域，对图像进行滤 波去噪。
2 谱减法
通过度量图像的能量谱， 进行图像增强。
3 高通、低通滤波
高通滤波可以用于锐化图 像的轮廓，低通滤波可以 用于平滑图像的模糊。
频域分析
（2）时域分析的缺陷
高阶系统的分析难以进行； 系统某些元件的传递函数难以列写，整个系统的分析工 作难以进行；
（3）频域分析的目的
频域分析：以输入信号的频率（ s jw）为变量，在频率 域研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统 性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的统）； sT （延迟环节传递函数：Gs e ）
５.微分环节 微分环节的传递函数是s， 其频率特性为：
G(jω) jω ω e
π j 2
0 Re
0
Im
微分环节的幅频特性和相频特性的 表达式为：
图12
A( ) π ( ) 2
微分环节的对数幅频特性和相频 L()(db) 特性为： L( ) 20 lg 20db / dec π 1 ( ) 2 ()() 由图可见，其对数幅频特性为 90 一条斜率为+20db/dec的直线， 此线通过ω=1，L(ω)=0 db的 点。相频特性是一条平行于横 轴的直线，其纵坐标为π/2。
频率特性的图示方法 系统的频率特性可分解
G( jw) 实部 虚部 U (w) jV (w)
G( jw) A(w)e
j ( w)
尼奎斯特图 系统频率特性 G( jw) 是个向量。
幅频特性 G( jw) [U ( w)] 2 [V ( w)] 2
V (w) 相频特性 G( jw) arctan U (w)
r 1 2 2
谐振频率
( 0.707)
r 1 2 2 n ( 0.707)
专题线性系统的频域分析法优秀课件
Im ω∞ 0 Re
ω ω=0
2．对数频率特性曲线
对数幅频特性
横坐标表示为：
为方便只表示ω
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω ) 单位为 dB 对数相频特性
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
斜率
20
-40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
幅频特性。用A(ω)表示
A()RmG(j) G(j)
Rm
(2)稳态输出相位与输入相位之差称系统
的相频特性，用(ω)表示。
() [t G ( j) ] t G ( j)
(3)幅频A(ω)和相频(ω)统称为频率特性 ，因此频率特性又称幅相频率特性。
G (j) A ()e ( ) G (j)e j G (j )
=-tg-ω1
-
T
电路的稳态输出: ur(t)=Asinωt
cs(t)√=
A 1+(ω T)2
sin(ω
t-tg-ω1
T)
RC电路的频率特性曲线
A(ω)
1A 0.8A
Φ(ω)
0
-2060
0.2A
-80
0 1 2 34 5 ω
0 1 2 345 ω
T T TT T
T T T TT
频率特性可表示为：
G(ωj )=A(ω )e φj (ω )
φ (ω )=tg-1PQ(ωω( ))
=P(ω )+jQ(ω ) A(ω )√= P2(ω )+Q2(ω )
二、频率特性的性质
(1) 频率特性也是一种数学模型。 (2) 频率特性是一种稳态响应。 (3) 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率，且G(jω)、 A(ω)、(ω)都是频率ω的复变函数，都随频率的改变而改 变，而与输入幅值无关。 (4) 频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特 性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的 性能指标。 (5) 实际的自动控制系统都具有ω升高，幅频特性A(ω)衰减的 特性，该特性称为低通滤波器的特性。 (6) 频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应 用到某些非线性系统的分析。
信号通过系统的频域分析方法
§4-1 概述系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。
频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。
但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。
但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。
频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。
§4-2信号通过系统的频域分析方法一、系统对周期性信号的稳态响应1、 基本思路：周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。
只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。
⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。
2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。
注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。
例：P167， 例题4-1⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。
例如信号：t t t e πcos cos )(+=虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。
3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt db t e dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号tj ej E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正弦信号tj e j R ωω⋅)(。
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c
Y s ( )
m
m
c
A/ 2
c
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 9
利用希尔伯特变换实现单边带幅度调制的谱分析
cos( c t )
y1 (t )
f (t )
H ( )
y S (t )
f h (t )
y2 (t )
sin( c t )
1 Y1 ( ) [ F ( c ) F ( c )] 2
c
四、频分复用
F1 ( )
调制系统
cos c1t
0
F2 ( )
f1 (t )
cos c 2t
f 2 (t )
cos c 3t
y (t )
0
Y ( )
f 3 (t )
F3 ( )
0
0
c1
c2
c3
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 12
四、频分复用
系统的频域分析及其应用
连续时间系统的频率响应
连续信号通过系统响应的频域分析
无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 1
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
信号的频谱分析
双边带调幅中各信号频谱
F ( )
A
( π)
H1(j) f (t) H2(j) C 1 1
A
B
-100 -80 80 100
D
E
y(t)
15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解： FB ( j) 1 F ( j) * FA ( j) 2π 1 [ F ( 100) F ( 100)] 2 F (j)
y2 ( t)
y(t)
y3 (t )
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 14
五、时分复用
p(t)
时分复用时的周期脉冲信号
...
...
p1(t)
...
0
0
T
2T
3T
t
...
T 2T 3T
t
p2(t)
...
0 0 T 2T 3T
...
p (t) 3
...
0
t
...
T 2T 3T
t
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 15
1 Y ( j ) F ( j ) 4 1 y (t ) f (t ) 4
-10
10
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 22
1 R ( ) [Y ( c ) Y ( c )] 2
r (t ) y(t ) cos(ct )
调幅信号解调框图
Fr ( ) R( ) H ( )
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 3
Y ( )
A/ 2
c
c Y ( c )
A/ 2
Y ( )
解调系统
0
c1
c2
c3
cos c1t
带通1
cos c 2t
f1 (t )
y (t )
带通2
cos c 3t
f 2 (t )
带通3
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 13
f 3 (t )
五、时分复用
原理框图
x1 (t) p1(t) x2 (t) p2(t) x3 ( t) p3(t) y1 (t )
-10
10
190 200
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 19
精品课件！
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 20
精品课件！
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 21
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频 谱图，求出y(t)与f(t)的关系。
Ydn ( )
A/ 2
c
2 c
m
A/ 2
m Fr ( )
2 c
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 6
m
m
三、单边带幅度调制
单边带幅度调制实现
方法一：采用带通滤波器
f (t )
y D (t )
c
H ( )
1
c
y S (t )
cos c t
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 7
三、单边带幅度调制
单边带幅度调制实现
方法二：利用希尔伯特(Hilbert)变换
cos( c t )
y1 (t )
f (t )
H ( )
y S (t )
f h (t )
y2 (t )
sin( c t )
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 8
1 采用带通滤波器实现单边带幅度调制的谱分析 f (t ) y S (t )
H1(j) f (t) H2(j) C
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
解：
F(j) 2
1 FD ( j) [ FC ( 100) FC ( 100)] 2
FD(j) 1/2 200 190 10 0 10
H1(j) f (t) H2(j) CA NhomakorabeaB
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解： F ( j ) Y ( j ) F ( j ) H ( j ) E D 2
FE(j) 1/2 10 0 10
利用希尔伯特变换单边带幅度调制的频谱
F ( )
A
Y1 ( )
A/ 2
m
Fh ( )
m
c
c
Y2 ( )
A/ 2
Aj
c
c
A/ 2
YS ( )
m
m
A
Aj
Fh () jF () sgn( )
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 11
c
1 110 100 90
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 17
B
-10
10
0
90 100 110
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频 谱图，求出y(t)与f(t)的关系。
H1(j) f (t) H2(j) C
解： FA ( j ) F[cos(100t )] π[ ( 100) ( 100)]
() FA(j) ()
-10
10
100
0
100
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 16
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频 谱图，求出y(t)与f(t)的关系。
C ( )
(π)
m
m
c
Y ( )
A/ 2
c
c
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 2
c
二、同步解调
y (t )
r (t )
2
H ( )
c
c
f r (t )
cos c t
1 R() Y () * π[ ( c ) ( c )] 2π
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解：
FC ( j) FB ( j) H1 ( j)
1 100 90 0 FC(j)
-10 10
90 100
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 18
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频 谱图，求出y(t)与f(t)的关系。
y D (t ) f (t ) cos(c t )
c
y D (t )
H ( )
c
cos c t 1 YD ( ) [ F ( c ) F ( c )] 2
YS ( ) YD ( ) H ( )
YD ( )
F ( )
A
A/ 2
c
三、单边带幅度调制
Y ( )
上边带 下边带
A/ 2
下边带
上边带
F ( )
A
c
c
Ydn ( )
A/ 2
m
m
c
Y up ( )
A/ 2
c
c
第17讲 系统的频域分析及其应用 p 5
c
三、单边带幅度调制
单边带幅度调制 已调信号的解调
c
R( )