【新】人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元检测及答案

人教版数学九年级下学期
第28章《锐角三角函数》单元测试卷
（满分120分，限时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.sin60°的值等于（）
A．1
2
B
C
D
2.已知α为锐角，sin（α﹣20°）
，则α=（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）
A
B
C．
1
2
D．2
4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB
5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=1
3
，则cosA的值为（）
A
B．
2
3
C．
3
4
D
7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）
A
B
C
D
8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）
A
A．3米B．
C．
D．
9.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）
A．47m B．51m C．53m D．54m
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.求值：sin60°﹣tan30°=．
12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，3AB=10，则∠A=度．
C B
A
13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是．
O B
A
14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=1
3
，则S△ABC=．
15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．
16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________．
三、解答题(共8题，共72分)
17.（本题8分）已知α为一锐角，sin α=45
，求tan α．
18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．
C
B
A
19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．
C
AB 于点D ，根据三角函数的定义在Rt △ACD 中，在Rt △CDB 中，即可求出CD ，AD ，BD ，从而
求解．
20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲
减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为米．求新传送带AC 的长度．
D
22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角
为30°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方
向，点P到点B的距离是（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C 处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈3
8
，cos22°≈
15
16
，tan22°≈
2
5
）
第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题
1. 【答案】sin60°
．故选C．
2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°）
，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．
3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．
4.【答案】A、∵sinB=b
c
，∴b=c•sinB，故选项错误；
B、∵cosB=a
c
，∴a=c•cosB，故选项错误；
C、∵tanB=b
a
，∴a=
b
tan B
，故选项错误；
D、∵tanB=b
a
，∴b=a•tanB，故选项正确．
故选D．
5.【答案】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
6.【答案】如图，
A
∵tanA=1
3
，∴设BC=x
，则AC=3x，∴
，∴
．
故选D．
7.【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2
，∴AD=1，BD=5，
∴
sinB=
CD
BC
．
故选：B．
D
8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．
∴BO DO
AB CD
=．∴AB=
BO CD
DO
⨯
．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．
在Rt△BDO中，tan60°=BO DO
．
∵CD=6．∴
AB=BO DO
×
故选B．
A
9.【答案】坡角α
，则tanα=1α=30°．故选A．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD
•sin60°=60
51（m）．
故选B．二、填空题
11.【答案】原式
．
12.【
答案】∵∠C=90°，AB=10，
∴
cosA=
AC
AB
，
∴∠A=30°，
故答案为：30°．
13.【答案】由图可得cos∠AOB=3
2
．
故答案为：3
2
．
B 14.【答案
】在Rt △ABC 中，
∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．
∵sinA=1
3，∴BC=4，．∴S △ABC =12AC •
15. 【
答案】由题意得：AD=6m ，
在Rt △ACD 中，
∴
AB=1.6m
∴CE=CD +DE=CD + 1.6，
所以树的高度为（ 1.6）m ．
16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于
C ．
°﹣60°=30°
，OA=14千米，则AC=
12
OA=7千米，
因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．
三、解答题
17.【解答】由sin α=4
5，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tan α=43
． a
18.【解答】sinA=BC AB =12
． 19.【
解答】作CD ⊥AB 于点D ， C
D
在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12
AC=2，AD=AC •
在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴
AB=AD +BD=2+
20. 【解答】作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F ．
∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º. 根据题意，得BE=24mm ，DF=48mm ．
在Rt △ABE 中，sin α=BE AB ，∴AB=o BE sin36=240.60
=40mm 在Rt △ADF 中，cos ∠ADF==
DF AD ，∴AD=o DF cos36=48600.80=mm ． ∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ．
21.【解答】如图，
在Rt △ABD 中，AD=ABsin45°=4． 在Rt △ACD 中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．
即新传送带AC 的长度约为8米；
22. 【解答】过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．
在Rt △ABG 中，i=tan ∠，∴∠BAG=30°，
∴BG=
12
AB=5，BF=AG +15． 在Rt △BFC 中，
∵∠CBF=30°，∴CF ：，∴CF=5+ 在Rt △ADE 中，∠DAE=45°，AE=15，
∴DE=AE=15，∴CD=CF +FE ﹣DE=5+5﹣15=（5）m ．
答：宣传牌CD 高约（5）米．
23. 【解答】（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．
在Rt △PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米． 在Rt △PAD 中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，
∴PA=6千米．∴AB=BD +AD=3+；
（2）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ．
根据题意得：∠ABC=105°，在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=12 3 千米． 在△ABC 中，∠C=180°﹣∠BAC ﹣∠ABC=45°．
在Rt △BCF 中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴PC=AF +CF ﹣
故小船沿途考察的时间为：（小时）．
24.【解答】（1）如图，
过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，
tan22°=AM
ME
，则
x22
x255
-
=
+
，解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
在Rt△AME中，cos22°=ME
AE
．∴AE=
o
ME
cos22
，
即A、E之间的距离约为48m。