第二章 函数导数 第六节 对数与对数函数答案

答案
[全盘巩固]
1．解析：选A 由1－2log 6x ≥0得log 6x ≤1
2，所以0<x ≤6，故函数f(x)的定义域为(0，6]．
2．解析：选D 因为
33＝31
2
31＝3－12，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33＝log 333＝log 33－12＝－12. 3．解析：选D 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c>a>b.比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝1
2，
log 52<log 55＝12，得a>b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1
log 25
，结合换底公式即得log 32>log 52.
4．解析：选D 函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12
t
与t ＝g(x)＝x 2
－4复合而成，又y ＝log 12
t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所
以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
5．解析：选B 因为函数y ＝log a x 过点(3，1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3－x
不可能过点(1，3)，排除A ；y ＝(－x)3
＝－x 3
不可能过点(1，1)，排除C ；y ＝log 3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.
6．解析：选B 令2x ＝3y ＝6z
＝k(k≠1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，所以x ＋y z ＝
log 2k ＋log 3k log 6k ＝
log 2k log 6k ＋log 3k
log 6k
＝log 26＋log 36＝1＋log 23＋1＋log 32＝2＋log 23＋log 32，又2＋log 23＋log 32>2＋2＝4，2＋log 23＋log 32<2＋2＋1＝5，故选B.
7．解析：选A 令h(x)＝10－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110x
，g(x)＝|lg x|，在平面直角坐标系中作出两函数的简图，由图可知
⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 1＝－lg x 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2＝lg x 2，两式相减得⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2＝－lg x 1－lg x 2＝－lg x 1x 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 1
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫110x 2
>0，所以lg x 1x 2<0，即0<x 1x 2<1.
8．解析：选A f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln 1＋x 1－x ，又当x∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＝ln 1＋
2x
1＋x 2
1－2x 1＋x
2
＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝
2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x ≥0，令g(x)＝f(x)－2x ＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝11＋x ＋11－x －2＝2x
2
1－x 2>0，
所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x ≥g(0)＝0，即f(x)≥2x ，又f(x)与y ＝2x 都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.
9．解析：log 227×log 34＝log 233
×log 32＝3log 23×log 32＝3. 答案：3
10．解析：由于a>1，所以f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上单调递增，所以f(2a)＝3f(a)，即log a 2a ＝3log a a ＝3，所以a 3
＝2a ，所以a ＝ 2.
答案： 2
11．解析：由于x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2≥2，所以lg(x 2
－2x ＋3)≥lg 2，要使函数f(x)有最大值，
则指数函数单调递减，则有0<a<1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2
－5x ＋7<1，即⎩
⎪⎨⎪⎧0<x 2
－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x<3，
即不等式的解集为(2，3)．
答案：(2，3)
12．解析：∵f(x)＝ln(1＋9x 2
－3x)＋1， ∴f(－x)＝ln(1＋9x 2
＋3x)＋1， ∴f(x)＋f(－x)＝ln 1＋1＋1＝2， 又lg 1
2
＝－lg 2，
∴f(lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＝2. 答案：2
13．解：(1)∵f(1)＝2， ∴log a 4＝2(a>0，a ≠1)， ∴a ＝2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得x∈(－1，3)， ∴函数f(x)的定义域为 (－1，3)．
(2)f(x)＝log 2(1＋x)＋log 2(3－x)＝log 2(1＋x)(3－x)＝log 2[－(x －1)2
＋4]， ∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f(1)＝log 24＝2. [冲击名校]
1．解析：
选C 作出f(x)的大致图象．不妨设a ＜b ＜c ，因为a 、b 、c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10<c<12，且|lg a|＝|lg b|，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c∈(10，12)．
2．解析：依题意得y ＝a 3
x ，当x∈[a ，2a]时，y ＝a 3
x ∈[12a 2，a 2]⊆[a ，a 2
]，因此有12a 2≥a ，又a>1，由
此解得a ≥2.
答案：[2，＋∞]
3．解：(1)由f(x)＋f(－x)＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x
1－x ＝log 21＝0，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 015＝0.
(2)f(x)的定义域为(－1，1)， ∵f(x)＝－x ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1， 当x∈(－1，1)时，f(x)为减函数，
∴当a∈(0，1)，x ∈(－a ，a)时f(x)单调递减， ∴当x ＝a 时，f(x)min ＝－a ＋log 21－a
1＋a .。