1.5.1全称量词与存在量词PPT课件(人教版)

[知识梳理]
存在量词及存在量词命题的概念
存在量词
存在量词命题
短语“存在一个”
“ 至少有一个 ” 含 有 存 在 量 词 的 命 题 ,
定义
在逻辑中通常叫 叫做 存在量词命题
做 存在
量词
符号
∃
∃x∈M,p(x)
表示
存在 M 中的元素 x,
读作
存在
p(x)成立
【思考】
(1)常见的存在量词有哪些?
提示:有一个、有些、有的、存在一个、至少有
命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 (
A.a>4
B.a<4
C.a≥4
D.a≤4
)
解析:因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有
实根,因为Δ=16-4a<0,所以a>4.
答案:A
课堂建构
(1)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要
对集合 M 中每个元素 x,证明 p(x)都成立.如果在集合 M 中
找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称量词命
题就是假命题.
(2)要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需
在集合 M 中找到一个元素 x,使 p(x)成立即可.如果在集合
)
在性”. (
答案:√
(3)全称量词命题中一定含有全称量词,存在量词命题中
)
一定含有存在量词. (
答案:×
(
探索点一 判断命题的类型
【例 1】 (1)多选题下列语句不是存在量词命题的是
)
A.所有无理数的平方都是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意 n∈N,2n-1 是奇数
D.存在 n∈N,2n+1 是偶数
所以用“∀”可表示为∀x∈R,x2≥0.
②为存在量词命题,所以用“∃”表示为
∃x<0,ax2+2x+1=0(a<1).
方法规律
判断一个命题是全称量词命题或存在量词命题的方法
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的
关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,
故要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词
解:(1)可完整地表述为“所有梯形的对角线相等”,很
显然为全称量词命题.
(2)含存在量词,所以为存在量词命题.
(3)可完整地表述为“所有的二次函数都与 x 轴相交”,
故为全称量词命题.
(4)可完整地表述为“如果任意一条直线与两条平行
线中的一条相交,那么它也与另一条相交”,故为全称量词
命题.
全称量词命题与存在量词命题真
假的判断
【例 2】 指出下列命题是全称命题还是存在量
词命题并判断它们的真假.
(1)∀x∈N,2x+1 是奇数;
探索点二
(2)存在一个 x0∈R,使

=0;
-
(3)对任意实数 a,|a|>0;
(4)在三角形中有一个角 α,使得 α>180°.
解:(1)是全称命题,因为∀x∈N,2x+1 都是奇
解析:因为“所有”“任意”为全称量词,所以选项
A,C为全称量词命题;“有的”“存在”为存在量词,所以选
项B,D为存在量词命题.
答案:AC
(2)将下列命题用“∀”或“∃”表示.
①实数的平方是非负数;
②关于 x 的方程 ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一
个负根.
解:①可改为“任意一个实数的平方都是非负数”,
短语
“ 所有的 ”“ 任
含有全称量词的命题,叫
定义 意一个
”在逻辑中通常 做 全称量词命题
叫做 全称 量词
符号
∀x∈M,p(x)
∀
表示
读
任意
对 M 中任意一个 x,
【思考】
(1) 常见的全称量词有哪些?
提示:一切、任意、任给、每一个、所有等.
(2)全称量词命题“∀x∈M,p(x)”为真的含义是什么?
C.存在两条相交直线垂直于同一条直线
D.∃x0∈{x|x 是无理数}, 是有理数
解析:垂直于同一直线的两条直线是平行的,所以
找不到两条相交直线垂直于同一直线.
答案:C
3.同类练下列四个命题既是存在量词命题又是真命题
的是 (
)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 x,使 x2≤0
符号正确表达命题.
易错提醒:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命
题的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等;
(2)存在一个四边形有外接圆;
(3)二次函数都与 x 轴相交;
(4)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,那么它
也与另一条相交.
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数

x,使 >2

解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B
项中,当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命
题;C项中,因为 3+(- 3)=0,所以C项是假命题;D项中,对于
1
任意一个负数x,都有 <0,所以D项是假命题.

答案:B
4.拔高练已知命题 p:∃x∈R,x2+4x+a=0,若
一个、对某些等.
(2)存在量词命题“∃x∈M,p(x)”为真的含义是什么?
提示:在M中,至少有一个x具有或满足性质p(x),而
不是所有的个体都不具有性质p(x).
[基础测试]
2.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(
答案:×
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存
提示:对M中的每一个x,都具有或满足.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)命题“∀x∈R,x2+2>0”是全称量词命题. (
答案:√
(2)∀x∈R,x3≥x. (
)
答案:×
(3)∀x∈R,x2+|x|>0. (
答案:×
)
)
二、存在量词、存在量词命题
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5
1.5.1
[学习目标]
全称量词与存在量词
全称量词与存在量词
1.通过探究数学中的一些实例,理解全称量
词与存在量词的意义.
2.理解全称量词命题和存在量词命题的含义,并能判断命
题的真假.
一、全称量词、全称量词命题
[知识梳理]
在全称量词及全称量词命题的概念
全称量词
全称量词命题
M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在,那么这个存在量词命题
就是假命题.
易错提醒:判断全称量词命题为假,只需举一个反例即可;
判断存在量词命题为真,只需举一个特例.
【跟踪训练】
2. 变式练下列存在量词命题中,假命题的是 (
)
A.∃x0∈R, -2x0-3=0
B.至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除
数,所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在 x0∈R,使

=0 成立,所以该命题是假命题.
-
(3)是全称命题.因为|0|=0,所以对任意实数
a,|a|>0 不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)是存在量词命题.因为三角形的内角和为
180°,所以该命题是假命题.
方法规律
判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法