2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中高一上学期期中联考数学试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中高一上学期期中
联考数学试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，{}
3A x x =<，{}
15B x x =-<<，则()R A C B I 等于（ ） A ．{}31x x -<<- B ．{}
35x x << C ．{}
31
x x -≤≤-
D ．{}
31x x -<≤-
【答案】D
【解析】直接根据交集和补集的定义进行运算． 【详解】
由题意有，{
5R C B x x =≥或}1x ≤-，{}
33A x x =-<<， ∴(){}
31R A C B x x ⋂=-<≤-， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．已知集合{
}
2
230A x x x =--=，{}
10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．3,11⎧
-⎫⎨⎬⎩⎭
B ．1013,,⎧⎫⎨⎩-⎬⎭
C ．13,1⎧-⎫⎨⎬⎩⎭
D ．1013,,⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【答案】D
【解析】先解方程求出集合{}1,3A =-，再根据A B A ⋃=得到B A ⊆，再对m 分类讨论即可求出答案． 【详解】
解：由题意有{}1,3A =-， 又A B A ⋃=， ∴B A ⊆，
当0m =，B A =∅⊆； 当0m ≠时，1m A B ⎧⎫
⊆⎨⎬⎩⎭
=-
，则11m -=-或3，∴1m =或13-，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于基础题．
3．函数()f x =
的定义域是（ ） A ．(]3-∞，
B ．11,322,
⎛
⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭⎝∞⎭U C ．1132,,2⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎝
⎭⎝∞⎭U
D ．()()344+∞U ,
, 【答案】C
【解析】由题意得30x -≥且22940x x -+≠，解出即可得出答案． 【详解】
解：由题意得，230
2940x x x -≥⎧⎨-+≠⎩，即()()32140x x x ≤⎧⎨--≠⎩
，
解得：12x <或1
32
x <≤， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查具体函数的定义域，属于基础题．
4．函数3()23log x
f x x =-+的零点所在区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞）
【答案】B
【解析】计算出(1),(2)f f ,并判断符号,由零点存在性定理可得答案. 【详解】
因为3(1)23log 110f =-+=-<,2
33(2)23log 21log 20f =-+=+>,
所以根据零点存在性定理可知函数3()23log x
f x x =-+的零点所在区间是(1,2), 故选:B 【点睛】
本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.
5．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，当()0,x ∈+∞时，()2
f x x =，
则
()2f -的值等于（ ）
A ．4-
B ．1
C ．1-
D ．4
【答案】A
【解析】由题意得，()()220f f -+=，再代入即可求出答案． 【详解】
由题意有，()()220f f -+=， ∴()()224f f -=-=-， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查根据函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
6．某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格（x 元/支）在x ∈[5，15]时，
每天售出该鲜花支数p （x ）
500
4
x =-，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为( )元 A ．9 B ．11 C ．13 D ．15
【答案】D
【解析】仔细阅读题目,得到利润的函数解析式后,利用函数的单调性可求得最大值. 【详解】 设每天获利y 元,
则500
(5)()(5)4
y x p x x x =-=-⋅
- ([5,15])x ∈, 因为5001
(41)500(1)44
y x x x =--⋅
=---在[5,15]上单调递增, 所以15x =时,y 取得最大值5000
11
元
所以若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为15元. 故选:D 【点睛】
本题考查了函数模型及其应用中的分式型函数模型,考查了利用函数单调性求最大值,属于基础题.
7．已()231,0
2,0
x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则方程()2f x =的所有根之和为（ ）
A ．3
B ．1-
C ．1
D ．3-
【答案】B
【解析】分类讨论得3120x x ⎧-=⎨≥⎩或222
x x ⎧-=⎨<⎩，解出即可得出结论．
【详解】
解：由()2f x =得，3120x x ⎧-=⎨≥⎩或222
x x ⎧-=⎨<⎩，
解得：1x =或2x =-， ∴方程的根的和为121-=-， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查已知分段函数的函数值求自变量，属于基础题．
8．已知点()8m ,在幂函数()()1n f x m x =-的图象上，设32a f ⎛=⎫
⎪⎝⎭
，()4log 9b f =，0.512c f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】C
【解析】根据题意得118n m m -=⎧⎨=⎩，解得2
3m n =⎧⎨=⎩
，从而得出函数解析式，再根据幂函数的
单调性即可得出结论． 【详解】
解：Q 点(),8m 在幂函数()()1n
f x m x =-的图象上，
∴118n
m m -=⎧⎨
=⎩，解得2
3
m n =⎧⎨=⎩， ()3f x x ∴=，
∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，
又0.5
4413
log 8log 922
1⎛⎫< ⎪⎝⎭
<
=<， ∴c a b <<， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及其单调性的应用，属于基础题．
9．若函数(
)f x =区间[]1,2单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[]42,-
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,2-
【答案】C
【解析】由复合函数的单调性得2522012
a a ⎧+-≥⎪
⎨≤⎪⎩，解出即可．
【详解】
由题意得2522012
a a ⎧+-≥⎪
⎨≤⎪⎩，
∴122a a ⎧≥-⎪⎨⎪≤⎩
，即122a -≤≤，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查根据复合函数的单调性求参数范围，要注意函数的定义域，属于基础题． 10．已知0a >，设函数()5
2f x x x b =++，[],x a a ∈-，b Z ∈，若()f x 的最大值
为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能为（ ） A ．4与3 B ．3与1 C ．5和2 D ．7与4
【答案】B
【解析】由函数()5
2g x x x =+为奇函数得2M m b +=为偶数，由此可得出答案．
【详解】
解：∵函数()5
2g x x x =+为奇函数，且b Z ∈，
∴2M m b +=为偶数， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
11．设min{,,}a b c 表示a ,b ,c 三者中的最小者，若函数{
}
2
()min 2,,242x f x x x =-，
则当[1,5]x ∈时，()f x 的值域是（ ） A ．[1,32] B ．[1,14] C ．[2,14] D ．[1,16]
【答案】D
【解析】画出函数2
2,,242x y y x y x ===-的图象得出分段函数()f x 在区间[1,5]的
解析式，利用函数的单调性求出每一段的值域，即可得出当[1,5]x ∈时，()f x 的值域. 【详解】
函数2
2,,242x
y y x y x ===-的图象如下图所示
所以当[1,5]x ∈时，函数()f x 的解析式为：2,12()2,24
242,45x
x x f x x x x ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩
函数2
y x =在区间[)1,2上为增函数，则该区间的值域为[)1,4
函数2x
y =在区间[)2,4上为增函数，则该区间的值域为[)4,16
函数242y x =-在区间[]4,5上为减函数，则该区间的值域为[]14,16 所以函数()f x 在区间[1,5]的值域为[]1,16 故选：D 【点睛】
本题主要考查了求分段函数在给定区间的值域，求出每一段对应的值域，再取并集得出分段函数的值域，属于中档题.
12．已知函数()()22
,12ln 1,1
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩
，若()()()2
23F x f x af x =-+的零点个数为
4个时，实数a 的取值范围为（ ）
A ．265,7,333⎛⎤⎛⎫
⎥ ⎪ ⎝∞⎦
+⎭⎝U B ．263,73⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C ．53
,2⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D ．()26523,,⎛⎤
+∞ ⎥ ⎝⎦
U
【答案】A
【解析】作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由图可知，当0t <时，()f x t =无解，当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解，当
12t <≤时，()f x t =有3解，由题意可得22
03
t at -+
=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <，则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论． 【详解】
解：作出函数()f x 的大致图象得，
令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，
当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解， 当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()2
2
3
F x f x af x =-+
有4个零点， ∴2
2
03
t at -+
=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()2
23
g t t at =-+
，()3002
g =>，
①当1201t t <<≤时，
由图可知()100120
g a ⎧≥⎪
⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩
265
3a <≤；
②当122t t <<时，
由图可知()20220
g a ⎧>⎪
⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即22420322803a a a ⎧
-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩
，无解； ③当101t <≤，22t >时，
由图可知()()10200g g ⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即22103242038
03a a a ⎧-+≤⎪⎪
⎪
-+<⎨⎪
⎪->⎪⎩
，解得73a >，
综上：2657,333
a ⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．
二、填空题
13．已知函数f （x ）＝a x ﹣2﹣4（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为_____．
【答案】(2,3)-
【解析】根据指数函数的图像恒过点()
0,1 ，令20x -=可得22,
1x x a -==,可得
()143f x =-=-,从而得恒过点的坐标.
【详解】
∵函数2()4x f x a -=-，其中0,1a a >≠， 令20x -=可得22,1x x a -==,
∴()143f x =-=-, ∴点A 的坐标为(2,3)-， 故答案为: (2,3)-． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点()
0,1，运用整体代换值的方法是本题的关键，属于基础题． 14
2lg 3
lg 2
的值为________. 【答案】3-
【解析】把根式内部开方，再由对数的换底公式求解．
【详解】
2lg 3
lg 2
22log 932log 3=--222log 332log 3=--3=-， 故答案为：3-． 【点睛】
本题主要考查对数的换底公式及根式得运算，属于基础题．
15．函数()21
,2
4
4,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩
，则不等式()112f x +<的解集为________. 【答案】,32,1522⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝-
+∞⎭
U 【解析】由题意得()()211,1143,1x x f x x x ⎧++≤⎪+=⎨⎪->⎩，则()112f x +<()2111<
42
1
x x ⎧
++⎪⇔⎨⎪≤⎩
或
1 3
2
1
x
x
⎧
-<⎪
⎨
⎪>
⎩
，解出即可．
【详解】
解：∵()
2
1
,2
4
4,2
x x
f x
x x
⎧
+≤
⎪
=⎨
⎪->
⎩
，
∴()
()21
1,1
14
3,1
x x
f x
x x
⎧
++≤
⎪
+=⎨
⎪->
⎩
，
由()
1
1
2
f x+<得，
()211
1<
42
1
x
x
⎧
++
⎪
⎨
⎪≤
⎩
或
1
3
2
1
x
x
⎧
-<
⎪
⎨
⎪>
⎩
，
解得：
31
22
x<-
-<或
5
2
x>，
故答案为：,
3
2
,
15
22
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
-+∞
⎭
U．
【点睛】
本题主要考查了分段函数解不等式问题，属于中档题．
16．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，AC CO
⊥，AC与BO交于点E.若指数函数()
01
x
y a a a
=>≠
,经过点E，B，则函数()a
f x x
x
=-在区间[]
1,2上的最小值为________.
【答案】3
-
【解析】设点(),t
E t a，则点B的坐标为()
2,2t
t a，由题意得2
2t t
a a
=，则2
t
a=，再根据平行四边形的面积求得
1
2
t=，由此得4
a=，得函数()
f x的解析式，从而得函数()
f x的的单调性与最值．
【详解】
解：设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，
∵22t t a a =，∴2t a =，
∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2， ∴42t =，1
2
t =，所以122a =，4a =，
∴()4
f x x x
=-
在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4
111
f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．
三、解答题 17．已知集合()(){}10A x a x a =
---≤，{}13B x x =-≤≤.
（1）若A B A =I ，求实数a 的取值范围; （2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12a -≤≤（2）23a -≤≤
【解析】（1）由题意[],1A a a =+，由A B A =I 得A B ⊆，再根据包含关系即可得出结论；
（2）A B ⋂≠∅得113a a +≥-⎧⎨≤⎩
，解出即可．
【详解】
解：（1）由题意知，[],1A a a =+，[]1,3B =-，
若A B A =I ，则A B ⊆，故1
13a a ≥-⎧⎨+≤⎩
，得12a -≤≤
（2）若A B ⋂≠∅，则11
3
a a +≥-⎧⎨≤⎩，得23a -≤≤
【点睛】
本题主要考查根据集合的运算求参数的取值范围，考查了推理和计算能力，属于基础题．
18．己知函数()()log 01a f x x a a =>≠,. （1）若()()23f a f a +=，求实数a 的值 （2）若()()232f f >+，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2a =（2）⎫
⎪⎪⎝⎭
【解析】（1）由已知可得()1log 23a a +=，求解得答案； （2）由已知可得log 2log 32a a >+，对a 分类讨论即可求解． 【详解】
解：（1）由()()23f a f a +=得()1log 23a a +=，即()log 22a a =， 故log 21a =，所以2a =；
（2）由()()232f f >+得log 2log 32a a >+，即22
log 2log 3
a a a >=， 当1a >时，2
2
3
a <
，无解；
当01a <<时，2
23a >
1a <<；
综上，实数a 的取值范围为,13⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查对数方程与对数不等式的解法，属于基础题． 19．已知函数()()01x
f x a
a a =>≠,在区间[]1,2上的最大值与最小值的和为6.
（1）求函数()f x 解析式；
（2）求函数()()()28g x f x f x =-在[]()1,1m m >上的最小值. 【答案】（1）()2x
f x =（2）()23min
22,1m 2
16,m 2m m g x +⎧-<≤⎨->=⎩
【解析】（1）由题意得26a a +=，解出即可得出答案；
（2）由题意得()282x x
x g =-⋅，令2x t =，则2,2m t ⎡⎤∈⎣⎦，令
()()2
28416h t t t t =-=--，再分类讨论即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为函数()x
f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是单调函数，
所以()f x 最大值与最小值的和为2a a +， 所以26a a +=，解得2a =或3a =-， 因为0a >，1a ≠，所以2a =， ∴()2x
f x =；
（2）()282x x
x g =-⋅，令2x t =，则2,2m t ⎡⎤∈⎣⎦，
令()()2
28416h t t t t =-=--，
当24m ≤即12m <≤时，()h t 在2,2m
⎡⎤⎣⎦上为减函数，
所以()h t 最小值为()2322
2
m
m
m h +=-；
当24m >即2m >时，()h t 在[]
2,4上为减函数，在4,2m
⎡⎤⎣⎦上为增函数，
所以()h t 最小值为()416h =-； 综上：()23min 22,12
16,2
m m m g x m +⎧-<≤=⎨->⎩． 【点睛】
本题主要考查函数的最值的求法，考查了换元法求二次函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
20．已知函数()1f x ax a =--，()2
1g x x ax =-+（a 为实数）.
（1）若()f x 在区间()2,3有零点，求a 的取值范围；
（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个大于1的相异实根，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）()2,3
【解析】（1）直接用零点存在性定理有()()230f f ⋅<，解出即可；
（2）由题意得2220x ax a -++=，利用二次方程根的分布，结合二次函数的图象即可解决． 【详解】
解：（1）当0a =时不符合题意；
当0a ≠时，()f x 在()2,3上为单调函数，则()()230f f ⋅<，
即()()1210a a --<，解得1
12
a <<， ∴实数a 的范围是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）由()()f x g x =得2220x ax a -++=， 令()2
22h x x ax a =-++，其大致图象如图所示，
则()()244201130a a a h a ⎧∆=-+>⎪>⎨⎪=->⎩
， 解得：23a <<， ∴实数a 的范围是()2,3． 【点睛】
本题主要考查函数的零点存在定理的使用和二次方程的根的分布范围问题，属于中档题．
21．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()3
f x x =.
（1）求0x <时()f x 的解析式； （2）解关于x 的不等式()()18f x f x +≥. 【答案】（1）当0x <时，()3
f x x =-（2）113x x ⎧-
≤≤⎫
⎨⎬⎩⎭
【解析】（1）当0x <时，0x ->，()()3
3f x x x -=-=-，结合函数的奇偶性分析可得答案；
（2）根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于
()()12f x f x +≥即12x x +≥，解出即可．
【详解】
解：（1）当0x <时，0x ->，()()3
3f x x x -=-=-，因为()f x 是R 上的偶函数，
因此()()f x f x =-，即()3
f x x =-
（2）∵()33,0
,0
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩﹐
∴()()()()3
333
2,08,0828,02,0
x x x x f x f x x x x x ⎧≥⎧≥⎪===⎨⎨-<-<⎩⎪⎩， 因此()()18f x f x +≥()()12f x f x ⇔+≥，
因为函数()f x 在(],0-∞上为减函数，在[)0,+∞上为增函数， 所以12x x +≥，平方整理得23210x x --≤，解得1
13
x -
≤≤， 故不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题． 22．已知函数()2log f x x =. （1）若()()1f
f x =，求x 的值；
（2）已知[]1,2a ∈，若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1x ，()212x x x <，
函数()()1
a
h x f x a =-+有两个不同的零点3x ，()434x x x <，
求()()224113x x x x x x --的最大值.
【答案】（1）4x =
或x =（2
）-【解析】（1）由题意有()()1f
f x =±，分类讨论即可求出答案；
（2）由2log x a =得2a x =或2a x -=，则12a x -=，22a x =，同理得13
2a
a x -
+=，
1
42
a a x +=，再代入目标式，然后化简得原式
1131
2
a a +-
+=-，再判断单调性即可求得最值．
【详解】 解：（1）()()1f f x =得()()1f f x =±，
由()()1f f x =得()2f x =，4x =，
由()()1f
f x =-得()1
2
f x =
，x =
∴4x =
或x ；
（2）由2log x a =得2a x =或2a x -=， 因为12x x <，[]
1,2a ∈，所以12a
x -=，22a
x =，
同理得132
a
a x -+=，
1
42
a a x +=，
所以
()()21
1241131
222
22a a a a a
a
a x x x x x x +--+⎛
⎫ ⎪⎝-⎭--=-211222122a a a a a a a ++⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-21112222222a a
a a a a a a
a a +++-⋅=⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
- ⎪
⎝⎭⎝⎭⎭
⎝31
2
a
a a +
+=-1131
2
a a +-
+=-；
因为()1
131
t a a a =+-
+在[]1,2上为增函数， 所以()1
1312
a a h a +-
+=-在
[]1,2上为减函数，
因此()(
)max 1h a h ==- 综上：
()
()
224113x x x x x x --
的最大值为-
【点睛】
本题主要考查解对数方程，指数式的最值问题，化简运算难度较大，属于难题．。