2016-2017学年河北省保定市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ={x|−1≤x <3}，B ={2<x ≤5}，则A ∩B =( ) A.(2, 3) B.[2, 3] C.(−1, 5) D.[−1, 5]
2. 若tan α<0，cos α<0，则α的终边所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 若a →
=(2, 1)，b →
=(−1, 3)，则a →
⋅b →
=( ) A.2 B.1 C.0 D.−1
4. 若函数f( x)=ax 3−bx +c 为奇函数，则c =( ) A.0 B.1 C.−1 D.−2
5. 函数y =sin 2x 的单调减区间是（ ） A.[π
2+2kπ，3
2π+2kπ](k ∈Z) B.[kπ+π4，kπ+3
4π](k ∈Z) C.[π+2kπ, 3π+2kπ](k ∈Z) D.[kπ−π
4，kπ+π
4](k ∈Z)
6. 若平面向量a →
与b →
的夹角60∘，|a →
|=2，|b →
|=1，|则|a →
−2b →
|=( ) A.√3 B.2√3 C.1 D.2
7. 函数y =5sin (2x +π
6)的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y =5sin 2x 的图象？（ ）
A.向右平移π
6 B.向左平移π
6
C.向右平移π
12
D.向左平移π
12
8. 下列四个不等式中，错误的个数是( )
①50.5<60.5②0.10.3<0.10.4③log 23<log 25④log 32<0.1−0.2． A.0
B.1
C.2
D.3
9. 若定义域为R 的连续函数f(x)惟一的零点x 0同时在区间(0, 16)，(0, 8)，(0, 4)，(0, 2)内，那么下列不等式中正确的是( )
A.f(0)⋅f(1)<0或f(1)⋅f(2)<0
B.f(0)⋅f(1)<0
C.f(1)⋅f(16)>0
D.f(2)⋅f(16)>0
10. 直角梯形OABC 中AB // OC 、AB =1、OC =BC =2，直线l:x =t 截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数S =f(t)的图象大致为( )
A.
B.
C. D.
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
函数y =5tan (2
5x +π
6)的最小正周期是________．
函数y =log 2x ，x ∈(0, 16]的值域是________．
若函数y =kx 2−4x +k −3对一切实数x 都有y <0，则实数k 的取值范围是________．
如图，△ABC 中，CD
DA =AE
EB =1
2，记BC →
=a →
，CA →
=b →
，则DE →
=________．（用a →
和b →
表示）
设函数f(x)=3sin (2x −π
3)的图象为C ，则如下结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①图象C 关于直线x =
11π12
对称；
②图象C 关于点(2π
3，0)对称；
③函数f(x)在区间(−π
12，5π
12)内是减函数；
④把函数y =3sin (x −π6)的图象上点的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 化简cos (π+α)⋅sin (α+2π)sin (−α−π)⋅cos (−π−α)
．
某货运公司规定，从甲城到乙城的计价标准是：40吨以内100元（含40吨），超出40吨的部分4元/吨．
(1)写出运费y （元）与货物重量x （吨）的函数解析式，并画出图象；
(2)若某人托运货物60吨，求其应付的运费．
已知|a →
|=3，|b|→
=4，且|a →
|与|b|→
为不共线的平面向量．
(1)若(a →
+kb →
)⊥(a →
−kb →
)，求k 的值；
(2)若(ka →
−4b →
) // (a →
−kb →
)，求k 的值．
在△ABC 中，已知sin (A +π
6)=2cos A ．
(1)求tan A ；
(2)若B ∈(0,π
3
)，且sin (A −B)=3
5
，求sin B ．
已知函数f(x)=x 3+m ．
(1)试用定义证明：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；
(2)若关于x 的不等式f(x)≥x 3+3x 2−3x 在区间[1, 2]上有解，求m 的取值范围．
参考公式：a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)
参考答案与试题解析
2016-2017学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
【答案】 A
【考点】 交集及其运算 【解析】
根据交集的定义求出A 、B 的交集即可． 【解答】
解：∵ 集合A ={x|−1≤x <3}，B ={x|2<x ≤5}， 则A ∩B =(2, 3). 故选A . 2.
【答案】 B
【考点】
三角函数值的符号 象限角、轴线角
【解析】
根据题意，利用四个象限三角函数的符号，分析可得若tan α<0，角α的终边在第二、四象限；cos α<0，角α的终边在第二、三象限，以及x 负半轴，综合即可的答案． 【解答】
解：根据题意，若tan α<0，角α的终边在第二、四象限； cos α<0，角α的终边在第二、三象限，以及x 负半轴． 所以角α的终边在第二象限. 故选B . 3. 【答案】 B
【考点】
数量积的坐标表达式 【解析】
利用平面向量的数量积公式求解． 【解答】
解：∵ a →
=(2, 1)，b →
=(−1, 3)， ∴ a →
⋅b →=−2+3=1． 故选B .
4.
【答案】 A
【考点】
函数奇偶性的性质 【解析】
利用定义域含原点的奇函数的图象过原点，求得参数c 的值． 【解答】
解：∵ 函数f( x)=ax 3−bx +c 为奇函数，∴ f(0)=0，求得c =0， 故选A . 5.
【答案】 B
【考点】
正弦函数的单调性 【解析】
结合正弦函数的单调性即可得到结论． 【解答】
解：∵ y =sin x 的单调减区间为[2kπ+π
2, 2kπ+3π2
]，
∴ 2x ∈[2kπ+π
2, 2kπ+3π
2
]，即2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2
，k ∈Z ．
解得：kπ+π
4≤x ≤kπ+
3π
4
，k ∈Z ．
∴ 函数y =sin 2x 的单调减区间是[kπ+π
4, kπ+3π4
]，k ∈Z ．
故选B .
6.
【答案】 D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 向量的模 【解析】
根据|a →
−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2−4a →
⋅b →+4b →
2，利用两个向量的数量积的定义，计算求得结果．
【解答】
解：平面向量a →
与b →
的夹角60∘
，|a →
|=2，|b →
|=1，
则|a →
−2b →
|=√(a →
−2b →
)2 =√a →2−4a →
⋅b →
+4b →
2
=√4−4⋅2⋅1⋅cos 60∘+4=2.
故选D . 7.
【答案】 C
【考点】
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
由条件根据诱导公式、y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】
解：由函数y =5sin (2x +π
6)=5sin [2(x +π
12)]， 要得到函数y =5sin 2x 的图象， 只需将y =5sin [2(x +π12
)]向右平移π
12
可得y =5sin 2x ．
故选C . 8.
【答案】 B
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
利用指数函数、对数函数与幂函数的单调性即可判断出正误． 【解答】
解：①为指数函数，且1<5<6，所以50.5<60.5正确； ②为指数函数，且0<0.1<1，所以0.10.3<0.10.4不正确； ③为对数函数，且2>1，所以log 23<log 25正确； ④因为0.1−0.2=(1
10)−0.2=10−0.2>1， 所以log 32<1<0.1−0.2．因此正确．
只有②不正确． 故选B . 9. 【答案】 D
【考点】
函数零点的判定定理 【解析】
f(x)惟一的零点x 0同时在区间(0, 16)，(0, 8)，(0, 4)，(0, 2)内，函数的零点不在(2, 16)内，得到f(2)与f(16)符号一定相同，得到结论． 【解答】
解：∵ f(x)惟一的零点x 0同时在区间(0, 16)，(0, 8)，(0, 4)，(0, 2)内， ∴ 函数的零点不在(2, 16)内， ∴ f(2)与f(16)符号一定相同， ∴ f(2)⋅f(16)>0.
故选D . 10.
【答案】 C
【考点】
函数模型的选择与应用 函数的图象变换
【解析】
本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l 的运动位置分析面积
的表达形式，进而得到分段函数：f(t)={t 2，0<t ≤12t −1,1<t ≤2
然后分情况即可获得问题的解答． 【解答】
解：由题意可知：当0<t ≤1时，f(t)=1
2
⋅t ⋅2t =t 2，
当1<t ≤2时，f(t)=1×2×1
2
+(t −1)⋅2=2t −1，
所以f(t)={t 2
，0<t ≤1，2t −1,1<t ≤2.
结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合． 故选C .
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 【答案】
5π2
【考点】
正切函数的周期性
三角函数的周期性及其求法 【解析】
利用y =A tan (ωx +φ)的周期等于 T =π
ω，得出结论．
【解答】
解：函数y =5tan (25
x +π6
)的最小正周期是π25
=
5π2
.
故答案为：5π
2． 【答案】 (−∞, 4] 【考点】
对数函数的单调区间 对数函数的值域与最值
【解析】
运用对数函数的单调性和对数的运算性质，计算即可得到所求值域． 【解答】
解：函数y =log 2x ，x ∈(0, 16]为递增函数，
即有y ≤log 216=4，
则值域为(−∞, 4]． 故答案为：(−∞, 4]． 【答案】 (−∞, −1) 【考点】
函数恒成立问题 【解析】
因为函数y =kx 2−4x +k −3对一切实数x 都有y <0所以函数y =kx 2−4x +k −3的图象全部在x 轴的下方．分k =0与k <0两种情况讨论，显然k =0不符合题意，k <0时，二次函数y =kx 2−4x +k −3的图象全部在x 轴的下方所以{k <0
△=16−4k(k −3)<0
解得k <−1．
【解答】
解：∵ 函数y =kx 2−4x +k −3对一切实数x 都有y <0， ∴ 函数y =kx 2−4x +k −3的图象全部在x 轴的下方，
①当k =0时函数y =−4x −3显然此时函数的图象不全部在x 轴的下方， 所以k =0不符合题意，
②当k ≠0时原函数是二次函数，
∵ 函数y =kx 2−4x +k −3对一切实数x 都有y <0，
∴ 二次函数y =kx 2−4x +k −3的图象全部在x 轴的下方， 所以{
k <0，
Δ=16−4k(k −3)<0，
解得k <−1，
由①②可得实数k 的取值范围是 (−∞, −1)． 故答案为：(−∞, −1)． 【答案】
13
(b →
−a →) 【考点】
向量在几何中的应用
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
运用向量的加减运算定义，可得DE →
=AE →
−AD →
，由条件分别用a →
和b →
表示AE →
和AD →
，即可得到所求． 【解答】
解：△ABC 中，CD
DA =AE
EB =1
2，
可得AE →
=13AB →
=−1
3(BC →
+CA →
)=−13(a →
+b →
)，AD →
=23AC →
=−23b →
， 则DE →
=AE →
−AD →
=−13(a →
+b →
)−(−23b →
)=13(b →
−a →
)． 故答案为：13(b →
−a →
)． 【答案】 ①②
【考点】
命题的真假判断与应用 正弦函数的图象 【解析】 对于①把x =11π12代入函数表达式，判断函数是否取得最值即可判断正误；
对于②把x =
2π3
代入函数表达式，判断函数是否取得0，即可判断正误；
对于③求出函数的单调减区间，判断正误；
对于④通过函数图象的周期变换，即可判断正误． 【解答】 解：①因为x =
11π12
时，
函数f(x)=3sin (2×11π12
−π3)=3sin
3π2
=−3，
所以①正确； ②因为x =
2π3
时，
函数f(x)=3sin (2×2π3
−π
3)=3sin π=0，
所以②正确；
③因为π2
+2kπ≤2x −π3
≤2kπ+
3π2
，
即x ∈[5π12+kπ, 
11π12
+kπ]，k ∈Z ，
函数f(x)=3sin (2x −π
3)在区间(−π
12，5π
12)内不是减函数，故不正确；
④把函数y =3sin (x −π
6)的图象上点的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象对应的函数解
析式为y =3sin (2x −π
6
)，故不正确．
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】
解：原式=−cos αsin α
−sin (α+π)cos (π+α)=cos αsin α
cos αsin α=1． 【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】
利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】
解：原式=−cos αsin α
−sin (α+π)cos (π+α)=cos αsin α
cos αsin α=1．
【答案】
解：(1)根据40吨以内100元（含40吨），超出40吨的部分4元/吨，
当x>40时，y=100+4(x−40)=4x−60，
可得分段函数y={100,0<x≤40，4x−60,x>40.
如图所示：
(2)把x=60代入y=4x−60，得y=4×60−60=180，所以运费为180元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数的求值
【解析】
（1）利用条件：40吨以内100元（含40吨），超出40吨的部分4元/吨，可得分段函数；（2）x把x=60代入40x−60得结论．
【解答】
解：(1)根据40吨以内100元（含40吨），超出40吨的部分4元/吨，
当x>40时，y=100+4(x−40)=4x−60，
可得分段函数y={100,0<x≤40，4x−60,x>40.
如图所示：
(2)把x=60代入y=4x−60，得y=4×60−60=180，所以运费为180元．【答案】
解：(1)因为(a
→
+kb
→
)⊥(a→−kb
→
)，
所以(a
→
+kb
→
)(a→−kb
→
)=0，
所以a
→2
−k2b
→
2=0，
因为|a
→
|=3，|b
→
|=4，
所以9−16k2=0，
解得k=±3
4
；
(2)因为(ka→−4b
→
) // (a→−kb
→
)，且a→−kb
→
≠0，
所以存在实数λ，使得ka
→
−4b
→
=λ(a→−kb
→
)=λa→−λkb
→
，因为|a
→
|=3，|b
→
|=4，且a→与b
→
不共线，
所以{
k=λ
−4=−λk，
解得k=±2．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平行向量的性质
【解析】
（1）根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出k的值；（2）利用向量的共线定理，列出方程求出k的值．
【解答】
解：(1)因为(a
→
+kb
→
)⊥(a→−kb
→
)，
所以(a
→
+kb
→
)(a→−kb
→
)=0，
所以a
→2
−k2b
→
2=0，
因为|a
→
|=3，|b
→
|=4，
所以9−16k2=0，
解得k=±3
4
；
(2)因为(ka→−4b
→
) // (a→−kb
→
)，且a→−kb
→
≠0，
所以存在实数λ，使得ka
→
−4b
→
=λ(a→−kb
→
)=λa→−λkb
→
，因为|a
→
|=3，|b
→
|=4，且a→与b
→
不共线，
所以{k=λ
−4=−λk，
解得k=±2．
【答案】
解：(1)因为sin(A+π
6
)=2cos A，
得√3
2sin A+1
2
cos A=2cos A，
即sin A=√3cos A，
因为A∈(0, π)，且cos A≠0，所以tan A=√3.
(2)由(1)知A=π
3
，
因为B∈(0,π
3
)，
所以A−B=π
3−B∈(0,π
3
)，
因为sin2(A−B)+cos2(A−B)=1，sin(A−B)=3
5
，
所以：cos(A−B)=4
5
，
所以sin B=sin[A−(A−B)]
=sin A cos(A−B)−cos A sin(A−B)=4√3−3
10
．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的化简求值
【解析】
（1）利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sin A=√3cos A，结合范围A∈(0, π)，且cos A≠0，即可求得tan A的值．
（2）由（1）及范围B∈(0,π
3)，可求A−B=π
3
−B∈(0,π
3
)，利用已知及同角三角函数基本关系式可求
cos(A−B)的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】
解：(1)因为sin(A+π
6
)=2cos A，
得√3
2sin A+1
2
cos A=2cos A，
即sin A=√3cos A，
因为A∈(0, π)，且cos A≠0，所以tan A=√3.
(2)由(1)知A=π
3，
因为B∈(0,π
3
)，
所以A−B=π
3
−B∈(0,π
3
)，
因为sin2(A−B)+cos2(A−B)=1，sin(A−B)=3
5
，
所以：cos(A−B)=4
5
，
所以sin B=sin[A−(A−B)]
=sin A cos(A−B)−cos A sin(A−B)=4√3−3
10
．
【答案】
(1)证明：任取x1，x2，且0<x1<x2，
则f(x2)−f(x1)=x23−x13=(x2−x1)(x22+x2x1+x12)，
因为0<x1<x2，
所以x2−x1>0，x22+x2x1+x12>0，
即f(x2)−f(x1)>0，
所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
(2)解：不等式f(x)≥x3+3x2−3x在区间[1, 2]上有解，
即不等式m≥3x2−3x在区间[1, 2]上有解，
即m不小于3x2−3x在区间[1, 2]上的最小值，
因为当x在区间[1, 2]时，3x2−3x=3(x−1
2
)2−3
4
∈[0,6]，
所以m的取值范围是[0, +∞)．
【考点】
二次函数的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）问题转化为不等式m≥3x2−3x在区间[1, 2]上有解，结合二次函数的性质求出m的范围即可．
【解答】
(1)证明：任取x1，x2，且0<x1<x2，
则f(x2)−f(x1)=x23−x13=(x2−x1)(x22+x2x1+x12)，
因为0<x1<x2，
所以x2−x1>0，x22+x2x1+x12>0，
即f(x2)−f(x1)>0，
所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
(2)解：不等式f(x)≥x3+3x2−3x在区间[1, 2]上有解，
即不等式m≥3x2−3x在区间[1, 2]上有解，
即m不小于3x2−3x在区间[1, 2]上的最小值，
因为当x在区间[1, 2]时，3x2−3x=3(x−1
2
)2−3
4
∈[0,6]，
所以m的取值范围是[0, +∞)．。