函数的凸性曲线的曲率

第7章 函数的凸性·曲线的曲率
①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。

例如，曲线3
x y =(图1)在Oy 轴左边是向下弯曲的(称为上凸)而在Oy 轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。

虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。

从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(AB 的中点C 在弧AB 的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧AB 的下方。

【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。

这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。

请读者注意到这些区别。

【注2】还请读者注意，通常说“函数()f x 在区间(,)a b 内是下(上)凸函数”，若对于(,)a b 内任意两点1x 和2x 12()x x ≠与任意(0,1)t ∈，都满足琴生(Jesen)不等式
[]1212()
(1)()(1)()f t x t x t f x t f x >+-<+-
它等价于不等式
()
11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+
（其中1t 和2t 为正数且121t t +=）
显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。

不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。

因此，我们就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。

关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。

【注3】若函数)(x f 在区间),(b a 内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处
图2
O x 1 (x 1+x 2 )/2 x 2
图3
112
108 的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数)(x f '(切线的斜率)是增大(减小)的。

我们也可以证明这个结论
(见专题选讲)。

定理 设函数)(x f 在区间),(b a 内有导数。

若导数)(x f '在),(b a 内是增大(减小)的，则函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的。

(逆命题也成立。

专题选讲中有证明)。

假若函数)(x f 在区间(,)a b 内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。

判别法 设函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数)(x f ''
⑴若()0()f x a x b ''><<，则)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数[因为导数)(x f '是增函数]；
⑵若()0()f x a x b ''<<<，则)(x f 在区间),(b a 内是上凸函数[因为导数)(x f '是减函数]。

②拐点(变曲点)
函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。

这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。

同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。

请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别!
若点0(,)x a b ∈是函数()f x 的拐点且有二阶导数0''()f x ，则00''=()f x
这是因为，例如函数)(x f 在点0x 的左边近旁下凸时，由于00()()()f x f x x x ''<<(见注3)，所以
0)
()(lim )(0
000≥-'-'=''-
→x x x f x f x f x x (极限运算单调性)
且函数)(x f 在点0x 的右边上凸时，由于)()()(00x x x f x f <'>'，所以
0)
()(lim )(0
000≤-'-'=''+→x x x f x f x f x x (极限运算单调性)
因此0()0f x ''=. 同理，若函数)(x f 在点0x 的左边上凸且在点0x 的右边下凸时，也有
0)(0=''x f . 但是要注意，仅有．．0)(0=''x f 时．，点．0x 不一定是函数．．．．．．)(x f 的拐点．．．。

例如函数4()f x x =，尽管有(0)0f ''=，但0不是函数4()f x x =的拐点，
因为
2()120(||0)f x x x ''=>>
即函数4()f x x =在原点0的两边都是下凸的(图5)。

图4
① 下凸
切线
② 上凸
切线
图5
4x
109
特别，假若函数()f x 在区间00(,)x x δδ-+内有二阶导数,且()f x ''在点0x 的两边有相反的符号,则0x 就是函数()f x 的拐点。

此时，当然有0)(0=''x f
③勾画函数图形的方法
在中学数学中，画函数图形用的是描点法。

它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。

微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。

我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。

例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。

因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。

④函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。

对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直
线(称它为渐近线)。

例如，函数x y arctan =的图形
有两条渐近线2
y =±π
(图6)。

因为它们与Ox 轴平
行，所以称它们为水平渐近线。

求水平渐近线的方 法很简单。

若存在有穷极限
b x f x =+∞
→)(lim 或b x f x =-∞
→)(lim
则曲线)(x f y =就有水平渐近线b y =
函数图形也可能有垂直渐近线。

例如函数x y tan =的图形(图7)有两条垂直渐近线
2
x =±π.求垂直渐近线的方法也很简单。

若函数)(x f y =有无穷间断点a ，即
∞=-
→)(lim x f a x (左极限) 或 ∞=+→)(lim x f a
x (右极限)
则曲线)(x f y =就有垂直渐近线a x =.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。

函数图形还可能有斜渐近线b kx y +=)0(≠k 。

如图8，设曲线)(x f y =上点(,)P x y 到直线b kx y +=的距离为d . 在直角三角形PAN 中，
()()f x kx b PA -+
==sec d θ=
图7
110 按定义，直线b kx y +=是曲线)(x f y =的渐近线，当且仅当点P 沿曲线)(x f y =伸向无穷远时，有0→d ；而0→d ，当且仅当有常数k 和b ，使
[]lim ()()0x f x kx b →∞
-+= 或 l i m [()]x f x k x b
→∞
-= 于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数k 和b ：
第一步，先求斜率k 因为
x x f kx x x f k )()(-+=
且 ()lim lim 0x x kx f x b
x
x →∞→∞-==
所以()
lim
x f x k x
→∞
=； 第二步，再求截距b ，即 []lim ()x b f x kx →∞
=-
⑤曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用）
曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。

直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图9，弧
AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏
差θ∆. 可是，弧CD 的全曲率与弧AB 的全曲率相同，但前者显 然比后者弯曲得更厉害一些。

这就是说，弧的弯曲程度与弧本身 的长度有关。

因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位 那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长 度为s ∆的弧的全曲率θ∆同弧长s ∆的比值/s θ∆∆，称为该弧的
平均曲率。

它有点像质点运动的平均速度。

像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限
s s s K s d d lim lim 0A B A θ
θθ=
∆∆=∆∆=→∆→ 定义为弧AB 在点A 处的曲率 (其中θ∆为弧AB 的全曲率,
s ∆为弧AB 的长度)。

对于半径为R 的圆周来说 (图10)，由于θ∆=∆R s ， 所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为
R
s s K s 1
d d lim 0==∆∆=→∆θθ (半径的倒数)
对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率
0A K ≠时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A 相切 (即有公切线)且
半径1/A A R K =. 这样的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A 处的曲率中心。

如图11中那个抛物线在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆。

请读者注意，因为曲率有可．．．．．．能是负数．．．．(在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正．．．．．．．．．．．．．．．
图10
111
负号．．，所以曲率半径也有可能是负数．．．．．．．．．．．．．。

保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。

对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图12)，由于
()tan y x θ'=， arctan ()y x θ'=
所以，若有二阶导数()y x ''，则
[]
2
()
d d 1()y x x y x θ''=
'+
注意到d s x ，则弧上点(),()A x y x 处的曲率为 {}32
2d ()ds 1[()]y x K y x θ''=
='+ (曲率公式) 当()0y x ''≠时，曲率半径为
{}32
1[()]1()
y x R K y x '+=='' (曲率半径公式)
其中，()0y x ''>时，曲率K 和曲率半径R 都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图12)。

反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。

例如图11中那个抛物线
2y ax =，因为2,2y ax y a '''==，所以
(曲率) 2
322)
41(2x a a K +=, (曲率半径) a x a K R 2)41(12
322+== 显然，原点)0,0(O 处有最大曲率=K a 2，最小曲率半径a
R 21
=. 点(1,)A a 处的曲率和曲率
半径依次为
2
32)41(2a a
K +=， a a R 2)41(232+=
可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。

第7-1节 看我做题
1.勾画出函数132
3-+=x x y 的略图。

图11
图12
112 解 2363(2)y x x x x '=+=+， 666(1)y x x ''=+=+
用驻点2-和0(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于0的点1-(它有可能是拐点)，将函数的定义区间),(+∞-∞划分为四个小区间：
),0(),0,1(),1,2(),2,(+∞-----∞
再把函数)(x f 在这些小区间内有关)(x f '和)(x f ''的信息，填在下面的表格中。

按照表格中
提供的信息，就可以画出它的略图(它没有渐近线。

为什么？)。

2.勾画出函数1
2
22-+-=x x x y 的略图。

解 因为∞=→y x 1
lim ，所以它有垂直渐近线1=x (没有水平渐近线)。

又
1)
1(2
2lim
lim 2=-+-==∞→∞→x x x x x y k x x ， 222lim()lim 1x x x x b y kx x x →∞→∞-+⎡⎤
=-=-⎢⎥-⎣⎦
2lim
11x x x →∞-+==-- 所以它有斜渐近线1-=x y (见图)
其次，
2
)1()2(--=
'x x x y ， 3)1(2
-=''x y
像第1题那样，用函数的驻点0和2(没有其它临界点和二阶导数等于0的点)，把函数的定义域分成若干小区间(注意,1=x 是间断点)，并把有关信息填入下面的表格中：
第1题图
3
2
31x +-
113
有垂直渐近线和斜渐近线
根据表格中提供的信息，就可勾画出函数的略图(见上图)。

（*）
3.对于用参数方程
)()
()
(βα≤≤⎩⎨
⎧==t t y y t x x 表示的曲线弧，其中)(t x 和)(t y 有二阶导数且
22[()][()]0x t y t +>[不妨认为()0x t ≠]
因为
d ()d ()y y t x x t =， 223
d d d d ()d ()d ()()()()d d d d ()d ()d [()]y y y t y t t y t x t y t x t x x x x x t t x t x x t ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 2232
()yx yx
K x y -=
+ (曲率公式) 2232()x y R yx yx
+=-(0)yx yx -≠(曲率半径公式)
第7-2节 根据提示做习题
1.用判别法，验证下列函数在所示区间内是下凸的：
⑴(1),(0,)y x αα=>+∞； ⑵),(,e +∞-∞=x
y ； ⑶ln ,(0,)y x x =+∞； ⑷)0(,∞+=x
x y
2.用判别法，验证函数
)10(<<=ααx y 与x y ln =
在区间),0(+∞内是上凸的。

3.根据判别法，求下列函数的下凸区间或上凸区间：
⑴3
23x x y -=； ⑵x x y sin +=； ⑶2
e x y -=； ⑷)1ln(2
x y +=
答案：⑴在)1,(-∞内下凸，在),1(+∞内上凸；
⑵在)2,2(πππ+k k 内上凸，在)22,2(ππππ++k k 内下凸； ⑶在)21,(-
-∞与),21(+∞内下凸，在)2
1,21(-内上凸；
（*）
经济类专业学生不用看。

114 ⑷在)1,(--∞与),1(+∞内上凸，在)1,1(-内下凸。

4.设函数)()(+∞<<-∞x x f 为连续偶函数。

若在区间)0,(-∞内有
0)(>'x f 且 0)(<''x f
则在区间),0(+∞内，下列哪一种情形是对的？
(A)0)(,0)(<''<'x f x f ； (B)0)(,0)(>''>'x f x f ； (C)0)(,0)(>''<'x f x f ； (D)0)(,0)(<''>'x f x f
提示：注意()()f x f x =- 答案：⑴
又问：若函数)()(+∞<<-∞x x f 为连续奇函数且在区间)0,(-∞内有
0)(>'x f 且 0)(<''x f
那么上述情形中哪一种是对的？点0是它的拐点吗？
答案：⑵；0是拐点
5.证明下列不等式：
⑴)1,,0,0(22>≠>>+<
⎪⎭
⎫
⎝⎛+αααα
y x y x y x y x ；
⑵)(2e e e 2
y x y x y
x ≠+<+；
⑶),0,0(ln ln 2
ln )(y x y x y y x x y
x y x ≠>>+<++。

提示：选择适当的下凸函数。

6.勾画下列函数的图形：
【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：
①确定函数的定义域；②函数是否具有奇偶性或周期性；③求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；④若有零值点，求出函数的同号区间；⑤求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；⑥确定函数的增大或减小区间、下凸或上凸区间；⑦查明是否有渐近线；⑧查明函数是否还有其它特性。

⑴x x y 33-=； ⑵2
e
x y -=；
⑶2
1x
x
y +=； ⑷x x y +=12； ⑸x
x y 1
e )6(+=
； ⑹2
sin
x
y π=
7.证明：若),,2,1(0n i x i =>，则有
n
x x x x x x n
n
n +++≤
2121 (几何平均值不超过算术平均值)
提示：考虑下凸函数
()ln (0)f x x x =->
(理工科学生做以下习题)
8.求下列曲线的曲率和曲率半径：
115
⑴ 1=y x (双曲线)； ⑵x p y 22=(抛物线)； ⑶⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()
sin (t a y t t a x
答案：⑴2
343
)1(2x x K +=；⑵)0()(sgn 23222≠+-=y y p y p K ；⑶y
a K 221-= 9.在对数曲线x y ln =上，求出曲率绝对值最大的点。

答案：)2ln 2
1
,21
(- 10.证明：极坐标系中曲线)(θr r =的曲率公式为
232222)(2r r r r r r K '+'
'-'+= [提示:⎩
⎨
⎧==θθθθsin )(cos )(r y r x ] 并由此求下列曲线的曲率:
⑴ θa r =(阿基米德螺线)； ⑵ θm a r e =(对数螺线)； ⑶ )cos 1(θ+=a r (心形线)； ⑷ θ2cos 22a r =(双纽线)
答案：⑴2322)1(2θθ++=a K ；⑵211m
r K +=；⑶r r a
K 223=；⑷23a r K = 第7-3节 试做研究生入学考试题(三)
2004/选择题
⑶ 设()(1)f x x x =-，则(
)。

(A)0x =是()f x 的极值点，但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点
(B)0x =不是()f x 的极值点，但(0,0)是曲线()y f x =的拐点 (C)0x =是()f x 的极值点，且(0,0)是曲线()y f x =的拐点
(D)0x =不是()f x 的极值点，(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点
2000/六
求函数arctan 2
(1)e x
y x π
+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。

第7-4节 试做研究生入学考试题(一)
2005/填空题
⑴曲线2
21
x y x =+的斜渐近线方程为___________
1991/选择题
⑴曲线2
21e 1e x
x
y --+=- 【 】
(A)没有渐近线。

(B )仅有水平渐近线。

(C)仅有铅直渐近线。

(D )既有水平渐近线又有铅直渐近线。

1989/选择题
116 ⑴当0x >时，曲线1
sin
y x x
= 【 】 (A)有且仅有水平渐近线。

(B)有且仅有铅直渐近线。

(C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线。

(D)既无水平渐近线，也无铅直渐近线。