高一国庆假期作业(三)

2027届高一国庆节假期作业（三）
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、单选题
1．已知集合{}2230A x x x =+−>，{}1,0,1,2B =−，则（ ） A ．{}2A B = B ．A B =R
C ．(){}R
1,0B
A =−ð
D ．(){}R 31B A x x ⋃=−<<ð
2．已知命题1:0,2p x x x
∀>+>，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，12x x
+≤ B ．0x ∀≤， 12x x
+≤ C ．0x ∃≤， 12x x +≤
D ．0x ∃>， 12x x
+≤
3．“不等式2230x x m −+>在R 上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A ．1
3m <
B ．0m >
C ．1m >
D ．13
m >
4．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b >
C ．若0a b >>，0m >，则
b m b
a m a
+<+ D ．若15a −<<,23b <<，则43a b −<−< 5．用()card A 表示有限集合A 中元素的个数，例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.对于任意两个有限集合,A B ，若()()()card 8,card 6,card 4A B A B ==⋂=，则()card A B ⋃=（ ） A ．10
B ．12
C ．14
D ．18
6．若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ） A ．{}018x x <≤ B ．{}036x x <≤ C ．{}18x x ≥ D ．{}36x x ≥
7．已知命题4
:
0a p a
−≤，命题q ：不等式210ax ax ++≤的解集为∅，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知矩形ABCD （AB AD >）的周长为12，把ABC V 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P .当ADP △的面积取最大值时，AB 的长度为（ ）
A ．3
B ．
C ．
D ．4
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ） A ．至少有一个实数x ，使210x += B ．“0a b >>”是“11a b
<”的充分不必要条件 C ．命题“21,04
x x x ∃∈−+<R ”的否定是假命题
D ．“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14
a =”的必要不充分条件 10．下列命题中的真命题有（ ）
A ．当1x >时，1
21
x x +−的最小值是3 B 2
的最小值是2
C ．当010x <<5
D ．若正数x ，y 为实数，若23x y xy +=，则2x y +的最小值为3
11．已知函数()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．224m n −≤
B ．2104m n
<+<
C ．不等式20x mx n ++<的解集为∅
D ．若不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，则124x x −= 三、填空题 12．不等式
2131
x
x −≥+的解是 . 13．若命题:R p x ∃∈，21ax ax −≤−为假命题，则a 的取值范围为 . 14．已知,a b 为正数，且111a
b
+=，则3211
a b
a b +−−的最小值为 ． 四、解答题 15．解下列不等式：
（1）22530x x +−>； （2）220x x +−≤；
（3）4220x x −−≥； （4）21x >.
16．已知:p x A ∈，且{}|11A x a x a =−<<+；:q x B ∈，且{}2
|430B x x x =−+≥.
(1)是否存在实数a ，使得A B =∅，A B =R ，若存在求出实数a 的值，若不存在，说明理由；
(2)若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.
17．解决下列问题.
(1)已知关于x 的不等式23208kx kx +−<的解集为3|12
x x ⎧⎫
−<<⎨⎬⎩
⎭
，求实数k 的值；
(2)若关于x 的不等式2304
kx kx +−<恒成立，求实数k 的取值范围.
18．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为()20
(0)5
C x x x =>+，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）. (1)要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围； (2)设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？
19．证明下列不等式
(1)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：
e e a c b d
>−−. (2)已知0x >，0y >，0z >，求证：8y z x z x y x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ .
2027届高一国庆节假期作业（2）
1．【详解】因为{}2
230{|3A x x x x x =+−>=<−或1}x >,故R {|31}A x x =−≤≤ð，
又{}1,0,1,2B =−，
所以{}2A B =，R A B ⋃≠，(){}R
1,0,1B A =−ð，()[]{}R
3,12B A =−ð，
则A 正确，B ，C ，D 错误， 故选：A ．
2．【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题1
:0,2p x x x ∀>+>的否定是10,2x x x
∃>+≤． 故选：D
3．【详解】不等式2230x x m −+>在R 上恒成立⇔
2(2)120m ∆=−−<，即13
m >
， 对A ，“1
3m <”无法推出“13m >”，反之“13
m >”也无法推出“1
3m <”，
故“1
3m <” 是不等式2230x x m −+>在R 上恒成立的既不充分也不必要条件，故A 错误； 对B ，“0m >”无法推出“13m >”，反之，“13
m >”可以推出“0m >”，
故“0m >”是不等式2230x x m −+>在R 上恒成立的必要不充分条件，故C 错误， 对C ，113m m >⇒>，但“13
m >”不能推出“1m >”成立，
故1m >是不等式2230x x m −+>在R 上恒成立的充分不必要条件，故C 正确， 对D ，显然是充要条件，故D 错误， 故选：C.
4．【详解】对于A ，若a b >，当0c =时，则22ac bc =，故A 错误； 对于B ，若2,3a b =−=−，满足a b >，但22a b <，故B 错误； 对于C ，因0a b >>，0m >，由
()()0m a b b m b a m a a a m −+−=>++，可得b m b
a m a
+>+，故C 错误；
对于D ，由23b <<，得32b −<−<−，因15a −<<，则43a b −<−<，故D 正确． 故选：D ．
5．【详解】由已知作集合,A B 的韦恩图，则()card 10A B ⋃=
故选：A
6．【详解】因为
0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++≥=，
即120ab −≥6≥2≤−（舍去），即36ab ≥， 当且仅当436b a ab =⎧⎨
=⎩
，即3
12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，
故ab 的取值范围是{}36x x ≥． 故选：D ． 7．【详解】由
4
0a a
−≤得04a <≤， 由不等式210ax ax ++≤的解集为∅，所以0a =或者2
Δ40a a a >⎧⎨=−<⎩
，解得04a <<， 综上q 为真时，04a ≤<，
故p 成立是q 既不充分也不必要条件， 故选：D 8．【详解】
由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为12，=AB x ，即6AD x =−，
设PC a =，则,DP x a AP a =−=，而ADP △为直角三角形， ∴222(6)()x x a a −+−=，∴18
6a x x
=+−， ∴18
6DP x
=−
，∴1118(6)622ADP
S AD DP x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−⨯− ⎪⎝
⎭
273272754x x =−
−≤−−. 当且仅当54
3x x
=，即x =6AD =−AB AD >，
即
x =ADP △面积.取最大值. 故选：B.
9．【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误； 对于B ，若0a b >>，则11a b
<，充分性成立，
若11a b
<，如1,2a b =−=−，此时0a b >>，必要性不成立， 所以“0a b >>”是“11a b
<”的充分不必要条件，故B 正确；
对于C ，命题“2
1,04x x x ∃∈−+<R ”的否定是21,04
x x x ∀∈−+≥R ，
由二次函数的性质可得()2
14
f x x x =−+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；
对于D ，若集合{}2
10A x ax x =++=中只有一个元素，
当0a =时，1x =−；当0a ≠时，可得1
1404
a a D=-=?， 所以必要性成立，故D 正确； 故选：BD.
10．【详解】对于A 项，当1x >时，10x −>，
所以1122(1)22211x x x x +
=−++≥=−−，当且仅当12(1)1x x −=−即1x =取等号， 所以1
2
1
x x +
−的最小值为2，故A 项不成立；
对于B 项，令t 2t ≥），则224x t =−，
222
4511
t t t t t t −++===+（2t ≥），
由对勾函数的性质可知，
1
y t
t
=+在[2,)
+∞上单调递增，
所以当2
t=时，
1
y t
t
=+取得最小值为
15
2
22
+=，
2
的最小值为
5
2
，故B项不成立；
对于C项，因为010
x
<<
(10)
5
2
x x
+−
≤=，当且仅当10
x x
=−即5
x=时取等号，
5，故C项正确；
对于D项，因为0
x>，0
y>，23
x y xy
+=，所以
12
1
33
y x
+=，
所以
12522554
2(2)()3
33333333
x y
x y x y
y x y x
+=++=++≥+=+=，当且仅当
22
33
x y
y x
=即1
x y
==时取等号.
所以2x y
+的最小值为3，故D项正确.
故选：CD.
11．【详解】因为()2(0)
f x x mx n m
=++>有且只有一个零点，
所以2
Δ40
m n
=−=，即240
m n
=>.
对于选项A，因为()2
222
4420
4
m n n n
n
−=−−
−=−≤
−，
所以224
m n
−≤，故选项A正确；
对于选项B，因为211
44
m n
n n
+=+≥=，当且仅当
1
,
2
n m
==故选项B错误；
对于选项C，因为2
Δ40
m n
=−=，
所以不等式20
x mx n
++<的解集为∅，故选项C正确；
对于选项D，因为不等式24
x mx n
++<的解集为()
12
,x x，
所以方程240
x mx n
++−=的两根为12,x x，且1212
,4
x x m x x n
+=−=−，
所以
12
4
x x
−===，故选项D正确.
故选：ACD.
12．【详解】由21
31
x
x
−
≥
+
可得：
223141
10
313131
x x x x
x x x
−−−−−+
−==≥
+++
，
即()()41310310
x x x ⎧−+≤⎨+≠⎩，解得：1134x −<≤.
故答案为：11|34x x ⎧
⎫−<≤⎨⎬⎩
⎭.
13【详解】由题意:R,p x ⌝∀∈21ax ax −>−是真命题，即210ax ax −+>，
0a =时显然满足，
0a ≠时，2
Δ40
a a a >⎧⎨=−<⎩，解得04a <<， 综上a 的范围是[0,4)． 故答案为：[0,4)．
14．【详解】323232
231111
1111a b a b
a b a b b a
+=+=+=+−−−− ，
1132(23)()555b a a b a b a b ++=++≥++
32511
a b a b ∴+≥+−−.
当且仅当1b =
1a =+ ∴
3211
a b
a b +−−
的最小值为5+
故答案为：5+
15．【详解】（1）由22530x x +−>，得(3)(21)0x x +−>，解得3x <−或12
x >， 所以不等式的解集为{3x x <−或}1
2
x >
，
（2）由220x x +−≤，得220x x −−≥，(1)(2)0x x +−≥， 解得1x ≤−或2x ≥，
所以不等式的解集为{1x x ≤−或}2x ≥，
（3）由4220x x −−≥，得22(1)(2)0x x +−≥，解得21x ≤−（舍去）或22x ≥，
得x ≤
x ≥
所以不等式的解集为{
x x ≤
x ≥，
（4
）由21x >
，得
2
210>
，则1)0>，
1>
12
−（舍去）， 所以1x >，
所以不等式的解集为{}1x x >
16．【详解】（1）解不等式2430x x −+≥，得3x ≥或1x ≤， 故{|3B x x =≥或}1x ≤
假设存在a ，使得A B =∅，A B =R ， 则有13a +=且11a −=， 解得2a =，
所以，当2a =时满足题意；
（2）若p 是q 的充分条件，则A B ⊆， 则11a +≤，或13a −≥ 解得0a ≤，或4a ≥，
所以a 的取值范围为(][),04,−∞+∞U .
17．【详解】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +−<的解集为3|12
x x ⎧⎫−<<⎨⎬⎩
⎭
，
可知0k >，且32−和1是关于x 的方程2
3208
kx kx +−=的两个实数根，
则3
122338
12
2k k k ⎧−+=−⎪⎪⎨−⎪−⨯=
⎪⎩，解得18k =.
（2）因为关于x 的不等式2
304
kx kx +−<恒成立，
当0k =时，3
04
−<成立，
当0k ≠时，满足2
03Δ404k k k <⎧⎪
⎨⎛⎫=−⨯−< ⎪⎪
⎝⎭⎩
，解得30k −<<， 综上：实数k 的取值范围{}30k k −<≤ 18．【详解】（1）由题意得80
0.2(0)5
y x x x =+>+， 令7.2y ≤即80
0.27.25
x x +
+≤，整理得2312200x x −+≤即()()01120x x ≤−−，
答案第7页，共7页 所以解得1120x ≤≤，
所以设备占地面积x 的取值范围为[]11,20.
（2
）805800.21117555x y x x x +=+
=+−==++≥， 当且仅当58055x x +=+即15x =时等号成立， 所以设备占地面积为215m 时，
y 的值最小. 19．【详解】（1）0,0,0a b c d e >><<<，
0c d ∴−>−>，
0,0,0a c b d b a c d ∴−>−>−<−<， 则()()()()()()()()()()
0e b d e a c e b d a c e b a c d e e a c b d a c b d a c b d a c b d −−−−−+−+−−===>−−−−−−−−， .e e a c b d
∴>−− （2）0x >，0y >，0z >，
0y z x x ∴+≥>
，0x z y y +≥>
，0x y z z +≥>， y z x z x y x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭8≥=， 当且仅当x y z ==时等号成立.。