63Sn-37Pb钎料合金耦合损伤时相关理论模型研究

63Sn-37Pb 钎料合金耦合损伤时相关理论模型研究1
罗艳，高庆，杨显杰
西南交通大学应用力学与工程系，成都 (610031)
E-mail ：lylfjm@
摘 要：基于63Sn-37Pb 钎料合金单轴时相关变形和失效行为研究，提出了耦合损伤的时相关循环本构模型和疲劳失效模型。

在模型中，引入了损伤演化方程，考虑了时相关效应。

应用该理论模型对材料在不同应变率、不同应变幅值、不同保持时间及其历史下的变形行为及疲劳失效行为进行了模拟，并对疲劳寿命进行了预测。

预言结果与实验结果的比较表明该理论模型是合理有效的。

关键词：钎料合金，时相关变形，损伤，疲劳失效模型 中图分类号：O344，TG113.25
1．引言
63Sn-37Pb 钎料合金作为电子和机械连接材料已被广泛应用于电子封装工业。

该钎料的熔点温度很低，室温即对应于高归一化温度（T/T m >0.65,T m 为熔点温度），在此“拟高温”作用下，材料的蠕变起着重要作用[1]，因此该钎料合金的变形行为和疲劳特性具有强烈的时相关性。

在服役条件下，钎焊接头由于热膨胀系数失配将使其受到热/机循环载荷的作用，为了对钎焊接头进行可靠性设计与评估，必须在对钎焊接头材料的温度和时相关变形及失效行为进行深入研究，并建立能准确描述其行为的理论模型。

目前，针对钎料合金变形行为，已有学者提出了一些本构模型对其进行了描述[2~5]，但对钎料合金材料考虑损伤的疲劳失效行为的模拟研究还甚少[6~8]。

基于63Sn-37Pb 钎料合金的单轴循环变形和疲劳失效的实验研究，本文通过在流动方程中引入损伤，同时在随动硬化演化方程中引入静力恢复项，提出一个耦合损伤的时相关循环本构模型，应用该模型对材料在不同加载条件下的循环变形行为进行了模拟；然后结合失效准则，得到相应的失效模型并用于材料的疲劳失效行为模拟及寿命预测。

将预言结果与实验结果进行比较以验证理论模型的有效性和适用性。

2．理论模型
2.1 经典本构模型
不考虑材料损伤及时相关效应时，在小应变和小位移的假设条件下，单轴循环加载下的
总应变率可分解为弹性应变率e ε
&和非弹性应变率in
ε&之和，即： e in εεε=+&&& （1）
弹性应变可表达为：
e E
σ
ε=
（2）
其中　为单轴应力，E 为弹性模量。

单轴加载条件下，无损伤的粘塑性流动准则为[4]：
1
本课题得到教育部博士点基金项目（项目编号：20040613002）及国家自然科学基金项目（项目编号：
10372086）的资助。

m Asinh R X p σ−⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
& （3） in m Asinh R X X
X
σσε
σ−−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦& （4） 式中，p
&为累积非弹性应变率，R 为应力阻力系数，A 为材料常数，m 为硬化系数，X 为背应力。

由Armstrong 和Frederick 提出的非线性随动硬化演化方程可表述为[9]：
in k k
k c (a )X X p ε=−&&& (k=1, 2, 3) （5） 其中，c k 和a k 为材料参数，a k 表示随动硬化变量X 的饱和水平，c k 控制着趋于饱和水平的速率，而X 1、X 2和X 3为三个对应于快、中、慢演化的背应力分量[10]。

2.2 耦合损伤的时相关循环本构模型
由于63Sn-37Pb 钎料合金的熔点很低，即使在室温下，材料就呈现出强烈的时相关变形行为和疲劳特性，因此本文在经典本构模型的基础上提出了耦合损伤的时相关循环本构模型。

单轴应变循环时，定义各向同性损伤变量D 为：
M
M0
1D σσ=−
（6） 其中，　M 为每一周循环对应的最大应力，　M0为初始最大应力。

损伤演化方程定义如下：
p
t
n n p
t
A A 11p
p
D D
D
σσ
=+−−&&& （7）
A p 、n p 、A t 、n t 为材料常数。

该式体现了应力σ和累积非弹性应变率p
&与损伤变量D 之间的耦合性。

在应变循环中，由于损伤的累积，使得弹性模量E 在每一循环中卸载时都不同，因此
本文中定义E 为：
()2
01E E D =− （8）
0E 为初始弹性模量。

于是，弹性应变可表达为：
()
e 2
01E D σ
ε=
− （9）
单轴加载条件下，将损伤引入粘塑性流动方程，（3）和（4）式可转化为如下表达形式：
()m A
sinh 11R X p D D σ⎡⎤−=⎢⎥−−⎣⎦
& （10）
()in m A
sinh 11R X X D D X
σσε
σ⎡⎤−−=⎢⎥
−−−⎣⎦& （11） 对63Sn-37Pb 钎料合金的实验表明：该材料的变形行为强烈地受到应变率、保持时间的影响[3,4, 7]。

采用文献[11]中的等效背应力定义，即在背应力的演化方程中引入静力恢复项以
表征材料变形的时相关效应。

背应力演化方程简化为：
12X X X =+ （12）
in k k k
k k c (a )b X X p X ε=−−&&& (k=1, 2) （13） 其中，k b X 为静力恢复项， b 为材料常数，其控制着不同应变率范围的静态恢复效应。

若b=0，则退化为（5）式，即为时无关的随动硬化演化方程。

此外，由于对63Sn-37Pb 钎料合金的实验研究中发现，在单轴应变控制加载条件下，应力以极快的速度即达饱和，因此X 取两项就可以较准确地描述其背应力演化特性。

3．模型参数的确定
由文献[3]和[10]，材料参数c k 、a k 和b 可通过不同应变率加载条件下的实验结果确定，参数R 、A 及m 可通过单轴稳态蠕变实验确定。

损伤参数A p 、n p 、A t 和n t 的确定如下： 在应变率较低的情况下，（7）式可简化为： t
n t
A 1D D
σ
=−& （14）
积分可得：
()t n
2t 1A 2
D D t σ−= （15）
由于损伤D 可用应力幅值下降来描述，故取应力幅下降0.5%、1%、1.5%等一系列数据点，应用（15）式拟合，则可得到参数A t 和n t 。

在应变率较高的情况下，式（7）则可简化为：
p
n p
A 1p
p
D D
σ=−&&& （16）
积分得：
()p n
2p 1A 2
D D p σ−= （17）
应用与A t 和n t 类似的方法可确定A p 和n p 。

确定的材料常数如表1所示。

表1 材料参数 Tab.1 Materials constants
E 0 (GPa) 32
c 1, c 2, b
1000.04, 50.09, 0.001 a 1, a 2, R (MPa)
11.29, 5, 22.04 A p , A t , n p , n t 6.29×10-5, 6.04×10-8, 1.78,
1.78
　m, D c 5×10-5
, 4.691, 0.28
4．模拟结果及讨论
4.1 变形行为的模拟
4.1.1应变率敏感性模拟
图1 给出了不同应变率及其加载历史下的单调拉伸应力~应变　~　曲线的实验结果与模拟结果，其加载历史路径为①1×10-5/s (0~0.01)→②1×10-4/s (0.01~0.02)→③1×10-3/s (0.02~0.03)；图2为相同应变幅值、不同应变率下的循环应力~应变关系的实验结果与模拟结果比较，其应变幅值为0.3%、应变率历史为①5×10-5/s （2c ）→②2×10-4/s （10c ）→③1×10-3/s （20c ），c 表示循环周次。

由图1及图2可见，预言结果与实验结果均吻合较好，这表明本文模型可以较好地描述该钎料合金循环变形行为的率相关性。

4.1.2应变幅值效应模拟
图3为相同应变率、不同应变幅值下的变形行为的实验结果与预言结果比较，其应变率为2×10-3/s 、应变幅值历史为0.2%①（5c ）→0.3%②（5c ）→0.4%③（5c ）→0.5%④（5c ）。

由图可知，预言的　~　关系与实验结果基本是吻合的。

因此，本文模型可以预言材料的应变幅值效应。

图1 单调拉伸时的σ~ε 关系
Fig1 the relationship of σ~ε under monotonic
tensile loading
图2 相同加载幅值下的σ~ε 关系
Fig2 the relationship of σ~ε with same strain
amplitude
图3 相同应变率不同应变幅值下的σ~ε关系 Fig3 the relationship of σ~ε with same strain rate
and different strain amplitudes
（1） （2） （3）
图4 具有保持时间的加载波形 Fig4 the waveform with dwell time
4.1.3保持时间效应模拟
在应变幅值为0.4%、应变率为2×10-3/s 、保持时间加载波形如图4所示的加载条件下，对其循环变形行为进行本构模拟，具体的保持时间加载为：（1）只在峰值有保持时间（图4（1））：①60s （2c ）→②120s （2c ）→③180s （2c ）；（2）只在谷值有保持时间（图4（2））：④60s （2c ）→⑤120s （2c ）→⑥180s （2c ）；(3)在峰、谷值都有保持时间（图4（3））：⑦60s （2c ）→⑧120s （2c ）→⑨180s （2c ）。

图5给出的是峰值分别具有60s 和180s 的保持时间的实验结果与模拟结果比较，由图可见，模型能够较好地模拟由保持时间引起的应力松弛及后继循环变形行为。

图6为峰值和谷值均有180s 保持时间的应力~应变响应，模拟结果与实验结果也基本吻合。

这都表明循环本构模型可以较好地描述钎料合金的保持时间效应。

4.2 疲劳失效模型及疲劳寿命预测
损伤失效准则定义为：
c D D = （18）
D c
为临界损伤值，一般定义为应力幅值下降到初始最大应力幅值75%时的损伤值，其值见表1。

结合耦合损伤的时相关循环本构模型，随着循环次数的增加，累积损伤D 值随之增大，当D 达到其临界损伤值D c 时，材料发生疲劳破坏，此时的循环周次就是疲劳寿命N f 。

应用该耦合损伤的时相关疲劳失效模型可对不同加载率、不同应变幅值下的疲劳失效行为及疲劳寿命进行模拟和预测。

图7给出了应变幅值为0.009、应变率为2×10-3/s 下的应力幅值 /2随循环周次N 变化的模拟与实验结果比较，由图可见，随着循环周次的增加，应力幅值不断衰减，预言的应力幅值随循环周次的变化曲线与实验结果较吻合。

图8给出了相应的损伤演化结果，可以看到失效模型能够预言出损伤变量D 随循环周次的不断累积。

以上均说明失效模型能够较好地模拟材料的疲劳失效演变行为。

当c D D =时，表2给出了三种不同应变幅值、不同应变率下的由失效模型预测的疲劳寿命，与实验结果进行比较可见，耦合损伤的疲劳失效模型可以较准确地预言材料的疲劳寿
图5 峰值具有保持时间的σ~ε 关系 Fig5 the relationship of σ~ε with dwell time on the
strain peak
图6 峰、谷值均具有保持时间的σ~ε 关系 Fig6 the relationship of σ~ε with dwell time on
the strain peak and valley
命。

综上，应用耦合损伤的时相关失效模型对于钎料合金的疲劳失效行为及疲劳寿命有较好的预言能力。

表2 单轴加载下的疲劳寿命 Tab.2 the fatigue life under uniaxial loading
应变幅值 应变率 实验寿命预言寿命
0.01 1×10-3
/s 240 186 0.009 2×10-3/s 340 380 0.007 2×10-3/s 381 524
5．小结
本文基于经典本构模型，在流动准则中引入损伤变量，在随动硬化演化方程中引入静力恢复项，从而建立了耦合损伤的时相关循环本构模型和疲劳失效模型。

应用提出的耦合损伤的时相关理论模型对63Sn-37Pb 钎料合金在不同加载条件下的循环变形行为及疲劳失效行为进行模拟，并对材料的疲劳寿命进行预测。

预言结果与实验结果的基本一致性表明，本文提出的理论模型对于材料的时相关循环变形行为及疲劳失效行为均有较好的预言能力，同时也能较准确地预测材料的疲劳寿命。

参考文献
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图7 应力幅值随循环周次的变化
Fig7 the relationship of ∆σ/2 ~ N
图8 损伤变量D 的演化 Fig8 the evolution of damage variable
[9] Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical representation of the multiaxial Bauschinger effect. CEGB
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A Study of Damage-coupled Time-dependent Theoretical
Model for Solder Alloy 63Sn-37Pb
Luo Yan，Yang Xianjie，Gao Qing
Department of Applied Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu
(610031)
Abstract
Based on the uniaxial time-dependent deformation and failure behavior of 63Sn-37Pb solder alloy, the damage-coupled time-dependent cyclic constitutive model and fatigue failure model were proposed. In the model, the evolution equation of damage was introduced and the time-dependent effect was taken into account. The theoretical model was used to simulate the deformation behavior and fatigue failure behavior at different strain rate, different strain amplitude, dwell time and history, the model also was used to predict the fatigue life. The comparison between the predicted and experimental results demonstrates that the proposed theoretical model is reasonable and useful.
Keywords：Solder Alloy，Time-dependent Deformation，Damage，Fatigue Failure Model
作者简介：罗艳，女，1980年生，博士研究生，主要研究方向是材料的疲劳、损伤及本构关系。