『精选』2020年云南省玉溪一中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2018学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={﹣2，1，3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∪B中元素个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8
2．（5分）已知数列{a n}是等比数列（|q|＞1），a1a6=﹣20，a2+a5=1，则a8=（）
A．B．C．D．
3．（5分）设函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是最小正周期为3π的奇函数
B．f（x）是最小正周期为3π的偶函数
C．f（x）是最小正周期为的奇函数
D．f（x）是最小正周期为的偶函数
4．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（5分）平面向量与的夹角为，，，则=（）
A．B．C．4 D．
6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．（5分）关于x的不等式|﹣3x﹣a|＜3的解集为，则a=（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
9．（5分）若，则cos2α﹣2sin2α=（）
A．B．C．1 D．
10．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m（m，n∈N*），且a1=1，则a10=（）A．1 B．9 C．10 D．55
11．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A．＞B．＜C．＞D．＜
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=sinx；当﹣π≤x≤π时，f（﹣x）=﹣f（x）；当时，f（x+π）=f（x），则=（）
A．B．0 C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆x2+y2﹣4x+2y+1=0截得的弦长为．
14．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=．若=x+y，则x+y=．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和为．16．（5分）若a＞b＞1，，则p，q，r的大小关系是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，
（1）求cosx的值；
（2）求的值．
18．（12分）设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若存在x∈R使得f（x）≥m成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣ac．
（1）求B；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=a．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积．
21．（12分）已知a＞0，b＞0，f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．
（1）求a+b的值；
（2）若恒成立，求x的取值范围．
22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（n∈N+），
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，证明：对于任意n∈N+都有T n＜．
2018学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={﹣2，1，3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∪B中元素个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵A={﹣2，1，3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
其元素个数为6个，
故选：B．
2．（5分）已知数列{a n}是等比数列（|q|＞1），a1a6=﹣20，a2+a5=1，则a8=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵数列{a n}是等比数列（|q|＞1），∴a1a6=﹣20=a2a5，又a2+a5=1，
解得a2=﹣4，a5=5，
则a8==﹣．
故选：D．
3．（5分）设函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是最小正周期为3π的奇函数
B．f（x）是最小正周期为3π的偶函数
C．f（x）是最小正周期为的奇函数
D．f（x）是最小正周期为的偶函数
【解答】解：
则：①函数的最小正周期为：T=，故A、B错误．
②
故函数为偶函数，故C错误．
所以：D正确．
故选：D．
4．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：循环前a=1，i=0，执行循环体后，i=1，a=2，不满足退出循环的条件，继续执行循环体；
执行循环体后，i=2，a=5，不满足退出循环的条件，继续执行循环体；
执行循环体后，i=3，a=16，不满足退出循环的条件，继续执行循环体；
执行循环体后，i=4，a=65，满足退出循环的条件，
故输出的i值为4．
故选：B．
5．（5分）平面向量与的夹角为，，，则=（）
A．B．C．4 D．
【解答】解：||=2，=2×2×cos=﹣2，
2
∴||=2．
故选：A．
6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，1），
化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．
故选：B．
7．（5分）关于x的不等式|﹣3x﹣a|＜3的解集为，则a=（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【解答】解：由不等式|﹣3x﹣a|＜3可得﹣3＜﹣3x﹣a＜3，
解得：＞x＞，
∵解集为，
∴，
解得：a=2．
故选：D．
8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
9．（5分）若，则cos2α﹣2sin2α=（）
A．B．C．1 D．
【解答】解：∵，
∴cos2α﹣2sin2α====﹣．
故选：A．
10．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m（m，n∈N*），且a1=1，则a10=（）A．1 B．9 C．10 D．55
【解答】解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，
令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，
根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，
故选：A．
11．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A．＞B．＜C．＞D．＜
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，=﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=sinx；当﹣π≤x≤π时，f（﹣x）=﹣f（x）；当时，f（x+π）=f（x），则=（）
A．B．0 C．D．
【解答】解：∵当时，f（x+π）=f（x），则==，
∵当﹣π≤x≤π时，f（﹣x）=﹣f（x）；则=﹣，
∵当x＜0时，f（x）=sinx；=﹣
故=，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆x2+y2﹣4x+2y+1=0截得的弦长为
．
【解答】解：化圆x2+y2﹣4x+2y+1=0为（x﹣2）2+（y+1）2=4，
则圆心坐标为（2，﹣1），半径为2．
圆心到直线x+2y﹣3=0的距离为d=．
由垂径定理可得，直线x+2y﹣3=0被圆x2+y2﹣4x+2y+1=0截得的弦长为2=．故答案为：．
14．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=．若=x+y，则x+y=．【解答】解：∵在△ABC中，点M，N满足=2，=，
∴=
=
=
=，
∴x=，y=﹣，
∴x+y=．
故答案为：．
15．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和为18．【解答】解：由a n=a n﹣1+（n≥2），得a n﹣a n﹣1=（n≥2），
可知数列{a n}是以为公差的等差数列，又a1=1，
∴．
故答案为：18．
16．（5分）若a＞b＞1，，则p，q，r的大小关系是r ＞q＞p．
【解答】解：∵a＞b＞1，∴r=＞ln==q＞=p．
∴r＞q＞p．
故答案为：r＞q＞p．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，
（1）求cosx的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵，，∴，∴
．
（2）∵，，∴，∴，
∴．
18．（12分）设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若存在x∈R使得f（x）≥m成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当x≤﹣1时，x﹣4≤2，解得：x≤6，所以x≤﹣1；
当﹣1＜x＜时，3x﹣2≤2，解得：x≤，所以﹣1＜x≤，
当x≥时，﹣x+4≤2，解得：x≥2，所以x≥2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
综上所述解集为：{x|x≤或x≥2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）f（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以f（x）的值域为（﹣∞，]，
所以f（x）的最大值为，
所以m≤．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．（12分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣ac．
（1）求B；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，a2+c2﹣b2=﹣ac，
则cosB==﹣，
又由0＜B＜π，
B=；
（2）根据题意，sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sin（+C）+sinC=cosC，
又由0＜C＜，则＜cosC＜1，
即sinA+sinC的取值范围为（，1）．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=a．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积．
【解答】（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）解：取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴三棱锥E﹣PBD的体积====．（14分）
21．（12分）已知a＞0，b＞0，f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．
（1）求a+b的值；
（2）若恒成立，求x的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．
（2）+=（+）=++≥2+=﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以≥x2﹣2x﹣，解得：﹣1≤x≤3，
故不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（n∈N+），
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，证明：对于任意n∈N+都有T n＜．
【解答】解：（1）由S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（n∈N+），S n＞0，解得S n=n2+n，
当n=1时，a1=2，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n，n=1时也成立．
∴a n=2n．
（2）证明：b n===，
∴数列{b n}的前n项和T n=+…+=，
∴对于任意n∈N+都有T n＜．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，
DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则
AE、PE与
PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。