【高考核动力】高考数学 2-2函数的单调性与最值课件 北师大版

【归纳提升】 1.判断函数的单调性应先求定义域．
2 ．用定义法判断 ( 或证明 ) 函数单调性的一般步骤为：
取值－作差－变形－判号－定论，其中变形为关键，而变形 的方法有因式分解、配方法等． 3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的 重视.
求下列函数的单调区间： (1)(2011·江苏高考)f(x)＝log5(2x＋1)；
①函数f(x)＝x2(x∈R)的单函数； ②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数 ③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 由定义知 f(x) 是单调递增或单调递减函数 时，f(x)是单函数，故②③④正确．
第2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增 函数的是( ) B．y＝－ x＋1 1 D．y＝x＋ x
A．y＝ln(x＋2)
1 x C．y＝ 2
【解析】 函数 y＝ln(x＋2)在区间(0， ＋∞)上为增函数； 函数 y＝－ x＋1在区间(0，＋∞)上为减函数；函数
a a时，x1－x2＞0，1－x x ＞0， 1 2
有 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， a 此时，函数 f(x)＝x＋ (a＞0)在[ a，＋∞)上为增函数； x a 综上可知，函数 f(x)＝x＋ (a＞0)在(0， a]上为减函数； x
a a 法二：f′(x)＝1－ 2，令 f′(x)＞0 则 1－ 2＞0， x x a ∴x＞ a或 x＜－ a(舍)．令 f′(x)＜0，则 1－ 2＜0. x ∴－ a＜x＜ a.∵x＞0，∴0＜x＜ a. ∴f(x)在(0， a)上为减函数； 在( a，＋∞)上为增函数，也称为 f(x)在(0， a]上为减 函数；在[ a，＋∞)上为增函数．
当 x<－1 或 x>2 时，函数 f(x)>f(－1)＝2； 当－1≤x≤2 时，函数 9 即－ ≤f(x)≤0. 4 故函数
9 f(x)的值域是－4，0 ∪(2，＋∞)． 1 f 2≤f(x)≤f(－1)，
【答案】 D
4．(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A 且 f(x1) ＝f(x2) 时总有 x1 ＝ x2 ，则称f(x) 为单函数．例如，函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
9 C.－4，＋∞
9 D.－4，0 ∪(2，＋∞)
【解析】 令 x<g(x)， 即 x2－x－2>0， 解得 x<－1 或 x>2. 令 x≥g(x)，即 x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2. 故函数
2 x ＋x＋2，x<－1或x>2， f(x)＝ 2 x －x－2，－1≤x≤2.
x2－x1 ＝(x1－x2)＋a x1x2
a ＝(x1－x2)1－x x . 1 2
当 a≥x1＞x2＞0
a 时，x1－x2＞0，1－x x ＜0， 1 2
有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， a 此时，函数 f(x)＝x＋ (a＞0)在(0， a]上为减函数； x 当 x1＞x2≥
1 x y＝ 2
1 在区间(0，＋∞)上为减函数；函数 y＝x＋ 在区间(0，＋∞) x 上为先减后增函数．故选 A.
【答案】A
1 2．函数 f(x)＝ 的最大值是( 1－x1－x 4 A. 5 3 C. 4
【解析】
)
5 B. 4 4 D. 3
1 2 3 3 ∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝x－2 ＋ ≥ ， 4 4
(2)f(x)＝x2－4|x|＋3；
(3)f(x)＝(x－3)ex. 【思路点拨】 (1) 利用复合函数的单调性； (2) 去绝对
值，分段写出函数解析式，然后画图象得函数的单调区间； (3)运用导数法求单调区间．
【尝试解答】 (1)要使 y＝log5(2x＋1)有意义，则 2x＋1 1 ＞0，即 x＞－ ，而 y＝log5u 为(0，＋∞)上的增函数，当 x 2 1 ＞－ 时，u＝2x＋1 也为 R 上的增函数，故原函数的单调增 2 1 区间是－2，＋∞ ，无递减区间．
(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？
提示：不是，其单调增区间为(－∞，0]和(0，＋∞)
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是 做y＝f(x)的单调区间．
增函数或减函数
，则 D 叫
称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间
【思路点拨】
抓住常见基本初等函数的单调性进行判
定．
【答案】 B
a 判断函数 f(x)＝x＋ (a＞0)在(0，＋∞)上的单调性． x
【思路点拨】 可采用定义法或导数法判断．
【尝试解答】 法一：设 x1＞x2＞0，则
a a f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2 a a ＝(x1－x2)＋x －x 1 2
【答案】 ②③④
2 5．若 x＞0，则 x＋ 的最小值为________． x
2 【解析】 ∵x＞0，则 x＋ ≥2 x
2 x·＝2 2. x
2 2 当且仅当 x＝ ，即 x＝ 2时，等号成立，因此 x＋ 的最 x x 小值为 2 2.
【答案】 2 2
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
如图所示函数 f(x) 的图象，则函数 f(x) 的单调增区间是
1 4 ∴ ≤ . 1－x1－x 3
【答案】 D
3 ． (2010· 天津高考 ) 设函数 g(x) ＝x2 － 2(x ∈ R) ，f(x) ＝
gx＋x＋4，x<gx， gx－x，x≥gx.
则 f(x)的值域是( B．[0，＋∞)
)
9 A.－4，0 ∪(1，＋∞)