高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》易错题汇编及答案解析

《推理与证明》知识点汇总
一、选择题
1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，
[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '
+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x --
B ．cos sin x x -
C ．sin cos x x +
D ．cos sin x x -+ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据归纳推理进行求解即可．
【详解】
解：由题意知：()sin cos f x x x =-， 1()()cos sin f x f x x x '==+，
[]1'
2()()sin cos f x f x x x ==-+，
[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，
[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，
L
照此规律，可知： []'
201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．
2．已知点(10,3)P 在椭圆22
2:199
x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为
（ ）
A ．
13311
x y += B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110
x y += 【答案】C
【解析】 【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程.
【详解】
因为点(10,3)P 在椭圆22
2:199
x y C a +=上， 故可得21009199
a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：
103111099
x y +=，整理可得11133x y +=. 故选：C.
【点睛】
本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.
3．在平面直角坐标系中,方程1x y a b
+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．
1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca ++= C ．1xy yz zx ab bc ca
++= D ．1ax by cz ++=
【答案】A
【解析】
【分析】 平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是
1x y z a b c
++=. 【详解】 由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y z a b c
++=，故选A. 【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .
4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D
【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，
所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+- 【答案】B
【解析】
【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.
【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.
累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-+
+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
6．给出下面类比推理：
①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；
②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c
+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.
【详解】
①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c
+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；
④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；
所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.
7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A ．丙被录用了
B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用
了
【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）
A ．71
B ．72
C ．20
D ．19
【答案】D
【解析】
【分析】 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有
()11+2+3++=
2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，
即可得解.
【详解】 奇数2019为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()
11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，
故2019位于第45行，从右往左第20列，
则45i =，26j =，故19i j -=.
故选：D.
【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.
9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )
A ．20
B ．21
C ．22
D ．23
【答案】C
【解析】
【分析】
一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.
【详解】
设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分, 1,(1)112n f ==+=Q ;
2,(2)(1)24n f f ==+=;
3,(3)(2)37n f f ==+=;,
4,(4)(3)411n f f ==+=; ,
5,(5)(4)516n f f ==+=;
6,(6)(5)622n f f ==+=.
故选:C.
【点睛】
本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
10．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几
A ．二
B ．三
C ．四
D ．五
【答案】C
【解析】
分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意．
故今天是周四．
故选：C ．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=63
2n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）
A ．k 3+1
B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63(1)(1)2
k k +++ 【答案】B
【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++
所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++
所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
13．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ）
A ．可能是国画
B ．可能是书法
C ．可能是排球
D ．一定是篮球
【答案】B
【解析】
【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.
【详解】
若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；
若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；
若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；
若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；
故小刚可能选择的是书法和篮球.
故选：B .
【点睛】
本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
14．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
15．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，
则{}n a 的类似结论为（ ）
A ．912392a a a a =L
B ．912392a a a a ++++=L
C ．123929a a a a L =⨯
D ．123929a a a a ++++=⨯L
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得.
【详解】
由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确．
【点睛】
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
16．观察下列一组数据
11a =
235a =+
37911a =++
413151719a =+++
…
则20a 从左到右第一个数是（ ）
A ．379
B ．383
C ．381
D ．377 【答案】C
【解析】
【分析】
先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数．
【详解】
由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有
()119191902
+⨯=个奇数，
所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，
所以第191个奇数为21911381⨯-=．
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
17．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+
++⋅⋅⋅
中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
11x x +=
求得12
x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( )
A ．2
B ．32
C ．3
D ．53 【答案】B
【解析】
【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.
【详解】 232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q ∴可设23111333
x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322
++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选：B
【点睛】
本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.
18．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A ．乙、丁可以知道自己的成绩
B ．乙可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．丁可以知道四人的成绩 【答案】A
【解析】
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.
【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的
思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
19．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
【答案】D
【解析】
【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
20．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.。