高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》易错题汇编附答案解析

数学高考《平面向量》复习资料
一、选择题
1．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+=
（ ） A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出
()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得
λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1
221
μλλμ-=⎧⎨
+=-⎩，
则12
λμ+=-. 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
2．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D
【解析】
由余弦定理可得
22211 cos
216
AB BC AC
B
AB
BC
+-
==
⋅
，又
()11
cos4822
16
AB BC AB BC B
π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=-
⎪
⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v
，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos
a b c bc A
=+-；（2）
222
cos
2
b c a
A
bc
+-
=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60
o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
3．已知菱形ABCD的边长为2，60
ABC
∠=︒，则BD CD
⋅=
u u u v u u u v
（）
A．4 B．6 C．23D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD的边长为2，60
ABC
∠=︒，
∴120
C
∠=︒，∴222
22222cos12012
BD=+-⨯⨯⨯︒=，
∴23
BD=30
BDC
∠=︒，
∴|||
3
302
|326
BD CD BD CD cos
=⨯⨯︒==
⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
4．如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则OD=
u u u r
（）
A ．2133BA AC +u u
u r u u u r
B ．2133BA A
C -u u
u r u u u r
C ．1233BA AC +u u
u r u u u r
D ．4233
BA AC +u u
u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】
解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=
++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
5．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r
，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值
（ ）
A ．
34
B ．
320
C ．
316
D ．38
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r
AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定
理，即可求出λ. 【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u
r u u u r u u u r ，
所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，
由于B ，P ，D 三点共线，
所以1
414
λ+=， ∴316λ=
． 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
6．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v
，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA
BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
7．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点,P Q 在圆
2
2
2:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r
的最小值为（ ）
A ．18122-
B ．19122-
C ．18122+
D ．19122+
【答案】B 【解析】 【分析】
设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，求得2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
2
3223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.
【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，所以2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
2
2
2
22(
)12
PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=-- 故()
2
322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
8．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v 4
tan 3
AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，
OC mOA nOB
u u u v u u u v u u u v =+，则m
n
等于（ ）
A．5 7
B．
7
5
C．
3
7
D．
7
3
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．
【详解】
以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1
OA OB
==
u u u r u u u r
，且
4
tan
3
AOB
∠=-，∴
34
cos sin
55
AOB AOB
∠=-∠=
，，
∴A（1，0），B（
34
55
-，），又令θ
AOC
∠=，则θ=AOB BOC
∠-∠，∴
4
1
3
tanθ
4
1
3
--
=
-
=7，
又如图点C在∠AOB内，∴cosθ=
2
10
，sinθ=
72
10
,又2
OC
u u u v
=C（
17
55
，），
∵OC mOA nOB
=+
u u u r u u u r u u u r
，（m，n∈R），∴（
17
55
，）=（m,0）+（
34
55
n n
-，）=(m
3
5
n
-，4
5
n）
即
1
5
= m
3
5
n
-，
74
55
n
=，解得n=
7
4
，m=
5
4
，∴
5
7
m
n
=，
故选A．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．
9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
11．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，则当,1[]2t ∈-时，a tb
-r r 的最大值为（ ） A 2 B 3
C ．2
D 5【答案】D 【解析】 【分析】
根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用2
2
()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.
【详解】
因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r
，
所以2
2
()1a tb a tb t -=-=+r r r r
当[]2,1t ∈-时，max
5a tb
-=r r
故选：D 【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
12．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
AO AC BO AB CO =
+++u u u v
u u u
v u u u v u u u v u u u v ， 而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以
1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =
-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u
v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v 所以22
1(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
13．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则
PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，设
，
,
,又因为
,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答
案选D.
考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
14．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP FP →
→
g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根
据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
15．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A ．
2
B ．
2
C
D ．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =
u u u r
（ ）
A ．2136a b -r r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133
a b -r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r 2136
a b =-r r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=
-=-，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
18．已知向量OA u u u r 与OB uuu r
的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，
()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<时，夹角θ的取值范围为
（ ）
A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．20,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由01
05t <<，可求得夹角θ的取值范围.
【详解】
因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r
，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1
cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，
所以223ππθ<<，
故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求
解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
19．已知单位向量,a b r r
满足
3a b +=r r
，则a r 与b r 的夹角为
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】
由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r
r r r r ，
又因为单位向量,a b r r ，所以1632
a b
a b ⋅=⇒⋅=r
r r r ，
所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r
，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3
a b π〈〉∈r r ，故选C.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r
（ ）
A
B
C
D
．
4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22
||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】
因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u r u u u r u 229311
112()2168216
=
⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=
，
所以||4
EB =u u u r ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。