2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-4

选修4－4 坐标系与参数方程
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程
θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭
⎫b ，π
2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程
ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π
2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t ).
并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．
(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．
1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4
)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．
3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4t 2，
y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.
4．直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t sin 40°
，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．
5．已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3t ，
y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是
________．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数
a 的值．
题型二 参数方程与普通方程的互化
例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2，y ＝t
(t ∈R )，求它们的
交点坐标．
思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1
cos 2
θ等．
(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
将下列参数方程化为普通方程．
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2t 21＋t 2
，y ＝4－2t
21＋t
2
(t 为参数)；
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．
题型三 极坐标、参数方程的综合应用
例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲
线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝－3＋32t ，y ＝1
2t
(t 为参数)，M ，N
分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．
思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．
(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3
＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
参数的几何意义不明致误
典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝12
t ，y ＝22＋3
2t
(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的
O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程
为ρ＝2cos(θ－π
4)．
(1)求直线l 的倾斜角；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .
易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答
解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos 60°
，y ＝2
2＋t sin 60°，[2分]
根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22
)， 倾斜角为60°.[4分]
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋
2
2
，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －2
2)2＝1，[8分]
所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝
10
2
.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则
是直线的倾斜角．
与此类似，椭圆参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．
方法与技巧
1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．
2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1
cos 2θ
.
3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范
1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
A 组 专项基础训练
1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线
C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的
公共点的坐标．
2．已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π
4)＝
－ 2.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．
3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4)＝a ，且点A 在直线
l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6上的动点，试求PQ 的最大值．
5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π
6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．
6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝12
x ，
y ′＝1
3y
后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何
种曲线，并求曲线的焦点坐标．
B 组 专项能力提升
1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π
4)＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
答案
要点梳理
1．(1)极点 极轴 极径
(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x
3．参数方程 参数
4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0
＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑
1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1
题型分类·深度剖析
例1 解 (1)由ρcos(θ－π3
)＝1 得ρ(12cos θ＋32
sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32
y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．
当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2
)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．
N 点的直角坐标为(0，233
)． 所以P 点的直角坐标为(1，33
)． 则P 点的极坐标为(233，π6
)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6
(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋4
2＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.
例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25
＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝
⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 2
1＋t
2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 2
1＋t 2
＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2
∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．
∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．
(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．
∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.
∴4y －x ＋2＝0.
∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，
∴－2≤x ≤2.
∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．
例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，
y ＝12t
(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|
1＋3＝52
，
此时，直线与圆相离，
所以MN 的最小值为52－2＝12
. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝
⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2
＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，
解得a ＝－1，b ＝2.
练出高分
A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝2t
(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.
2．解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin α，
y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．
(2)由ρsin(θ＋π4
)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132
∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．
3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4
)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，
因为圆心C 到直线l 的距离d ＝
12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．
4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.
又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝
⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，
∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.
5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；
N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．
(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－0
3－2＝ 3.
∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．
6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，
y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，
y
＝3y ′，
∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′
29＋y ′2
4＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组
1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，
直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π
2)．
2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π
4)＝2，
所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π
4)＝2，
所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin(θ＋π4)＝22
. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t
y ＝5＋5sin t . ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －4
5sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2
. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．
∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝
⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩
⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝
⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)方法一 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。