化二次型为标准型的方法解读

化二次型为标准型的方法
二、 二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2
2
ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方
向转轴） ''
''
x x cos y sin y x sin y cos θθ
θθ
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）
把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式
22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++
称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n
x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪
=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另
ij ji a =a ，i<j. 由于i j j i x x =x x ，所以
22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++
=
n n
ij
i
j
i 1j 1
a x x ==∑∑
它的系数排成一个n*n 矩阵
11121n 2122
2n n1n2
nm a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
它就称为二次型的矩阵。

显然它是对称矩阵。

令 12
n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
于是二次型可写成12n f (x ,x ,...,x )='X AX 非退化线性替换可以表示成X=CY
三、化二次型为标准形的方法之一：配方法
定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。

证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。

我们对变量的个数做数学归纳法。

对于n=1，而二次型就是2
1111f (x )a x =已经是平方和的形式了。

现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。

再假设n n
12n ij
i
j
i 1j 1
f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑（ij a
=
ji a ）
分三种情况来讨论：
1）ii a （i=1，2，…，n ）中是少有一个不为零，例如11a ≠0。

这时
12n f (x ,x ,...,x )=2111
a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n n
ij i j i 2j=2
a x x =∑∑
=2111
a x +2
n
1j 1
j j 2
a
x x =∑+n n
ij i j i 2j=2
a x x =∑∑
=11a 2n 1
1111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑-111a -2
n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑
=11a 2
n 1
1111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2
b x x =∑∑，
这里
n n
ij i j i 2j=2
b x x =∑∑
=-111
a -2
n
1j j j 2a x =⎛⎫
⎪⎝⎭∑+n n
ij i j i 2j=2
a x x =∑∑
是一个2n x ,...,x 的二次型。

令
n -111111j j j 222
n n y x a a x y x ...........y x =⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑即n
-11
1111j j j 2
22n n
x y a a x x y ...........x y =⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 这是一个非退化线性替换，它使12n f (x ,x ,...,x )=2
111
a y +
n n
ij i j i 2j=2
b x x =∑∑。

有归纳法假定，对
n
n
ij
i j
i 2j 2
b y y ==∑∑有非退化线性替换
22222332n n 33223333n n n n22n33nn n
z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎨
⎪⎪=++⎩能使它变成平方和222
2233n n d z d z ...d z ++。

于是非退化的线性替换
11
22222332n n 33223333n n n n22n33nn n
z y z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =⎧⎪=++⎪⎪
=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 就使12n f (x ,x ,...,x )变成12n f (x ,x ,...,x )=222
2233n n d z d z ...d z ++由归纳法，即证。

2）所有ii a 都等于0，但至少一1j a 0≠（j>1），不是一般性，设12a 0≠。

令
112
212
n n
x z z x z - z ...........x z =+⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩它是非退化线性替换，且使12n f (x ,x ,...,x )=12122a x x ...+ =1212122a (z z )(z - z )...++=22
1211222a z 2a z ...-+
这时上式右端是12n z ,z ,...,z 的二次型，且2
1z 的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。

3）11121n a a ...a 0===由于对称性，有21222n a a ...a 0=== 这时n n
12n ij
i
j
i 2j 2
f (x ,x ,...,x )a x x ===
∑∑是n-1元二次型。

根据归纳假设，它能用非退化线性替
换变成平方和。

这样就完成了定理得证明。

说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。

配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。

四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）
由上述配方法即得：
定理 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。

即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使T
C AC 成对角形。

即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。

典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。

2221231231213(,,)222f x x x x x x x x x x =+-+-
解：123(,,)f x x x 的矩阵为A=111120101-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
以下为合同变换过程：
111120101-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭21*(1)+-−−−−→111011101-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭21*(1)+-−−−−→101011111-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭31*(1)+−−−→ 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
100010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
110010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
101011012-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭31*(1)+−−−→100011012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭32*(1)+-−−−−→100011003⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭32*(1)+-−−−−→ 110010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 111010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
111010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
100010003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 112011001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
因此D=100010003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，C=112011001-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
令X=CY ，得123(,,)f x x x =222
1233y y y +-
五、 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）
利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：
对于任意一个n 级是对称矩阵A ，都存在一个n 级是正交矩阵T ，使
T -1T AT=T AT 成对角形。

定理 任意一个实二次型n n
12n ij
i
j
i 1j 1
f (x ,x ,...,x )a x x ===
∑∑ （ij a
=
ji a ）
都可经过正交的线性替换变成平方和12n f (x ,x ,...,x )=222
2233n n d z d z ...d z ++
其中平方项系数12n d ,d ,...,d 就使矩阵A 的特征多形式全部的根。

因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。

正交变换更具实用性。

如：
典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？
22223441x y z xy yz ++--=
解：此方程左端的二项式部分为：(,y,z)f x =2
2
2
2344x y z xy yz ++-- 下把它正交替换成标准型：
它的矩阵A=120222023-⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭
E A λ-=120222023λλλ---=（2λ-）（5λ-）
（1λ+）,A 的全部特征值是2，5，-1.对于特征值2，求出（2E-A ）X=0的一个基础解系：
1212α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,把1α单位化，得1231323η⎛⎫
- ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭;对于特征值5，求出（5E-A ）X=0的一个基础解系：2122α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,把2α单位化，得2132323η⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
;对于特征值-1，求出（-E-A ）X=0的一个基础解系：
3221α⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,把3α单位化，得3232313η⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
令T=2123331
223332213
3
3⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
，则T 是正交矩阵，且1
200T AT=051000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
令***x x y T y z z ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则(,y,z)f x =*2*2*2
2x 5y z +- 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：*2
*2*22x 5y z +-=1
由此看出，这是单叶双曲面。

六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法
（一）相关定义
1、 双线性函数定义
V 是数域P 上一个线性空间，f (α,β)是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数f (α,β)。

如果f (α,β)有下列性质：
1） f (α,1k 1β+2 2 k β)=11 2 2k f (,)k f (,)αβαβ+ 2） 112211,22,f k k k f ()k f ()ααβαβαβ+,（+）=
其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (α,β)为V 上的一个双线性函数。

例如：欧式空间V 的内积是V 上双线性函数。

2、 对成双线性函数的定义
f (α,β) 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f （α，β）=f(β,α),则称f (α,β)为对称双线性函数。

3、 度量矩阵定义
设f (α,β)是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数。

12n ,,...,εεε是V 的一组
基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
叫做f (α,β)在12n ,,...,εεε下的度量矩阵。

结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。

（二）化二次型为标准型的雅可比方法
设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令
α=
n
i i
i=1
x ε
∑,β=
n
i i
i=1
y ε
∑，
x =T 1n (x ,...,x ),y=T
1n (y ,...,y ),
那么给定一个F 上的n 元二次型T
x Ay （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一
个V 上对称双线性函数f (α,β)= T
x Ay ，其中11)
1n n 1)
n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎝⎭。

反之亦然。

在固定的基
12n
,,...,εεε下，二次型T x Ax 和对称双线性函数f (α,β)=T
x Ay 是互相唯
一确定的（都是由A 确定的）。

这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下游二次型T
x Ax 确定的对称双
线性函数f (α,β)=T
x Ay ，满足条件
i j f (,)ηη=0，对i ≠j(i,j=1,2,…,n)
我们知道，设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而B=ij n n b ⨯（）=i,j (f ())ηη是f (α,β)
关于这个基的矩阵，又设C=ij n n c ⨯（）是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即
i η=n
ij j j 1
c ε=∑，i=1,…,n
那么 B=T
C AC ， (1)
即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵式合同的。

由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。

设可逆矩阵C 使T
C AC 成对角阵，
B=11
nn b 00b ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
, (2)
再设C 是基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，由（1）式知，f (α,β)关于基1n ,...,ηη的矩阵是对角矩阵（2）式，即
i j f (,)ηη=0，对i ≠j(i,j=1,2,…,n)
这表明，对于每一个对称双线性函数f (α,β)，都存在一个适当的基1n ,...,ηη，使它可以写成如下形式
f (α,β)=T
z Bu =11112222nn n n b z u b z u ...b z u +++, 其中n
n
i i
i i
i 1
i 1
z ,u αηβη===
=∑∑，从而它所确定的二次型T
z
Bz 可以写成标准形
T z Bz =222111
222nn n b z b z ...b z +++ 且二次型T x Ax 化为T z Bz 所作的非退化线性替换为
x=Cz ，
其中C 是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，它使T
C AC =B 。

于是，化二次型T x Ax 为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件（2）得V 的一个基1n ,...,ηη。

在n
R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη。

该方法的实质就是设
11112121222
n 1n 12n 2nn n,
c ,
c c ,...c c ...c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨
⎪⎪=+++⎩ 然后用待定系数法求使得
()i
j
,ηη=0（其中 i ≠j ，i,j=1,2,…,n ）的系数ij c。

为此我们先解决下问题：
1）设V 是数域P 上一个n 维线性空间，f (α,β)=T
x Ay 使V 上对称双线性函数，其中
12n ,,...,εεε是V 的一组基，α=
n
i i
i=1
x ε
∑,β=
n
i i
i=1y ε
∑，
x =T
1n (x ,...,x ),y=T
1n (y ,...,y ),
A 是n 阶对称矩阵，那么从基{12n ,,...,εεε}出发，是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：
11112121222
n 1n 12n 2nn n,
c ,
c c ,...c c ...c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨
⎪⎪=+++⎩ 使得 i j f (,)ηη=0，对i ≠j(i,j=1,2,…,n) 解：将j 1j 12j 2jj j c c ...c ηεεε=+++代入i j f (,)ηη得
i j f (,)ηη=i,j 1j 12j 2jj j f (c c ...c )ηηεεε=+++
=1j i,12j i,2jj i,j c f ()c f ()...c f ()ηεηεηε+++，
所以，若对任意的i 及j<i 有i,j f ()ηε=0，则对j<i ，也有
i,j f ()ηη=0，
又因双线性函数f (α,β)是对称的，则对j>i ，有
i,j f ()ηη=j,i f ()ηη=0，
即1n ,...,ηη是所求的基。

于是，问题归结为求待定系数1i 2i ii c ,c ,...,c ,i 1,2,...,n,=使向量
i 1i 12i 2ii i c c ...c ηεεε=+++ （3）
满足条件 i,j f ()ηε=j,i f ()εη=0，j=1,2,…,i-1 （4） 显然，若i η满足i,j f ()ηε=0，则i η的数量倍i c η也满足
i j f (c ,)ηε=0，
故为了确定i η，我们再要求i η满足条件
i i f (,)ηε=i,i f ()εη=1。

（5）
这样，i η可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4)和（5），得到关于ji c 的线性方程组
1i 1,12i 1,2ii 1,i 1i 2,12i 2,2ii 2,i 1i i-1,12i i 1,2ii i 1,i
1i i,12i i,2ii i,i c f ()c f ()...c f ()0
c f ()c f ()...c f ()0...
c f ()c f ()...c f ()0
c f ()c f ()...c f ()1
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--+++=⎧⎪
+++=⎪⎪
⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩ （6）
这方程组的系数行列式为
11)1i i i 1)i i)f (,f (,)=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫
⎪∆
⎪ ⎪⎝⎭。

因此，当i ∆≠0时，方程组（6）由唯一解，从而可求得向量i η。

于是，当A=ij n n a ⨯（）=i i (f (,))
εε的顺序主子式1∆=11a ，2∆=
11122122
a a a a ，n ∆=
1112
1n 21222n n1n2
nm
a a a a a a a a a
都不等于0时，可以由方程组（6）求出向量i η，i=1，2，…，n
2）由1）可知，在i ∆≠0，i=1，2，…，n 的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵
C=ij n n c ⨯（）=11
1n nn c c 0c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, 从而由（3）式求得i η，i=1，2，…，n ，它们满足
ij b =i,j f ()ηη=0，对i ≠j ，i,j=1,2,…,n
使得双线性函数f (α,β)关于基1n ,...,ηη的矩阵为
B=T
C AC =11nn b 00b ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
, 是对角矩阵，由此可见，二次型T
x Ax 可经非退化线性替换x=Cz ，化成标准形
T z Bz =222
111
222nn n b z b z ...b z +++ 其中x=T 1n (x ,...,x ),z=T
1n (z ,...,z ).
下面计算ii b =i,i f ()ηηi=1，2，…，n ，由（3）（4）（5）可得
ii b =i,i f ()ηη=i,1i 12i 2ii i f (c c ...c )ηεεε+++
=ii c =i,i f ()ηε
再由克拉默法则，由方程组（6）可解得
ii c =
i 1
i
-∆∆（其中令0∆=1）。

因此，ii b =
i 1
i
-∆∆，i=1，2，…，n 综上所述，我们可得以下结论： 设二次型
n n
ij
i
j
i 1j 1
a x x ==∑∑（其中ij a
=
ji a ）中，顺序主子式1∆，2∆，…, n ∆都不等于零，
则该二次型必可化为下面的标准形：
222
01n-112n 12n
z z ...z ∆∆∆+++∆∆∆ 其中0∆=1。

这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。

典型例题：用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。

123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++
解：由于矩阵A=32223
10220
1⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
,它的顺序主子式1∆=2，2∆=14-，3∆=1
44-都不等于零，故可用雅可比方法。

设1100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3001ε⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，双线性函数f (α,β)关于基
1ε，2ε，3ε的矩阵为A,则
A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭=32
223
10220
1⎛
⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
设111121212223131232333
c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪
=+⎨⎪=++⎩ 系数11c 可由条件()11f ,ηε=1求出，即()1111c f ,εε=211c =1
故11c =12，故有111111
2c ηεε===1200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
系数1222,c c 可由方程组()()()()
1211221212122222,,0
,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，
得122268c c =⎧⎨=-⎩，故2121222c c ηεε=+=680⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎝⎭
系数132333,,c c c 可由方程组13233313231333322023
02
21c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，
得132333817
1217117c c c ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪⎪=⎪⎩，故38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
由此可得，由基1ε，2ε，3ε到123,,ηηη的过渡矩阵为C=1
86
217120
81710017⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭ 因此
123(,,)f x x x 经线性替换
X=CZ 化成标准型
222012123123z z z ∆∆∆++∆∆∆=222
12311z 8z z 217
-+
（三）雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用 1）实二次型n n
12n ij
i
j
i 1j 1
f (x ,x ,...,x )a x x ===
∑∑=T
x
Ax 是正定的充要条件是：
矩阵A 的顺序主子式1∆，2∆，…, n ∆全大于零；
2）实二次型n n
12n ij
i
j
i 1j 1
f (x ,x ,...,x )a x x ===
∑∑=T
x
Ax 是负定的充要条件是：
k
k (1)0,k 1,2,...n.-∆>=
证：1）必要性显然成立，下正充分性。

由于矩阵A 的顺序主子式全大于零，故该二次型必可化为
222
01n-112n 12n
z z ...z ∆∆∆+++∆∆∆ 由于
i 1
i
-∆∆〉0（i=1,2,...,n ），故该二次型的正惯性指数等于n,所以它是正定的。

2）证明与1)类似，只是因k
k (1)0,k 1,2,...n.-∆>=故i 1
i
-∆∆<0（i=1,2,...,n ） 所以该二次型的负惯性指数等于n,是负定的。