第三章 线性控制系统的能控性和能观性3 现代控制理论 教学课件

C CTc1 0 1 n1
0 0 b Tc11b 0 1
W (s) C (sI A)1b
sn1 n1 sn
sn2 n2
1s
an1sn1 a1s a0
0
11
3-7-1-1能控标准形II型
x Ax bu y Cx
x Tc2x
x Ax bu y Cx
Tc2 b Ab An1b
I
A
n
a n1 n1
a1
a0
0 C An1b an1An2b a1b
n2 CAb an1b
n1 Cb
6
证明: 假设系统能控,则矢量b,Ab,…,An-1b线性独立,构成
下列n个新的相互独立的矢量
e1 e2
An1b an1An2b an2 An3b An2b an2 An3b a1b
~x
~x1
~x2
} n1 }(n
n1 )
~x1 A~11~x1 B~1u y C~1~x1
A~
Ro1 A Ro
AA~~1211
0 } n1
A~22
}(n
n1
)
} }
n1 (n n1)
B~
Ro1B
Ae2
A
An2b
an 1 An 3b
a2b
0
0
An1b an1An2b a2 Abaa01b aa1b1 e1 a1aenn2
Aen1 AAb an1b
A2b an1Ab an2b an2b en2 an2en
0
0
0
1
an1
Aen Ab ( Ab an1b) an1b en1 an1en
18
3-7-2-2能观标准形II型
x Ax bu y Cx
x To2x
1 an1 a2 a1
0
1
a3
a2
To21
0
0
1
an
1
0 0 0 1
0 0 0 a0
1 0 0
a1
A
T 1 o2
ATo2
0
1
0
a2
0 0 1 an1
x Ax bu y Cx
xˆ
xˆ1
xˆ2
} n1 }(n
n1 )
Aˆ
Rc1 A Rc
Aˆ11
0
Aˆ12 Aˆ22
} n1 }(n
n1 )
} }
n1 (n n1)
Bˆ
Rc1B
B1
0
} n1 }(n n1)
不能控状态
xˆ1 Aˆ11xˆ1 Bˆ1u Aˆ12 xˆ2 xˆ2 Aˆ22 xˆ2
a1b
en1 Ab an1b
en b
Tc1 e1 e2 en
A
T 1 c1
ATc1
Tc1A ATc1 A e1 e2 en Ae1 Ae2 Aen
7
0 1 0
Ae1 A An1b an1An2b an2 An3b0 a01b 1
0
Anb an1AAn1bTc11ATca11Ab a0b a0b a0en
Rc1B (Rc1ARc )Rc1B (Rc1ARc )n1 Rc1B
Rc1 B AB An1B
Rc1M
rankMc rankM
28
注意
( A1A2 Ak )1 Ak1 A21A11
系统按能控性分解后，传递函数阵不变
Wˆ (s) Cˆ (sI Aˆ )1 Bˆ CRc (sI Rc1ARc )1 Rc1B
e2
An2b
an2 An3b
a1b
Tc1b b
en1 Ab an1b
0 en b
Tc1b en e1 e2 en 0
1
0
b
0
1
9
C CTc1 Ce1 e2 en
C C ( An1b an1An2b a1b), , ( Ab an1b), b
0 1 n
1
an1 1
Tc1 An1b An2b b
a2
a3
a1 a2 an1 1
0 1 0
0
0
01
0
0
A Tc11ATc1
0
0
0
1
a0 a1 an2 an1
C CTc1 0 1
0 0 b Tc11b 0 1
n1
5
3-7-1-1能控标准形I型
C Rc (sI Rc1ARc )Rc1 1 B
C(sI A)1 B W(s)
29
3-8-2按能观性分解
x Ax Bu y Cx
x Ro x
~x A~~x B~u y C~~x
C
N
CA
CAn1
rankN n1 n
30
~x A~~x B~u y C~~x 能观状态
得
T *1 c2
ToT1
A
To11 ATo1
( Tc*2
)T
(
A*
)T
(
T *1 c2
)T
(
T *1 c2
A*Tc*2
)T
( A* )T
b To11b ( Tc*2 )T ( C* )T ( C*Tc*2 )T ( C * )T
C
CTo1
( b*
)T
(
T *1 c2
)T
( Tc*21b* )T ( b* )T
25
xˆ1 Aˆ11xˆ1 Bˆ1u Aˆ12 xˆ2 xˆ2 Aˆ22 xˆ2
能控部分
Aˆ11
+
Bˆ1
++
xˆ1
u
Aˆ12
+
Aˆ 22
不能控部分
xˆ2
26
Rc R1 R2 Rn1 Rn
M中n1个线性无关的列
任意，保证Rc非奇异
27
注意
系统按能控性分解后，其能控性不变
Mc Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ n1Bˆ
C CTc2 0 1 n1
0 0 0 a0
1 0 0
a1
A
T 1 c2
ATc
2
0
1
0
a2
0 0 1 an1
1
0
b Tc21b 0
0
12
3-7-1-1能控标准形II型
I
A
n
a n1 n1
a1
a0
0 Cb 1 CAb
n1 CAn1b
13
3-7-2 单输出系统的能观标准形
0
1
b To11b
n
2
n1
15
x Ax bu x To1x y Cx
x Ax bu y Cx
C
T011
CA
CAn1
0 1 0 0
0
01
0
0
A
T 1 o1
ATo1
0
0
0
1
a0 a1 an2 an1
0
b
To11b
n2
1 an1 a2 a1 CAn1
1
0
T 1 02
0
1 0
a3
1
a2
CAn2
an1
CA
Tc*1 ( A* )n1b*
( A* )n2 b*
an1
b*
a2
1 a3
0 0 0 1 C
a1 a2 an1 1
T021 T Tc*1
由 To21To2 T ( To*2 )T ( To21 )T I 得
T *1 c1
ToT2
A
To21 ATo 2
( Tc*1
)T (
A*
)T
(
T *1 c1
)T
(
T *1 c1
A*Tc*1
)T
( A* )T
b To21b ( Tc*1 )T ( C* )T ( C*Tc*1 )T ( C * )T
C
CTo2
( b*
)T
(
T *1 c1
)T
( Tc*11b* )T ( b* )T
0
0
0
1
an1
0 0 b Tc11b 0 1
C CTc1 0 1 n1
W (s) C (sI A)1b
sn1 n1 sn
sn2 n2
1s
an1sn1 a1s a0
0
4
3-7-1-1能控标准形I型
x Ax bu y Cx
x Tc1x
x Ax bu y Cx
A~
Ro1 A Ro
AA~~1211
0 } n1
A~22
}(n
n1
)
}
}
~x
~x1
~x2
} n1 }(n
n1 )
不能观状态
n1 (n n1)
B~
Ro1B
BB~~12
} n1 }(n n1)
C~ CRo C~1 0
}
}
n1 (n n1)
31
~x A~~x B~u y C~~x
x A*x b*u y C*x
能控I型
1
0
T 1 02
0
an1 1
0
a2 a3
1
a1 CAn1
a2
CAn
2
Tc1 ( A* )n1b*
an1
CA
( A* )n2 b*
1
an1
b*
a2
1
a3
0 0 0 1 C
a1 a2 20 an1 1
C CTo2 0 0 1
0
1Leabharlann b Tc21b 2 n 1
19
x Ax bu y Cx
x To2x
对偶
A* AT b* CT C* bT
x A* x b*u y C*x
x Tc*1x
x Ax bu y Cx 能观II型
A* AT b* C T C* bT
Aˆ
Rc1 A Rc
Aˆ11
0
Aˆ12 Aˆ22
} n1 }(n
n1 )
}
}
n1 (n n1)
xˆ
xˆ1
xˆ2
} n1 }(n
n1 )
Bˆ
Rc1B
B1
0
} n1 }(n n1)
不能控状态
Cˆ CRc Cˆ1 Cˆ2
n1 (n n1)
}
}
24
xˆ Aˆ xˆ Bˆu y Cˆxˆ 能控状态
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
3-1 能控性的定义 3-2 线性定常系统的能控性判别 3-3 线性连续定常系统的能观性 3-4 离散时间系统的能控性与能观性 3-5 时变系统的能控性与能观性 3-6 能控性与能观性的对偶关系
3-7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3-8 线性系统的结构分解 3-9 传递函数矩阵的实现问题 3-10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系
21
3-8 线性系统的结构分解
1. 按能控性分解 2. 按能观性分解 3. 按能控性和能观性分解
22
3-8-1按能控性分解
x Ax Bu y Cx
x Rc xˆ
M B AB An1B
rankM n1 n
xˆ Aˆ xˆ Bˆu y Cˆxˆ
23
xˆ Aˆ xˆ Bˆu y Cˆxˆ 能控状态
0
0
能控II型
C * C*Tc*2 0 1 n1
16
x Ax bu y Cx
x To1x
x Ax bu y Cx 能观I型
C
T011
CA
CAn1
对偶
A* AT b* CT C* bT
x A* x b*u y C*x
x Tc*2 x
A ( A* )T b ( C * )T C ( b* )T
0 C An1b an1An2b a1b
n2 CAb an1b
n1 Cb
Tc1
1
an1 1
C C An1b An2b b
a2
a3
a1 a2 an1 1
10
0 1 0
0
0
01
0
0
A
T 1 c1
ATc1
0
0
0
1
a0 a1 an2 an1
an1b线性独立构成下列n个新的相互独立的矢量aeaeaeababaeaeaeae1233771111能控标准形能控标准形iiii型型cxbuax1333771111能控标准形能控标准形iiii型型cacabcb1433772单输出系统的能观标准形单输出系统的能观标准形能观标准型ii型1533772211能观标准形能观标准形ii型型cxbuaxbuaxcaca能控ii型17cxbuax对偶能控ii型cacacaca1933772222能观标准形能观标准形iiii型型cxbuax20cxbuaxcacacacacaca22338线性系统的结构分解线性系统的结构分解23338811按能控性分解按能控性分解cxbuax221211能控状态不能控状态25221211能控状态不能控状态26能控部分不能控部分27个线性无关的列任意保证rc非奇异28注意注意系统按能控性分解后其能控性不变rankmrankm29注意注意系统按能控性分解后传递函数阵不变sicr30338822按能观性分解按能观性分解cxbuaxcaca222111能观状态不能观状态32222111能观部分不能观部分个线性无关的行任意保证ro非奇异35注意注意系统按能观性分解后其能观性不变cacacrarcrcrranknrankn36注意注意系统按能观性分解后传递函数阵不变37338833按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解cxbuax444333242322211311444333242322211311444333242322211311444342413433323124232221141312114443424134333231242322211413121144433324232221131144434241343332312423222114131211323331333213121131131111323112111142bu变换矩阵r的求法逐步分解法step取状态变换43变换矩阵r的求法step44433344按能观性分解变换矩阵r的求法step0102010124231322211144433324232221131144433324231322211146变换矩阵r的另一种求法排列变换法cocococo将待分解的系统化成标准型即将系统的系统矩阵a化为对角型或约旦型并得到新的状态空间表达式step按能控性和能观性的法则判别系统各状态
x A*x b*u y C*x
能控II型
Tc*2 b* A*b* A*n1b*
17
C
T011
CA
CAn1
Tc*2 b* A*b* A*n1b*
T 1 01
T
CT
ATCT ( AT )n1CT
b* A*b* ( A* )n1b*
Tc*2
由 To1To11 T Tc*2ToT1 I
Tc1A Ae1 Ae2 Aen a0en (e1 a1en ) (en1 an1en )
0 1 0
0
0
01
0