带电小球对心碰撞固定一球

q2 d 2 ( d x) k m1 2 ( d x) dt2
令
d x x'
q2 d 2 x' k 2 m1 2 x' dt
q2 dv dx' dv k 2 m1 m1 v x' dx' dt dx'

x'
2R
1 m1 dx' 2 2 x' kq

v
v1 '
vdv
令
p a cos
dp a sin d
3 2
4
1 a sin dp 4 2 d 4a 2 2 4 (a p ) a sin
1 sin 3 d
3 cos 1 1 cos 1 2 4a d 4a ln(csc cot ) 2 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 确定积分上下限 上限： a 2 a cos x' 2 ax' csc sin 2 ax' 3 2
cos
ax'2 ax'
ax'2 cot 2
下限： x ' 2 R
cos aR 1 aR
1 a a cos R
sin 1 aR
csc aR
cot aR 1
代入上下限得碰撞后小球的类运动学方程为：
ax' ax'2 1 3 2 2 (aR 1)aR 2 ln (ax'2)ax' 2 ln a aR aR 1 2
k1 k 2 (d x) k1 csc sin k1 k1 k 2 (d x)
cot k 2 (d x) k1
下限
x0
有
1 k1 k2 k2 sec d
cos k2d k1 k 2 d
k1 k 2 d sec k2 d
k1 sin k1 k 2 d
cot k2d k1
k1 的类运动学方程：
k2 ( k2 d k1k2 d k1k2 (d x) k2 (d x) ) k1k2 ln
2 3 2 2 2 2 3 2
k1 k2 d k2 d k1 k2 (d x） k 2 (d x)
m1 2 2 a 2 v x' kq
v
k 2 q a m1 x'
dx ' dt
k 2 q a m1 x'

令
x'
1 2 a x'
2R
dx'
k t q dt m1 t '
4p 2 a p dx' (a p 2 ) 2 dp x'
1 4p 1 p (a p 2 )2 dp 4 (a p 2 )2 dp 省写积分上下限
t
2kq1q2 1 2kq1q2 2 v v1 m1 d x m1d
2kq1q2 k1 m1
k 2 v1
2
2kq1 q 2 m1 d
值得思考的是 积分过程中
那么方程成立时必须满足
令
m k2 sec
2
2kq1q2 k 2 v1 0 m1d
o
x
碰撞后两小球电性中和并平分剩余电荷 不妨设 q1 q2 q1 q 2 那么碰撞后各小球的带电量为 q 2

x
0
t 1 dx dt 0 1 k1 k2 dx
令
1 k1 k2 m dx
1 2k1m 1 m (m 2 k2 )2 dm 2k1 (m 2 k2 )2 dm
积分上下限省写
令 m k2 sec
2k1 1 k 2 tan
2 3
3 2
k 2 secd 2k1k 2
kq1q2
1 kq q v v 1 2 m1 m1 1 dx d 2 2
2
2
2kq1q2 1 2kq1q2 dx 2 v v1 m1 d x m1d dt 2kq1q2 2kq1q2 2 k2 v1 k1 m1d m1
dx 1 k1 k2 dt dx
代入碰撞前小球速度公式求得碰撞后小球初速
kq1q 2 2kq1q 2 2 v1 ' v1 m1 R m1d
1 1 m1 v 2 v1 '2 2( ) x' 2R kq 2 2
2 m1 2 m1 2 q1q2 1 2 1 2 v1 2 v 2 ( ) x' kq kq q R d R m1 2 q1q2 1 2 1 令 v1 2 ( ) a 2 kq q R d R
3 2
sec tan3 d
1 2k1 k 2 3 d csc d sin 3 cos 1 1 1 2 2k1 k 2 d d 2 sin 2 sin 2 sin
2k1k 2
带电小球对心碰撞（固定一球）
电气0902 李玮仑
v1
x R x
q1q2 d 2x k m1 2 2 (d x) dt
d
q1q2 dv dx dv k m1 m1 v 2 (d x) dx dt dx

x
0
v 1 kq1q2 dx m1vdv 2 v1 (d x)
kq 1 q 2 1 x v 2 v 0 m1 v 2 1 m1 d x
3 2
1 cos ln(csc cot ) 2 2 sin 2
代入积分上下限
k k (d x) sec 1 2 k 2 (d x)
上限
cos
1 k1 k2 k2 sec dx
k 2 (d x) k1 k 2 ( d x )
t ' k 2
3 2
k q（t t ' ) m1
2k1k 2 R 4k 2 R k 2
2
2