高中数学课件-2 2 从位移的合成到向量的加法(第1课时) 课件 (北师大必修4)

【规范解答】 1①BC AB AB BC AC;
②DB CD BC BC CD DB BD DB 0; ③AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AF FA 0.
(2)①由图知，OAFE为平行四边形，OA OE OF； ②由图知，OABC为平行四边形，AO AB AC； ③由图知，AEDB为平行四边形，AE AB AD.
【审题指导】本题关键是把实际问题转化为向量问题，再结 合向量的平行四边形法则作出草图，利用三角形中的边角关 系求相应数值.
【规范解答】(1)如图所示, A表D 示船速, 表A示B 水速,以AD,AB为邻边作 ABCD,则AC 表示船实际 航行的速度. ……………………………………5分
(2)在Rt△ABC中， AB 2，BC … …5，…………………7分
当所给的向量不共线时三角形法则和平行四边形法 则的实质是一样的，且当所给的向量共线时只能用向量的 三角形法则作图.
【例1】已知向量 a、b，求作向量 a b.
【审题指导】向量的位置关系已给出，要作出 a b, 其关键是依据向量的平行四边形法则和三角形法则求解.
【规范解答】作法： 方法一：(三角形法则)如图①所示，在平面内取一点O，作
2.在四边形ABCD中，AB AD AC, 则四边形ABCD是 ( )
(A)正方形
(B)长方形
(C)平行四边形
(D)菱形
【解析】选C. 在四边形ABCD中，AB AD 结AC合，向量的 平行四边形法则可知四边形ABCD是平行四边形.
3.化简 OB AO BA =______________. 【解析】原式 AO OB BA 0. 答案: 0
OA a，A则B b, OB a b. 方法二：(平行四边形法则)如图②所示，先在平面内取一 点O，作 OA a，AB然后b,以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB，则OC 即为所求向量 a、b的和向量 a b.
向量的加法运算 向量的加法运算
化简含有向量的关系式一般有两种方法： (1)利用几何方法通过作图实现化简； (2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾 相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有 时也需将一个向量拆分成两个或多个向量；
(3)由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加 法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行; (4)向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边 形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一 个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折 线起点到终点的向量,即 A0A1 A1A2 An1An A0An.
首尾相接的向量构成封闭的向量链时,其和向量 为 0.
【例2】(1)化简：
①BC AB;②DB CD BC; ③AB DF CD BC FA.
(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，
求下列向量：
①OA OE; ②AO AB; ③AE AB.
【审题指导】(1)先观察表示向量的有向线段是否首尾相连， 若否，就先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连， 然后利用向量加法的结合律求和;(2)可用向量加法的三角形 法则和平行四边形法则.
【规范解答】设 AB，B分C别表示飞机从A地按北偏东35° 的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km,
AB BC ；
则飞机飞行的路程指的是 AB BC AC.
两次飞行的位A移B 的B和C指 8的00是 800 1 600 km，
依题意，有
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,所以 AC Nhomakorabea2
2
AB BC 8002 8002 800 2 km.
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大
小为 800 2方km向，为北偏东80°.
【典例】(12分)长江两岸之间没有 大桥的地方,常常通过轮渡进行运 输.如图所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水 的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹 角表示,精确到1°).
下步骤：
向量加法的应用 解决与向量有关的实际应用题，应本着如
【例】如图所示，在2011日本福岛抗 震救灾中，一架飞机从A地按北偏东 35°的方向飞行800 km到达B地接到 受伤人员，然后又从B地按南偏东55° 的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及 两次位移的和. 【审题指导】
所以 AC
2
2
AB BC
22 52 29 5.4. …………………………………………9分
因为 tanCAB 5 ,
2
由计算器得∠CAB≈68°. ……………………………………11分
答：船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速
间的夹角约为68°. ………………………………………… 12分
4.下列等式正确的是_____________(填序号).
①a 0 a, ②a b b a, ③AB BA 0
【解析】结合向量加法的运算律可知①②正确,结合三角形法 则可知③不正确. 答案:①②
5.如图所示，已知向量 a、b、c，试求作向量 a b c.
【解析】如图所示,首先在平面内任取一
利用向量的加法法则作图 利用向量的加法法则作图的注意事项 (1)用三角形法则求和向量时,关键要抓住“首尾相接”， 并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点； (2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”. (3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则.
点O,作向量OA 接a,着作向量 则得向量 OB a然 c后. 作向量 则向量 OC a 为b 所 c求.
AB c, BC b,
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.向量 a 表示“向东走1 km”，b 表示“向南走1 km”，则 a b 表示( )
(A)向东南方向走 2 km (B)向东南方向走2 km (C)向东北方向走 2 km (D)向东北方向走2 km
【解析】选A.结合向量加法的几何意义可知“ a 表b 示向 东南方向走 2km”.