甘肃省兰州一中高三第一学期期中考试(数学文).doc

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甘肃省兰州一中高三第一学期期中考试(数学文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间1。

请将答案填在答题卡上。

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,在试卷上答案无效。

一、选择题:本大题共12 小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。

1.集合}1,lg |{>=∈=x x y R y A ,}2,1,1,2{--=B 则下列结论正确的是 ( )
A .}1,2{I --=
B A B .)0,(U )(-∞=B A
C R
C .),0(U +∞=B A
D .}1,2{I )(--=B A C R
2.函数)20(3)(≤<=x x f x
的反函数的定义域为
( )
A .),0(+∞
B .(0,1)
C .]9,1(
D .),9[+∞
3.已知函数2
3
)(bx ax x f +=是定义域为]2,1[a a -的奇函数,则b a +的值是 ( ) A .0 B .
3
1
C .1
D .-1
4.设函数)(x f y =的反函数为)(1
x f
y -=,且)12(-=x f y 图象过点)1,2
1
(,则)(1
x f
y -=图象必过

( )
A .)1,2
1
(
B .)2
1,1(
C .(1,0)
D .(0,1)
5.已知等差数列}{n a 中,公差为1,前7项的和7S =28,则5a 的值为 ( )
A .5
B .4
C .3
D .2 6.已知ααααcos sin cos sin ⋅=-,则α2sin 的值为
( )
A .12-
B .21-
C .222-
D .222-
7.不等式0)(2
>--=c x ax x f 的解集为}12|{<<-x x ,则函数)(x f y -=的图象为
( )
8.方程03lg =-+x x 的根所在的区间是
( )
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,4)
9.已知函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内,当3
π
=
x 时,y 取得最大值是2;当0=x 时,y 取得最小
值是—2,则此函数的表达式为
( )
A .)2
3sin(2π
-=x y B .)2
3sin(2π
+=x y
C .x y 23
sin
2=
D .)2
3sin(21π-=
x y 10.函数)(x f 在定义域R 内可导,若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时,0)('>x f ,设
)3(),2
1
(),0(f c f b f a ===。


( )
A .c b a <<
B .b a c <<
C .a b c <<
D .a c b <<
11.如果数列}{n a 满足⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,,,,,
1
23
121n n a a a a a a a 是首项为1,公比为2的等比数列,则100a 等于
( )
A .299
B .2100
C .25050
D .24950
12.设)(x f 是定义在R 上的函数,且)(x f ≠0,对任何实数R y x ∈,都有
)()()(y x f y f x f +=⋅,若)(),(,2
1
*1N n n f a a n ∈==
,则数列}{n a 前n 项和n S 满足的关系是
( )
A .
4
321<≤n S B .2
1
0≤
<n S C .
12
1
<≤n S D .2
1≤
n S
第Ⅱ卷(非选择题,共分)
注意事项: 本卷共10小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上,答在试卷上的答案无效。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共
13.若函数1),0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0,1],则a = 。

14.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知3213,2,S S S 成等差数列,则
2
3
a S = 。

15.定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项积都为同一个常数,那么该数列叫作等
积数列,这个常数为该数列的公积。

已知数列}{n x 为等积数列,且22=x ,公积为6,那么这个数列的前项的和为 。

16.已知函数)4
2sin(3)(π
+-=x x f 的图象,给出以下四个命题:
①该函数图象关于直线8

=
x 对称; ②该函数图象的一个对称中心是)0,8
7(π

③函数)(x f y =在区间]8
3,8[π
π上是减函数;
④)(x f y =可由x y 2sin 3-=向左平移8
π
个单位得到。

其中,真命题的编号是 。

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
已知)4
3,2(,102)4
cos(π
ππ
∈=
-
x x . (1)求x sin 的值; (2)求)3
cos(π
+
x 的值.
18.(本小题满分12分) 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰。


知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、5
1
,且各轮问题能否正确回答互不影响。

(注:本题结果用分数表示) (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率。

19.(本小题满分12分)
已知函数.2cos 3)4
(
sin 2)(2
x x x f -+=π
(1)求)(x f 的周期及单调递增区间; (2)若不等式2|)(|<-m x f 在]2
,4[π
π∈x 上恒成立,求实数m 的取值范围。

本小题满分12分)
若公比为)1(≠c c 的等比数列}{n a 的首项11=a 且满足)4,3(2
2
1⋅⋅⋅⋅=+=
--n a a a n n n
(1)求c 的值;
(2)求数列}{n na 的前n 项和n S 。

21.(本小题满分12分)
已知函数),,(12
131)(2
3为实数b a R x bx ax x x f ∈+++=
有极值,且在1-=x 处的切线与直线01=+-y x 平行。

(1)求实数a 的取值范围。

(2)是否存在实数a ,使得x x f =)('的两个根21,x x 满足1021<<<x x ,若存在,求实数a 的取值
范围;若不存在,请说明理由。

22.(本小题满分12分)
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足)2(02,2
1
11≥=+=
-n S S a a n n n . (1)求证:}1
{
n
S 是等差数列; (2)求数列}{n a 的通项公式; (3)求证:n
S S S n 41
21 (2)
2
22
1-≤+++.
参考答案
二、填空题:(每小题5分,共 13.2
14.
3
13
15.5023 16.①③
三、解答题:本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
解:(1)∵)4
3,2(
π
π∈x ,∴)2
,4(4π
ππ
∈-
x ,
于是10
2
7)4
sin(=
-
π
x .
…10分
4sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin π
πππππ-+-=+-=x x x x
……3分
.5
4
22102221027=⨯+⨯=
……5分 (2)由(1)得54sin =x ,又)43,2(ππ∈x ,∴5
3
cos -=x ……6分
∴3
sin
sin 3
cos
cos )3
cos(π
π
π
x x x -=+
……8分
.10
3
3423452153+-=⨯-⨯-=
…10分
18.(本小题满分12分) 解:(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的时间为)4,3,2,1(=i A i , 则54)(1=
A P ,5
1
)(,52)(,53)(432===A P A P A P , ……1分
∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率
.625
96
54525354)()()()()(432143214=⨯⨯⨯=
==A P A P A P A P A A A A P P ……6分
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 )()()()()()()(3212113212113A P A P A P A P A P A P A A A A A A P P ++=++=
.125
101535354525451=⨯⨯+⨯+=
或.125
1015253541)()()(13213=⨯⨯-
=⋅⋅-=A P A P A P P
12分
19.(本小题满分12分) 解:(1)∵x x x f 2cos 3)22
cos(1)(-+-=π
12cos 32sin +-=x x
1)3
2sin(2+-

x
……3分
∴)(x f 的周期π=T
……4分
当2
23
22

ππ
π
π+
≤-
≤-k x k ,
即)(12
512Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π时,函数)(x f 是增函数,
故函数)(x f 的单调递增区间是)](12
5,12[Z k k k ∈+-π
πππ
……6分
(2)∵]2,4[ππ∈x ,∴3
2326π
ππ≤-≤x
则3)(2≤≤x f
……8分
∵]2
,4[,2)(2)(2|)(|π
π∈+<<-⇔<-x x f m x f m x f
∴2)(max ->x f m 且2)(min +<x f m
∴41<<m ,即m 的取值范围是(1,4) …12分
本小题满分12分)
解:(1)由题设,当n 3≥时,2212122
2
12,,------+=+===n n n n n n n n a c
a a a ca a a c a
由题设条件可得2-n a ≠0,因此212
c
c +=
……2分
0122=--c c 。

解得1=c 或2
1
-=c ,其中1=c 不符合题意,舍去 ……4分
(2)当21-=c 时,数列}{n a 是一个公比为21
-的等比数列,
即)()2
1(*
1N n a n n ∈-=-,这时数列}{n na 的前n 项和
……6分
12)21
()21(3)21(21--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+=n n n S
① 上式两边同乘以2
1
-,得
n n n n n S )2
1()21)(1()21(2212112-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-=-- ②
①—②得n S )211(+.)21(2
11)21(1n n
n --+--=
…10分
∴)](2
23)1(4[91*
1
N n n S n n n ∈+--=- …12分
21.(本小题满分12分) 解:(1)b ax x x f ++=2
)('
……1分 因为)(x f 有极值,∴△(*)042
>-=b a
……2分
又在1-=x 处的切线与直线01=+-y x 平行,
∴11)1('=+-=-b a f
∴a b =代入(*)式得,042
>-a a ,∴4>a 或0<a
……6分
(2)假若存在实数a ,使x x f =)('的两个根1x 、2x 满足1021<<<x x ,
即0)1(2
=+-+a x a x 的两个根1x 、2x 满足1021<<<x x
令a x a x x g +-+=)1()(2
,则有:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧>=>=<-<>--=④
③②①△0
2)1(0)0(12
1004)1(2a g a g a a a
解之得2230-<<a
…11分
这与4>a 或0<a 产生矛盾
∴不存在实数a ,使是 x x f =)('的两个根满足1021<<<x x .
…12分
22.(本小题满分12分)
解:(1)证:2
1
11=
=a S ∴
21
1
=S ……1分
当n ≥2时,1--=n n n S S a 即112---=-n n n n S S S S ……2分

1
11--n n S S =2
故}1
{
n
S 是以2为首项,以2为公差的等差数列
……4分
(2)由(1)得n
S n n S n n 21,22)1(21==⋅-+= ……5分
当n ≥2时,12--=n n n S S a =)
1(21
--
n n
……6分
当1=n 时,211=a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥--==)
2()
1(21)
1(2
1n n n n a n
……8分
(3)证:2222
2
22
141...34124141...n
S S S n ⨯++⨯+⨯+=+++
)1
...31211(41222n
++++=

4
1
(n n )1(1...3212111-++⨯+⨯+) )111...31212111(41n n --++-+-+=
n 41
21-=. …12分。

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