(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．一元二次方程x 2＝2x 的根是（ ）．
A ．0
B ．2
C ．0和2
D ．0和﹣2 2．设a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．2
D ．4
4．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）
A ．()()3022023020=++⨯x x
B ．()()30203020++=⨯x x
C ．()()30220223020--=⨯⨯x x
D ．()()30220223020++=⨯⨯x x 5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．2690x x ++=
B ．2230x x -+=
C ．22x x -=
D ．23420x x -+= 6．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的
根的情况为（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．只有一个实数根 7．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）
A ．1000（1＋x ）2＝3390
B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390
C ．1000（1＋2x ）＝3390
D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝3390
8．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）
A ．()222x -=
B ．()222x +=
C ．()222x -=-
D ．()226x -= 9．若关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则m 的
值是（ ）
A ．－1或2
B ．1
C ．2
D ．1或2
10．在ABC 中，2BC =，AC =30A ∠=︒ ，则AB 的长为（ ）
A B ．2 C 4 D ．2或4 11．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短
10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．()10300x x -=
B ．()10300x x +=
C ．()2210300
x x -= D ．()2210300x x +=
12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定 二、填空题
13．设a ，b 分别是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是______． 14．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．下列说法：①若a +c ＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a +b +c ＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b 2﹣6ac ＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为2和3，则
1211,23
x x ==是方cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）． 15．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．
16．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．
17．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．
18．已知m 为一元二次方程x²-3x-2020=0的一个根，则代数式2m²-6m+2的值为___________
19．将一元二次方程2310x x -+=变形为()2x h k +=的形式为________． 20．对于实数a b 、，定义新运算“⊗”：2a b a ab ⊗=-，如2424428⊗=-⨯=．若44x ⊗=-，则实数x 的值是_______．
三、解答题
21．已知关于x 的一元二次方程2(3)890a x x --+=．
（1）若方程的一个根为1x =-，求a 的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值：
（3）请为a 选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
22．已知关于x 的一元二次方程()22
230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；
（2）若()()111αβ++=，求m 的值．
23．解方程∶
（1）213(1)x x -=-
（2）241x x -=-
24．已知关于x 的一元二次方程2410x x m -++=有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且
12
11+x x =3，求m 的值． 25．解方程：
（1）2210x x +-=； （2）3(1)2(1)x x x -=-．
26．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．
【详解】
移项得，x 2-2x ＝0，
提公因式得，x （x-2）＝0，
解得，x 1＝0，x 2＝2，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
2．C
解析：C
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系，得到1a b +=-，然后求出22022a a +=，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，
∴1a b +=-，22022a a +=，
∴222()()a a b a a a b ++=+++
2022(1)=+-
2021=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
3．B
解析：B
【分析】
设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．
【详解】
解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x
12122,,x x x x a ∴+=-=
关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，
()()1211x x ∴--＜0,
()12121x x x x ∴-++＜0,
()21a ∴--+＜0,
a ∴＜3,-
4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，
故选：.B
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C
解析：C
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；
B.2230
-+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；x x
C.22
-=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题x x
意；
D.2
-+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题x x
3420
意．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
6．A
解析：A
【分析】
根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，
∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．7．B
解析：B
【分析】
月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
8．A
解析：A
【分析】
先把方程变形为x 2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．
【详解】
解：x 2-4x=-2，
x 2-4x+4=2，
（x-2）2=2．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
9．C
解析：C
【分析】
关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m 的值即可．
【详解】
关于x 的一元二次方程()()2
12110m x m x ---+=有两个相等的实数根， 则()()22141010
m m m ⎧⎡⎤∆=----=⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩， 解得：11m =（舍去），22m =
∴m=2，
故选：C ．
【点睛】
本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
利用分类讨论的思想，①当AC 边为长边时，作BD AC ⊥交AC 于点D ，设BD=x ，由题意可求出AD 、DC 长，再根据勾股定理可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即可求出AB 长；②当AB 边为长边时，作CE AB ⊥交AB 于点E ，由题意可求出CE 、AE 长，再根据勾股定理可求出BE 长，从而得到AB 长．
【详解】
分类讨论：①当AC 边为长边时，作BD AC ⊥交AC 于点D ，设BD=x ，
∵30A ∠=︒， ∴33AD BD x ==， ∴233DC AC AD x =-=-，
在Rt BCD 中，222BC BD DC =+，即2222(233)x x =+-，
整理得：(1)(2)0x x --=．
解得11x =，2
2x =． 当22x =时，23230DC AC AD =-=-=不合题意，所以此解舍去．
∴2212AB BD ==⨯=．
②当AB 边为长边时，作CE AB ⊥交AB 于点E ，
∵30A ∠=︒，
∴33233AE AC ==⨯=，1123322CE AC ==⨯=． 在Rt BCE 中，22222(3)1BE BC CE =-=-=，
∴314AB AE BE =+=+=．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ，根据面积为300，即可列出方程．
【详解】
解：因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ；
则根据矩形的面积公式：x （x-10）=300；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．
12．A
解析：A
首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．
【详解】
解：
3b c -=，
3c b ∴=-， 220x bx c -+=，
∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-
28(3)b b =--
2824b b =-+
2(4)80b =-+>，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．
二、填空题
13．2021【分析】根据题意得a2+a-2022=0即a2+a=2022利用根与系数的关系得到a+b=-1代入整理后的代数式求值【详解】解：ab 分别是方程x2+x-2022=0的两个实数根∴a+b=-1
解析：2021
【分析】
根据题意得a 2+a-2022=0，即a 2+a=2022，利用根与系数的关系得到a+b=-1，代入整理后的代数式求值．
【详解】
解：a ，b 分别是方程x 2+x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=-1，a 2+a-2022=0，
∴a 2+a=2022，
故a 2+2a+b=a 2+a+（a+b ）=2022-1=2021，
故答案为：2021．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程
20ax bx c ++=(0a ≠) 的根与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a
=． 14．①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式根与系数的关系解的意义求解【详解】解：①因为a+c ＝0a≠0所以ac 异号所以△＝b2﹣4ac ＞0所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时ax2+bx+
解析：①②④
根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．
【详解】
解：①因为a +c ＝0，a ≠0，所以a 、c 异号，所以△＝b 2﹣4ac ＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；
②∵x=1时，ax 2+bx +c ＝a+b+c ，
∴a +b +c ＝0时，一定有一个根是1，故②正确；
③根据b 2﹣6ac ＞0，不能得到b 2﹣4ac ＞0，从而不能证得方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵2和3是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根， ∴235,236b c a a -
=+==⨯=， ∴51,66b a c c -
==， 而115111,236236b a c c
+==-⨯==， ∴121123
x x =
=，是方和cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，故④正确， ∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④，
【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．
15．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴
解析：1m >-且0m ≠
【分析】
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．
【详解】
解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4+4m ＞0且m≠0，
∴m>-1，且m≠0，
故答案为：m>-1且m≠0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考
解析：12
【分析】
可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可．
【详解】
解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、，
则1224x x =，
一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，
∴菱形的面积=1212
x x =1242⨯=12． 故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．
17．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵
解析：111<<m
【分析】
先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．
【详解】
解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，
∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，
∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，
∴x 1−x 2＝1，
又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，
∴1＜m ＜11．
故答案为：1＜m ＜11．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．
18．4042【分析】由题意可得m2－3m=2020进而可得2m2－6m=4040然后整体代入所求式子计算即可【详解】解：∵m 为一元二次方程x2－3x －2020=0的
一个根∴m2－3m －2020=0∴m2
解析：4042
【分析】
由题意可得m 2－3m=2020，进而可得2m 2－6m=4040，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵m 为一元二次方程x 2－3x －2020=0的一个根，
∴m 2－3m －2020=0，
∴m 2－3m=2020，
∴2m 2－6m=4040，
∴2m 2－6m+2=4040+2=4042．
故答案为：4042．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解题的关键．
19．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】解：移项得配方得即故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程利用此方法解方程时首先将二次项系数 解析：2
3524x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上2
32⎛⎫ ⎪⎝⎭
，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【详解】
解：2310x x -+=
移项得 231x x -=-， 配方得22
2333122x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 2
3524x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 故答案为：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 20．【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可【详解】解：
由题意可知：∴即解得：x ＝2故答案为：2【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法正确理解新运算法则熟练掌握解一元二次方程的方 解析：2
【分析】
根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可．
【详解】
解：由题意可知：2a b a ab ⊗=-，
∴2444x x x ⊗=-=-，
即244x x -=-，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
三、解答题
21．（1）-14；（2）1或2或4；（3）a=2，两根为-9或1
【分析】
（1）把1x =-代入方程求出a 即可．
（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．
（3）利用（2）中结论，一一判断即可解决问题．
【详解】
解：（1）方程的一个根为1x =-，
3890a ∴-++=，
14a ∴=-．
（2）由题意△0且3a ≠
6436(3)0a ∴--， 解得439
a ， a 是正整数，
1a 或2或4．
（3）当2a =时，方程为2890x x +-=，
解得9x =-或1．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（1）3m 4
≥-；（2）m 3=
【分析】
（1）利用判别式得到()2
22340m m =+-≥，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．
【详解】
（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4
≥-， ∴m 的取值范围是3m 4
≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，
∵()()111αβ++=，
∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=，
解得：1231m m ==-，(舍去)，
∴m 的值为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a =．
23．（1）11x =，2
2x =；（2）12x =22x =
【分析】
（1）移项后，运用因式分解法求解即可；
（2）运用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-
(1)(1)3(1)0x x x +---=
(1)(13)0x x -+-=
(1)(2)0x x --=
∴10x -=或20x -=
11x ∴=，22x =；
（2）241x x -=-
24414x x -+=-+
2(x 2)3-=
2x ∴-=
12x ∴=+
22x =．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
24．（1）3；（2）
13． 【分析】
（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可； （2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．
【详解】
解：（1）∵1是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的一个根，
∴设α是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根是3；
（2）∵12,x x 是方程2410x x m -++=的两个实数根，
∴=16-4(1)0m ∆+≥，
∴3m ≤，
又∵12
11+x x =3 而124x x +=且121x x m =+， ∴1211+x x =1212
431x x x x m +==+， ∴13
m =＜3， ∴m 的值是
13
． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．
25．（1
）11x =-
21x =-；（2）11x =，223
x =
【分析】
（1）配方法求解可得；
（2）因式分解法求解可得；
【详解】
（1）解：2212x x ++=
2(1)2x +=
1x +=
11x ∴=-+21x =-．
（2）解：3(1)2(1)0x x x ---=
(1)(32)0x x --=
10x -=；或320x -=
11x ∴=，223
x =． 【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
26．（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】
（1）根据分的判别式求解即可；
（2）根据公式法计算即可；
【详解】
解：()1根据题意得：
()2()2421240m m ∆=-=-->-，
解得3m <；
()2当1m =时，原方程为2210x x --=，
()22(41)28--∆=⨯-=，
∴x =，
解得1211x x ==；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键．。