勾股定理的应用中蕴含的数学思想

勾股定理的应用中蕴含的数学思想
摘要：掌握基本数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆。

本文阐述了勾股
定理应用中所蕴含的四种数学思想，从而使复杂的问题简单化。

关键词：勾股定理；数学思维；数形结合
作者简介：孙洪强，任教于贵州省遵义县第山盆中学。

在教学中，我们必须充分重视数学思维的培养，并注意各种思维方式的应用，通过具体的，解决数学问题的独立探索和专研，领会数学思维的规律和方法，提
高数学思维的严密性、灵活性等思维品质，达到举一反三、概括迁移、融会贯通
的效果。

勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的
已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化
为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，
抽象问题具体化勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常
常涉及到一些常用的数学思想。

下面从今年的中考试题择例说明：
一、数形结合的思想
数形结合思想即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化
为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，
抽象问题具体化
∴BC=BF+FH=PF+FH+PH=8+10+6=24。

选C。

二、方程思想
方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用
方程思想求解的题目随处可见。

例2、（长沙市）如图2，Rt△ABC中，，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E。

（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S。

解：第（1）问，与勾股定理无关，在这里不解答。

在解答（2）时可以直接
利用（1）的有关结论。

三、分类思想
数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地
分别加以讨论，从而获得完整的问题的解答。

数学里的许多问题，只有用分类讨
论的思想才能保证解答完整准确，做到“不漏不重”。

例3、（义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程
的长。

（1）如图3，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；
（2）如图4，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四
棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；
（3）如图5，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图6所示，且
∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A。

四、转化的思想
原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味
着把所要解的问题转化为已经解过的问题。

”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

可见，转化是解数学问题的一种重要方法。

数学解
题的过程实际就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经
熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答。

例4、（绵阳市）将一块弧长为?的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）
解：解答本题的关键是要把空间图形的问题设法转化为平面图形的问题。

圆
锥的母线长为弧长所在圆的半径，而弧长等于圆锥底面圆周长，在圆锥中构造
Rt△，求得所以，选B。

原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味
着把所要解的问题转化为已经解过的问题。

”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

可见，转化是解数学问题的一种重要方法。

数学解
题的过程实际就是转化的过程。

换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经
熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答。

在数学教学中，如果我们加强了数学基本思想方法的教学，并注重思维训练，可优化学生的思维，有助于学生能力的迁移，更能提高数学的教学质量。

数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容。

数学
思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的。

数学思想方法是数学
的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。

教师在平时教
学中要让学生在学习中注意总结提炼，相互讨论，在解题的同时掌握有关的数学
思想方法。

参考文献：
[1]孔企平，张维忠，黄荣金.数学新课程与数学学习[M].北京：北京高等教育出版社，2003.
[2]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[3]林崇德.学习与发展[M].北京：北京师范大学出版社，1997.
作者单位：贵州省遵义县第山盆中学
邮政编码：563100
Mathematics Thought in the Application of Pythagoras' Theorem
SUN Hongqiang
Abstract: Grasping basic mathematics thought and method can make it easy to understand and memorize mathematics. This paper expounds four mathematics thoughts implied in the application of Pythagoras’theorem, thus to make complicated problems more simple.
Key words: Pythagoras’theorem; mathematics thinking; symbolic-graphic combination。