配套K12【高考数学备战专题】高考数学(理)二轮专题练习【专题1】(1)集合与常用逻辑用语(含答案)

高考数学（理）二轮专题练习
第1讲集合与常用逻辑用语
考情解读 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．
1．集合的概念、关系
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．
(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.
2．集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．
重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；
A∪B＝A⇔B⊆A.
3．四种命题及其关系
四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命
题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．
4．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．
5．简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p 为真假对立的命题．
(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
6．全称量词与存在量词
“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.
热点一集合的关系及运算
例1(1)(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1} D．{－1,0}
(2)(2013·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．
答案(1)A(2)B
解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.
(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.
思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则()
A．M⊆N B．N＝M
C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4)
(2)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9
答案(1)C(2)C
解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．
－2，－1，0，1，2.
(2)x－y∈{}
热点二四种命题与充要条件
例2(1)(2014·天津)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(2)(2014·江西)下列叙述中正确的是()
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．
答案(1)C(2)D
解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；
因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．
(1)命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．
(2)“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)
答案 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”．
(2)由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M >N ；当M >N 时，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义．故不能推出log 3M >log 3N ，所以“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的充分不必要条件． 热点三 逻辑联结词、量词
例3 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(綈q )是真命题
D ．命题p ∨(綈q )是假命题
(2)(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B
D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B
思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词． 答案 (1)C (2)D
解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π
2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命
题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C. (2)命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命
题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假
D ．“p ∧q ”为真
(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，2
0x ＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命
题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2
C．a>1 D．－2≤a≤1
答案(1)C(2)C
解析(1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2R sin C>2R sin B(R为△ABC外接圆半径)，
所以C>B⇔sin C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．
若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b
ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.
x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，2
实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.
1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．
2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．
3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．
4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.
真题感悟
1．(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A等于()
A．∅B．{2}
C．{5} D．{2,5}
答案 B
解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，
所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．
2．(2014·重庆)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；
q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q
答案 D
解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q 、綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，故选D. 押题精练
1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)
答案 B
解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B.
2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1
x 的单调递增
区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题
答案 D
解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1
x 的
单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.
3．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A ．a <0
B ．0<a <1
2
C.1
2
<a <1 D ．a ≤0或a >1
答案 A
解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.
所以函数f (x )有且只有一个零点的充分必要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <1
2时，函数
y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，此时0<a <1
2是函数f (x )有且只有一个零
点的既不充分也不必要条件，应排除B ；同理，可排除C ，应选A.
(推荐时间：40分钟)
一、选择题
1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)
答案 B
解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．故选B.
2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D
解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D.
3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
答案 C
解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知
题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．
4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，
a >1或⎩⎪⎨⎪⎧
0<m <1，0<a <1，
所以前者是后者的必要不充分条件，故选B.
5．已知命题p ：∃x ∈(0，π
2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )
A ．∃x ∈(0，π
2)，使得cos x >x
B ．∀x ∈(0，π
2)，使得cos x ≥x
C ．∀x ∈(0，π
2)，使得cos x >x
D ．∀x ∈(0，π
2)，使得cos x ≤x
答案 C
解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是 “cos x >x ”，故选C.
6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝1
2”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝1
2时，也只有
A ＝60°，因此，是充分必要条件．
7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2
－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )
A ．{x |x ≤0}
B ．{x |2≤x ≤4}
C ．{x |0≤x <2或x >4}
D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C
解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．
8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
答案 C
解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0，y ＝x 2
＋1
消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点． 即A ∩B 有两个元素．故选C.
9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对
称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真
答案 C
解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．
10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1] 答案 A
解析 ∵p ∨q 为假命题， ∴p 和q 都是假命题．
由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①
由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，
得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.故选A. 二、填空题
11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________. 答案 (1，＋∞) 解析 由x (x －1)≥0 可得x ≤0或x ≥1，
则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)； 又由x －1>0可得x >1， 则Q ＝(1，＋∞)， 所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．
12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b
a ＝
________. 答案 －4
解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}， 可得B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则a ＝－1，b ＝4，故b
a
＝－4.
13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________． 答案 1
解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.
14．给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；
②“∃x 0∈R ，使得2
0x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；
③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；
④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 答案 ①④
解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 对②，命题“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定应是：
“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；
对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，
所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；
对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．
15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．
答案 ②④
解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12
)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．
对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．
对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14
)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．
对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。