数学_2011年上海市某校高考数学三模试卷(文理合卷)_(含答案)

2011年上海市某校高考数学三模试卷（文理合卷）
一、填空题：（本大题共16小题，每小题4分，共64分.） 1. 复数
1−i 1−i 3
的虚部是________．
2. 已知集合A ={y|y =log 2(2−x 2)}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =________．
3. 函数y =2sin(π
6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是________．
4. 若(√x +√x
3)2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为________．
5. 正项等比数列中
1
a 2a 4
+
2
a 4
2+
1a 4a 6
=81，则
1a 3
+
1a 5
=________．
6. （文）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧
视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是________．
7. （坐标系与参数方程选做题） 已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+π
4)=
√2
2，则点A(2,7π4
)到这条直线的距离为________．
8. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a =2√3，c =2，且|sinC sinB
0b −2c cosA 0
1
|=0，求△ABC 的面积． 9. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB // 面MNP 的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．
10. 设a 、b 、c 是单位向量，a →
⋅b →
=0，则(a →
−c →
)(b →
−c →
)的最小值为________． 11. 将一个半圆面围成圆锥的侧面，则其任意两条母线间夹角的最大值为________． 12. 以抛物线y 2=8x 的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y =±√3x 为渐近线的双曲线方程是________．
13. 给出下列四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；
③当x >0且x ≠1时，有lnx +
1lnx
≥2；
④函数y =f(1+x)与函数y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称； 其中正确的命题序号为________（请把所有正确命题的序号都填上）．
14. （理）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则Eξ的值________． 15. （文）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是________．
16. 已知函数f(x)={x +1,x ≤0,
log 2x ，x >0，则函数y =f[f(x)]+1的零点个数是________ 个．
二、选择题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
17. 已知点P(x, y)的坐标满足条件{x ≥1
y ≥x x −2y +3≥0，那么点P 到直线3x −4y −9=0的距离的最小值为（ ） A 14
5 B 6
5 C 2 D 1
18. 在曲线{x =sin2θ
y =cosθ+sinθ(θ为参数)上的点是（ ）
A (1
2
，−√2) B (−3
4
，1
2
) C (2,√3) D (1,√3)
19.
函数y =sin(πx +φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan∠APB =( )
A 10
B 8
C 8
7
D 4
7
20. 若椭圆C 1:x 2a 1
2+y 2b 1
2=1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2:x 2a 2
2+y 2
b 2
2=1(a 2>b 2>0)的焦点相同且
a 1>a 2．给出如下四个结论：
①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 1a 2
>b
1b 2
；
③a 12−a 22=b 12−b 22； ④a 1−a 2<b 1−b 2．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ②③④
B ①③④
C ①②④
D ①②③
21. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150, 155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )
A i <6
B i <7
C i <8
D i <9
三、解答题：本大题共6大题；共92分。

22. 已知复数z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i(λ,m,x ∈R,)，且z 1=z 2． （1）若λ=0且0<x <π，求x 的值；
（2）设λ=f(x)，已知当x =α时，λ=1
2，试求cos(4α+π
3)的值．
23.
如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，
AB =2AD =2，点E 为AB 的中点． （1）求证：BD 1 // 平面A 1DE ； （2）求证：D 1E ⊥A 1D ； （3）（文）求D 1E 与平面A 1DE 所成角的大小．
24.
如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，
AB =2AD =2，点E 为AB 的中点． （1）求证：BD 1 // 平面A 1DE ；
（2）求证：D1E⊥A1D；
（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1−EC−D的大小为π
6
？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
25. 已知函数f(x)=4x+1
2x
和函数g(x)=2x−2−x
（1）判断ℎ(x)=f(x)
g(x)
的奇偶性，并判断和证明y=lgℎ(x)在定义域上的单调性；
（2）若函数ℎ(x)=f(x)+λg(x)是R上的增函数，求实数λ的取值范围．
26. 已知数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n>0，且a13+a23+...+a n3＝(a1+
a2+...+a n)2．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）设数列{1
a n a n+2}的前n项和为S n，不等式S n>1
3
log a(1−a)对任意的正整数n恒成立，
求实数a的取值范围．
27. 如图，已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)过点．(1,√2
2
)，离心
率为√2
2
，左、右焦点分别为F1、F2．点p为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．①证明：1
k1−3
k2
=2；②问直线l上是否存在
点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+ k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2011年上海市某校高考数学三模试卷（文理合卷）答案
1. −1
2. [−1, 1]
3. [π
3, 5π6
]
4. 210
5. 9
6. 5π
3
cm3
7. √2
2
8. 解：由已知|sinC sinB
0b
−2c cosA 0
1
|=0可化得：bsinC −2csinBcosA =0， 即sinBsinC −2sinBsinCcosA =0， ∴ cosA =12
，故A =π3
． 由a
sinA =c
sinC ，得sinC =1
2， ∴ C =π
6，B =π
2． 故S △ABC =12ac =2√3． 9. ①③ 10. 1−√2 11. 60∘ 12. x 2−y 23=1
13. ② 14. 4
3 15. 16
16. 4 17. C 18. B 19. B 20. B 21. C 22. 解：（1）∵ z 1=z 2 ∴ {sin2x =m λ=m −√3cos2x
∴ λ=sin2x −√3cos2x
若λ=0则sin2x −√3cos2x =0得tan2x =√3 ∵ 0<x <π， ∴ 0<2x <2π ∴ 2x =π
3，或2x =4π3
∴ x =π
6或2π3
（2）∵ λ=f(x)=sin2x −√3cos2x =2(1
2sin2x −√3
2
cos2x) =2(sin2xcos π3−cos2xsin π3)=2sin(2x −π
3
)
∵ 当x=α时，λ=1
2
∴ 2sin(2α−π
3)=1
2
，sin(2α−π
3
)=1
4
，sin(π
3
−2α)=−1
4
∵ cos(4α+π
3)=cos2(2α+π
6
)=2cos2(2α+π
6
)−1=2sin2(π
3
−2α)−1−−
∴ cos(4α+π
3)=2×(−1
4
)2−1=−7
8
．
23. 证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴ EO为△ABD1的中位线
∴ EO // BD1…
又∵ BD1⊄平面A1DE，OE⊂平面A1DE
∴ BD1 // 平面A1DE…
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴ AB⊥A1D，
∵ 正方形AA1D1D
∴ A1D⊥AD1，
AB∩AD1=A
∴ A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E
∴ A1D⊥D1E…．
（3）（文科）∵ S△A
1D1D =1
2
，AE=1，S△A
1DE
=√3
2
∴ 1
3×1
2
×1=1
3
×√3
2
×ℎ
∴ ℎ=√3
3
∵ D1E=√3
设D1E与平面A1DE所成角为α
∴ sinα=1
3
∴ α=arcsin1
3
…
24. 证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴ EO为△ABD1的中位线∴ EO // BD1…
又∵ EO⊂平面A1DE∴ BD1 // 平面A1DE…
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1
∴ AE⊥A1D，
又∵ A1D⊥AD1，AE∩AD1=A
∴ A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E
∴ A 1D ⊥D 1E…．
解：
（3）由题意可得：D 1D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0, 0, 0)，C(0, 2, 0)，A 1(1, 0, 1)，D 1(0, 0, 1)，
设E(1, y 0, 0)(0≤y 0≤2)，
∵ EC →
=(−1,2−y 0,0)，D 1C →
=(0,2,−1)
设平面D 1EC 的法向量为n 1
→
=
(x, y, z)则{n 1
→
⋅D 1C →
=0˙，得 {−x +y(2−y 0)=0
2y −z =0
取n 1→
=(2−y 0, 1, 2)是平面D 1EC 的一个法向量，而平面ECD 的一个法向量为n 2→
=(0, 0, 1)，要使二面角D 1−EC −D 的大小为π
6，
而cos π
6=|cos <n 1→，n 2
→>|=
|n 1→|
⋅|n 2→
|˙
=
2
√(2−y 0)2+12+2
2
=√3
2
解得：y 0=2−
√3
3
(0≤y 0≤2)，当AE =2−
√3
3
时，二面角D 1−EC −D 的大小为π
6
…
25. 解：（1）f(x)=4x +1
2x
=2x +
12x
，g(x)=2x −12x
∵ ℎ(x)=f(x)
g(x)=
2x +
1
2x 2x −12
x
=4x +1
4x −1
∴ ℎ(−x)=4−x +14−x −1=1+4x
1−4x =−ℎ(x) ∴ 函数ℎ(x)为奇函数 ℎ(x)=
4x +14x −1
=1+
2
4x −1
由ℎ(x)>0可得x >0
设0<x 1<x 2，则ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=1+
24x 1−1
−1−
24x 2−1
=
2(4x 2−4x 1)
(4x 2−1)(4x 1−1)
∵ 0<x 1<x 2，则4x 2−4x 1>0，4x 2−1>0，4x 1−1>0 ∴ ℎ(x 1)>ℎ(x 2)，lgℎ(x 1)>lgℎ(x 2) ∴ y 1>y 2
函数y =lgℎ(x)在(0, +∞)上递减…
（2）∵ 函数ℎ(x)=f(x)+λg(x)是R 上的增函数
∴ ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=(2x 1−2x 2)(λ+1+λ−1
2x 1+x 2)<0，λ+1+λ−1
2x 1+x 2>0，令t =1
2x 1+x 2>0 ∴ λ>1−2
t+1∈(−1,1)恒成立
∴ λ≥1…
26. 当n ＝1时，有a 13＝a 12
， 由于a n >0，所以a 1＝1．
当n ＝2时，有a 13+a 23
＝(a 1+a 2)2，
将a 1＝1代入上式，由于a n >0，所以a 2＝2．
由于a 13+a 23+...+a n 3
＝(a 1+a 2+...+a n )2，①
则有a 13+a 23+...+a n 3
+a n+13＝(a 1+a 2+...+a n +a n+1)2．②
②-①，得a n+13
＝(a 1+a 2+...+a n +a n+1)2−(a 1+a 2+...+a n )2，
由于a n >0，所以a n+12
＝2(a 1+a 2+...+a n )+a n+1．③
同样有a n 2
＝2(a 1+a 2+...+a n−1)+a n (n ≥2)，④
③-④，得a n+12−a n 2
＝a n+1+a n ． 所以a n+1−a n ＝1．
由于a 2−a 1＝1，即当n ≥1时都有a n+1−a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n ．
由（2）知a n ＝n ，则1
a n a n+2
=1n(n+2)=12(1n −1
n+2)． 所以S n =1a 1a 3+
1a 2a 4+
1a 3a 5++
1a n−1a n+1
+
1a n a n+2=12
(1−13
)+12(12
−14
)+12(13
−1
5
)+
+1
2(
1n−1
−
1
n+1
)+12(1
n −
1
n+2
)=1
2
(1+12
−
1
n+1
−
1
n+2
)=34
−12(
1
n+1
+
1
n+2
)．
∵ S n+1−S n =
1
(n+1)(n+3)
>0，
∴ 数列{S n }单调递增． 所以(S n )min =S 1=1
3．
要使不等式S n >13log a (1−a)对任意正整数n 恒成立，只要13>1
3log a (1−a)． ∵ 1−a >0，∴ 0<a <1． ∴ 1−a >a ，即0<a <1
2．
所以，实数a 的取值范围是(0,1
2
)．
27. 解：（1）∵ 椭圆过点(1,
√2
2
)，e =
√2
2
， ∴ a 2=2b 2，a =√2，b =c =1， 故所求椭圆方程为x 2
2+y 2=1；
（2）①由于F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，PF 1，PF 2的斜率分别是k 1，k 2，且点P 不在x 轴上，
所以k 1≠k 2，k 1≠0，k 2≠0．
又直线PF 1、PF 2的方程分别为y =k 1(x +1)，y =k 2(x −1)，
联立方程解得{x =k 1+k
2
k 2−k 1
y =2k 1k 2k 2
−k
1
，
所以P(k 1+k
2k 2
−k 1
，2k 1k 2
k
2−k 1
)，由于点P 在直线x +y =2上，
所以
k 1+k 2k 2−k 1
+
2k 1k 2k 2−k 1
=2，即2k 1k 2+3k 1−k 2=0，
故1
k 1
−3
k 2
=2
②设A(x A , y A )，B(x B , y B )，C(x C , y C )，D(x D , y D )，联立直线PF 1和椭圆的方程得{y =k 1(x +1)x 2+2y 2=2
， 化简得(2k 12+1)x 2+4k 12x +2k 12
−2=0，
因此x A +x B =−4k 122k 1
2+1，x A x B =2k 12−2
2k 1
2+1，
所以k OA +k OB =
y A x A
+
y B x B
=
k 1(x A +1)
x A +
k 1(x B +1)
x B
=2k 1+k 1
x A +x B x A x B
=k 1(2−
4k 1
22k 1
2−2)=−
2k 1
k 1
2−1，
同理可得：k OC +k OD =−
2k 2
k 2
2−1，
故由k OA +k OB +k OC +k OD =0得k 1+k 2=0或k 1k 2=1，
当k 1+k 2=0时，由（1）的结论可得k 2=−2，解得P 点的坐标为(0, 2) 当k 1k 2=1时，由（1）的结论可得k 2=3或k 2=−1（舍去）， 此时直线CD 的方程为y =3(x −1)与x +y =2联立得x =5
4，y =3
4， 所以P(5
4，3
4)，
综上所述，满足条件的点P 的坐标分别为P(5
4，3
4)，P(0, 2)．。