高考数学一轮复习导数及其应用多选题知识点及练习题附解析

高考数学一轮复习导数及其应用多选题知识点及练习题附解析
一、导数及其应用多选题
1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都
有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()3
2
1f x x x =-+
B ．()21x
f x e x =--
C ．()3ln 1,0
()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩
D ．4()sin f x x x =
【答案】BC 【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】
解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；
0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()3
2
1f x x x =-+，()2
132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由
()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得2
3
x ≥
，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；
B 中，()21x
f x e x =--，()21x
f x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0
x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21x
f x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，
令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，
∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩，当0x <时，31
()01
f x x =
<-'，当0x >时，
3()20f x '=>，符合条件②，
∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1
()201
F x x '=
-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，
∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；
D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，
而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
2．函数ln ()x
f x x
=
，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：2
1ln ()x
f x x -'= 令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
3
2ln 2
(2)
ln 2,(3)ln
32
f f ==
=
6
6
111
133
22
323
2(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln f f e ππ
∴<<<∴>，故：B 正确 C ．
()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==
不妨设120x e x <<<
要证：2
12x x e <，即要证：2
2
1222
,()e e x x e e
f x x x
<
>∴<在(0,)e 单调递增，∴只
需证：()212e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭
，则2211()(ln 1)g x x e x '
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
当x e >时，2211
ln 1,
()0()x g x g x e x
'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
这与①矛盾，故C 错
D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5
k k
x k y k ==
== 25
2ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k ∴=
= 11
5
2
ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111
15
32
22525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ln 2ln 525
02525ln 2ln 5x y ∴
>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
3．对于函数()2
ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）
A ．该函数定有2个极值
B ．该函数的极小值一定不大于2
C ．该函数一定存在零点
D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点
【答案】BD 【分析】
求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】
函数定义域是(0,)+∞，
由已知2121
()2x ax f x x a x x
+-'=+-=，
2
80a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12
102
x x =-<，12,x x 一正一负．
由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，
()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．22
2210x ax +-=，2
2
2
12x a x -=，
2
2222()ln 1f x x ax x a =+--+＝
2
2
22
22
2
22222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，
设2
1()2ln 2g x x x x x =-+--
+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x
'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，
所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；
()f x 的极小值也是最小值为2
22222
1
()2ln 2f x x x x x =-+--
+，
例如当23x =时，17
3
a =-
，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =-
-++=-+>（217()3
e >， 所以()
f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．
4．函数()()3
2
0ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正
确的是（ ） A ．230b ac ->
B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减
C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点
D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=
【答案】ACD 【分析】
利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称，可判断D 选项的正误. 【详解】
()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.
对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()2
3200ax bx c a ++=≠有两个不等的实
根，
则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；
对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间
()12,x x 上单调递增，B 选项错误；
对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.
所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，
此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下
图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，
此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223b
x x a +=-
，123c x x a
=， ()()()()()()()()3
2
3
2
f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦
()()()()()(322322
322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣
()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，
取3b
t a
=-
，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3
2
222223333b b b b a b c d f
a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称， 1223b
x x a
+=-
，()()1223b f x f x f a ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
5．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
6．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则213
x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴21x x -==≥
，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错，
故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
7．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
192221412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
，
则有()()()()()()33
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
8．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()
()f x f x x
'<
，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +<+
B ．()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+
C ．()1
1
2
2
(1)x x f f <
D ．()()()1212f x x f x f x <
【答案】ABC 【分析】
构造()()f x g x x
=，由()
()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各
选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.
【详解】 由()
()f x f x x '<
知：
()()0xf x f x x
'-<， 令()
()f x g x x =，则()()()2
0xf x f x g x x '-='<，
∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即
122112121212()()()()
0()
g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有
1
12112
()()x f x x f x x x +<+，
2
12212
()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有
()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+； C ：由1
21x >，所以11
1
(2)(1)(2)(1)21
x x x f f g g =<=，整理得()
11
22(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211
x x =
，121
1
1()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，
有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：由()
()f x f x x '<
形式得到
()()0xf x f x x
'-<， 1、构造函数：()
()f x g x x =
，即()()()xf x f x g x x
'-'=
. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.
3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
9．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,
a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
10．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．1
0m e
<<
B ．21x x -的值随m 的增大而减小
C ．101x <<
D ．2x e >
【答案】C 【分析】
由()0f x =得出ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，且12m m <，设
()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中
121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可
判断B 选项的正误. 【详解】
令()0f x =，可得ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，定义域为()0,∞+，()1ln x
g x x
-'=
. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1
g x g e e
==
，如下图所示：
由图象可知，当10m e <<
时，直线y m =与函数()ln x g x x
=的图象有两个交点，A 选项
正确；
当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且12m m <，
设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中
121e ηη<<<.
由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数
()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。