高三数学第一轮复习教学案---立体几何全章

高三数学第一轮复习教学案---立体几何全章（2008.7）
第九章直线、平面、简单几何体
知识图谱
二、考纲要求
(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间
两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形．能够根据图形想象它们的位置关系．(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理．掌握两条直线所成的角和距离的概念
(对于异面线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离或在坐标表示下的距离)．(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定
理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理．
(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的
距离的概念掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
(5)会用反证法证明简单的问题．
(6)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念．
(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
(9)了解正多面体的概念.
(10)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
第一节：平面的基本性质
教学目的：①知识目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系；
②能力目标：能够运用平面的基本性质，进行有关推理，培养空间想能力；
③情感目标：结合实际，认识学习基础知识的重要性。

教学重点、难点及其突破：本节内容是高考的基本考核内容，是为进一步学习和培养逻辑推理能力打下基础，高考中，一般不单独命题。

复习中要掌握平面基本性质的三条公理及推论，能运用它们证明共点、共线、共面问题，从而加深对性质的理解。

难点是平面基本性质的三条公理及推论，能运用它们证明共点、共线、共面问题，从而加深对性质的理解。

教学方法：指导阅读教本，回忆相关知识。

高考要求及学法指导：本节在高考中基本不单独命题，往往结合其它内容一起考查，如求角，距离，大都转化到同一平面上，利用平面几何求解和证明。

教学过程：
一、知识点讲解：
1、平面的基本性质．
(1)三个公理(图示)
(2)三个推论(图示)
2、用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面的基本方法．
(1)证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面内即可(证明直线过一点也可利用此法。

)
(2)证明三线共点，只需证明其中两线相交，然后证另一条也过交点。

(3)证明点、线共面有两种基本方法：①先用部分点、线确定一平面，再证余下的点、线都在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面是重合的。

3、斜二侧画法。

二、例题选讲：
（一）基础知识扫描：
1、①公理1用符号表示为A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l____________________________
②公理2用符号表示为p∈α∩β⇒α∩β＝l，且P________________l
2、如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M ∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则( )
A. l⊂α
B. l⊄α
C. l∩α＝M
D. l∩α＝N
3、A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理错误
的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l．B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C. l⊄α，A∈α⇒A∉α
D. A、B、C∈β，A、B、C∈β且A、B、C不共线⇒α、β重合
4、四条线段首尾相接，它们最多确定平面个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5、如右图所示的是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC中BC边的中点，那么AB、AD、AC三条线段中( )
A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD
6、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，则有( )
A. P∈ BD
B. P∈ AC
C. P ∈ AC或P∈ BD
D. P ∉AC且P∉BD
（二）典型例题：
题型1：平面的基本性质
例1已知下列命题
①平面就是平行四边形；②任何一个平面图形都是一个平面；③梯形是平面图形；④若点P 不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数为( )
A．0 B．1 C.2 D．3
解析根据平面的概念及基本性质进行判断．①不对；平面是无限延展的，我们只是画平面的一部分(即平行四边形)来表示平面；②不对；平面图形是有大小的，不可能无限延展，它只是平面的一部分；③正确；梯形的两底平行，可唯一确定一个平面，由于腰的两个端点均在该平面上，故腰也在这个平面上，即梯形是平面图形；④不对；因为当A、B、C三点共线时，P、A、B、C共点；⑤不对，将平行四边形沿其中一条对角线适当翻折一个角度，虽满足对边相等，但四点不共面。

根本不是平面图形．故选B．
例2 下列命题中不正确的是( )
A．若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多点在平面外
B．若点A∈α，B∈α，C∈AB则C∈α
C．若a⊂α，b⊂α，l∩α＝A，l∩b＝B，则l⊂α
D．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外
解析由公理1知A、B、C均正确，当一条直线有两点在平面外时，这条直线或与平面相交，或与平面平行，所以D不正确，故应选D．
题型2：线共点问题．
例3已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线1l ，2l ，3l 。

且1l ，2l ，
3l 不平行．求证：1l ，2l ，3l 相交于一点。

分析：如图，由1l ∩2l ＝P 知，只要证P ∈3l ．而3l 为β、γ的交线，所以只要证P ∈β．且P ∈γ即可．
[证明] ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊂2121l l l l ββ
说明： 证明线共点问题实质上是证明点在线上的问题。

其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理2得证．
题型3：点共线问题．
例4 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设A 1C 与平面ABC 1D 交于Q ，求证：
B 、Q 、D 1三点共线．
分析 要证明B 、Q 、D 1三点共线，如果能够证明B 、Q 、D 1为某两个
平面的公共点，则由公理2可得此三点共线于这两个平面的公共交线．
解 如右图所示，D 1∈平面ABC 1D 1，D 1∈平面A 1D 1CB ，B ∈平面ABC 1D 1，
B ∈平面A 1D 1CB ．∴平面AB
C 1
D 1∩平面A 1D 1CB=BD 1
又A 1C ∩平面ABC 1D 1=Q ，且A 1C 平面A 1D 1CB ，∴Q ∈平面ABC 1D 1，且Q ∈平面A 1D 1CB ， ∴Q 在两平面的交线BD 1上。

∴B 、Q 、D 1三点共线
题型4：点共面问题
例5 已知直线与三条平行直线a 、b 、c 都相交．
求证：l 与a 、b 、c 共面．
分析 由已知构造两个平面，使这四条直线分别在这两个平面内，然后证明这两个平面重合．（本题能培养运用公理进行逻辑推理的能力）
解：如图，∵a ∥b ，∴a 、b 确定一个平面α
∵b ∥c ，∴b 、c 确定一个平面β．
∵a ∈α，B ∈b ，C ∈c ，∴l ⊂α，l ⊂β，
∴存在两条相交直线b 、l 既在α内又在β内，由公理3推论知α、β必重舍．
三、本节所涉及的数学思想·规律·方法小结：
1、反证法在解题中的灵活运用．
2、证明若干点或若干线共面，通常有两种途径：第一种途径是先由部分元素确定一个平面，再证其它元素也在该平面内；第二种途径是先由全体元素确定若干个平面，再证这些平面重合．
3、证明若干线共点，可先证其中两条相交于点，其它线也过该点即可．
四、作业：《威州中学课时作业》
五、课后记：
∥ 32132121,,l l l l P l P l P P l l ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=∈⇒⎭⎬⎫⊂∈⊂∈=γαγα 交于一点
第二节: 空间直线
教学目的：①知识目标：掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理；掌握两条直线所成角和距离的概念，并能运用上述知识进行论证、推理和解决相关问题； ②能力目标：能灵活运用线与线平行的判定与性质熟练解题；
③情感目标：通过线与线的位置关系，认识现实中线与线。

教学重点、难点及其突破：空间两条直线的位置的判定与证明及两异面直线所成的角是高考重点和热点，在近几年高考试题中频繁出现，难点是有关异面直线的计算问题。

因此要熟练掌握两直线位置关系的定义及判定定理和性质定理灵活解题，并理解立体几何中转化思想．
教学方法：讲授法
高考要求及学法指导：“空间直线”中，“异面直线”是重点也是难点，几乎每年必考。

考查的内容多涉及异面直线的定义、异面直线所成的角、异面直线间的距离这三个方面。

复习中要注意两条直线垂直和平面内两条垂直的性质上的区别；证明两条直线是异面直线，通常采用反证法、定义法（排除相交与平行）和定理法；复习中要注重基础，注意分析图形。

教学过程：
一、知识点讲解：
1、两条直线的位置关系．
2、证明两条直线平行的方法：
(1)定义：在同一平面内两直线无公共点．
(2)公理4 若a∥c，b∥c，则a∥b．
(3)直线与平面垂直的性质定理：b a b a //⇒⎭
⎬⎫⊥⊥αα； (4)直线与平面平行的性质定理：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα
；
(5)平面与平面平行的性质定理：b a b a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫==γβγαβα 。

3、证明直线和直线垂直的判定方法：
（1）直线与平面垂直的性质：b a b a ⊥⇒⎪⎪⎭⎫⊂⊥αα；（2） b l a l b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊥//； （3）三垂线定理及逆定理．
（4）两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于另一个平面的直线必垂直于交线。

[例如] 如图在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件_____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况．)
(全国高考题)
[解析]∵BD ∥B 1D 1，要使A 1C ⊥B 1D 1，只要使A 1C ⊥BD ，
∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是直四棱柱
∴A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1C 在底面ABCD 内的射影为AC ，
要使A 1C ⊥BD 只要AC ⊥BD 即可．故答案应为AC ⊥BD
[点评] 本题是一道开放性考题，任何能推导出这个结果的
其它结果如底面四边形ABCD 是正方形，菱形等都可作为本题答案．
4、判定空间两直线是异面直线的方法：
(1)依定义采用反证法．
(2)异面直线的判定定理：应用异面直线的判定定理时，要注意定理中的“四要素”． 例如：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 与BD 1为异面直线．
二、例题选讲：
（一）基础知识扫描
1、下列四个命题正确的是( )
①已知a 、b 、c 三条直线，其中a 、b 异面，a∥c，则b 、c 异面；
②若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面；
③过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线； ④不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。

A ．③④
B ．②③④
C ．①②③④
D ．①②
2、直线c 与异面直线a ，b 都相交，直线d 与a 相交且与c 平行，则d 与b 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．相交或异面
3、空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结空间四边形各边中点所成的四边形是( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．正方形
D ．平行四边形
4、两条异面直线所成的角指的是( )
①两条相交直线所成的角
②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角
③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线，这两条相交直线所成的锐角或直角
④两条直线既不平行又不相交，无法成角
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
5、已知异面直线a 和b 分别在平面α、β上，α∩β=c ，那么直线c( )
A ．分别与a ，b 相交
B ．至少与a ，b 之一相交
C ．与a ，b 均不相交
D ．至多与a ，b 之一相交
6、直线a 、b 、c 两两垂直且两两异面，a 、b 的公垂线为d ，则d 与c 的位置关系是_________________。

（二）典型例题分析：
题型1： 空间直线位置关系的判断．
例1 (2001年北京市春季高考)如右图是正方体的
平面展开图，在这个正方体中，
①BM 与ED 平行；
②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60°角；
④DM 与BN 垂直．
以上4个命题中，正确命题的序号是( )
A ．①②③
B ．②④
C ．③④
D ．②③④
分析 本题主要考查空间两直线位置关系，异面直线所成角等基本知识，将展开图恢复为正方体．只有③、④正确．
例2 如右图，已知α∩β＝a ，b ⊂β，
a ∩
b ＝A ，且
c ⊂α，c ∥a ，
求证：b 、c 为异面直线．
证法1(直接法)
∵c ⊂α，a ∩b ＝A ，α∩β＝a ，∴A ∈a ⊂α，
而a ∥c ，于是A ∉c ，在直线b 上任取一点B(不同于A)．
∵b ⊂β，B ∉a ，∴ AB 与c 异面直线。

即b 、c 为异面直线。

(2)解法1 M 为BC 的中点，连结EM ，FM ，EM 是△ABC 的中位线，EM 2
1AB ，EM=1，同理得FM=1．
证法二 (反证法)
假设b 、c 不是异面直线，即b 、c 为共面直线，则b 、c 为相交直线或平行直线．
(1)若b ∩c ＝P ，已知b ⊂β，c α，又α∩β＝a ，则P ∈b ⊂β，且P ∈c ⊂α，从而，交点P 一定在平面α、β的交线上(公理二)，即P ∈a ，于是a ∩c =P ，这与已知条件a ∥c 矛盾；因此b 、c 相交不能成立．
(2)若b ∥c ，已知a ∥c ，则a ∥b(公理四)，这与已知条件a ∩b=A 矛盾，因此b 、c 平行也不能成立。

综合(1)、(2)可知b 、c 为异面直线．
解析 正方体中常借助平行四边形平移线段构造异面直线所成的角．
题型2：异面直线所成角的问题．
例3 如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，4111111B A F D E B =
=，则
与
所成角的余弦值是( ) A. 1715 B. 21 C. 178 D. 2
3 解析：本题主要考查异面直线所成角的求法及空间想象能力，正方体中常借助平行四边形平移线段构造异面直线所成的角。

在A 1B 1上取，则
，取AB 中点H ，则
，则有
为BE 1与DF 1所成角．设正方体棱长为4，
则BE 1=DF 1=HE 1=，BH=2．在△BE 1H 中，由余弦定理求得17
15cos 1=∠H BE 例4 在棱长为a 的四面体ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 中点，求异面直线DE 与BF 所成角的余弦值．
分析:如图，求异面直线所成的角，常用平移转化法（涉及中点问题，常利用三角形中位线平移线段构造异面直线所成的角），即“平移一条”(或两条)“作出夹角”，再解三角形．其步骤概括为“一作二证三算”．
解 如右图，连AE ，取AE 中点G ，则
∴∠BFG 为BF 与DE 所成的角．由已知可求得BF=DE=a 2
3 ∴a GF 43=，又a a a EG BE BG 4
716342222=+=+=，在△BFG 中，由余弦定理求得：324
32321671634
3cos 222=⨯⨯-+=∠a a a a a BFG 故异面直线DE 与BF 所成角的余弦值为3
2 题型3：异面直线间的距离．
例5 如右图所示，
平面α∩平面β=BC ，A∈α，D∈β，
AB=BC=CD=2，AC=BD=，E ，F 分别为
AC 与BD 的中点，且EF=．求：
(1)异面直线AB 和CD 的距离；
(2)AB 和CD 所成的角．
分析 题设只给出线段之长度，应根据勾股定理的逆定理判断线段间垂直以及平行的关系，因为“垂直”、“平行”是寻找异面直线距离与交角的关键．
解：（1）∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，222AC BC AB =+
△ABC 为等腰直角三角形；同理△BCD 亦为等腰直角三角形。

BC 是AB 与CD 的公垂线段，又BC=2，故AB 与CD 间的距离为2．
（2）在△EFM 中，EF=，EM=FM=1，∠EMF 为异面直线AB 与CD 所成的角的补角，cos ∠EMF= 2
12222-=⋅-+FM EM EF FM EM ，∠EMF=120°，∴AB 与CD 所成的角为60°． 解法2： M 为BC 的中点，∵EM 是△ABC 的中位线，，EM=1，同理得FM=1． 在等腰△EMF 中，取底边EF 的中点N ，MN ⊥EF ．在Rt △FMN 中，MF=1，NF=2
3，sin∠FMN= 2
3=FM FN ，∠FMN=60°，∠EMF=120°，异面直线AB 与CD 所成角为60°． 点评 (1)题设中给出几个线段长时，一定用勾股定理判断线段是否垂直，因为用计算法判断线段垂直也是立体几何计算题的特色之一．
(2)异面直线所成角的定义是“平行移动”所成的不大于90°的交角，这一点也要引起注意．
三、本节所涉及的数学思想·规律·方法小结：
1、利用反证法或直接利用异面直线的判定定理判定两条直线是异面直线．
2、通过平移将异面直线所成的角(空间角)转化为相交直线所成的角(平面角)．
四、作业：《威州中学数学课时作业》
五、课后记：
笫三节：直线与平面平行和垂直
教学目的：①知识目标：掌握空间直线与平面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理和判定方法，并用以论证和解决有关问题；
②能力目标：灵活运用线面关系的判定与性质进行相关解题；
③情感目标：体会数学中的转化思想。

教学重点、难点及其突破：重点是掌握直线与平面垂直的判定与性质，正确理解点到平面的距离、平行直线和平面的距离；会利用上述知识论证和解决有关问题；难点是各种距离的计算方法的灵活运用。

要灵活地作出辅助线或辅助平面来解决问题，同时要注意的是作图要有理有据，不能随意去作，而且辅助线与辅助面具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断。

教学方法：讲授法
高考要求及学法指导：本节内容中线面平行与垂直的判定和性质是高考重点考查的内容．其考查的方式有两种：一种是直接以证明来考查，另一种是通过计算题中必不可少的证明步骤，来间接考查线面关系的垂直与平行的判断，题型既有选择题、填空题，也有解答题．解题中注意线线、线面位置关系的相互转化。

重点掌握点到平面的距离的计算方法，并将其运用于求直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。

知识网络：
教学过程：
一、知识点讲解：
1、直线与平面的位置关系．
(1)直线和平面相交——有且只有一个公共点；
(2)直线和平面平行——无公共点；
(3)直线在平面内——有无数个公共点．。

注：直线和平面相交，直线和平面平行统称为直线在平面外，记作
2、直线与平面平行的判定与性质定理．
[例如] 在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心．
求证：(1)MN∥平面ABD ；
(2)若BD⊥DC，MN⊥AD，则BD⊥AC.
[证明] (1)设AM ∩ BC ＝E ，AN ∩ CD＝F ， ∵NF
AN ME AM = ∴EF∥MN∥BD，∴MN∥平面ABD ；
(2)MN ⊥BD ．∴BD ⊥AD ，又BD ⊥DC ，∴BD ⊥平面ADC ，∴BD ⊥AC ．
3、直线与平面垂直的判定与性质定理．
二、例题分析：
（一）基础知识扫描
1、能保证直线a 与平面α平行的条件是( )
A. a ⊄α，b ⊂α，a ∥b
B. b ⊂α，a ∥b
C. b ⊂α,c ∥a ,a ∥b ,a ∥c
D. b ⊂α,A ∈a ,B ∈a C ∈b ,D ∈b ，且AC =BD
2、已知直线l 、m 和平面α，则l ∥m 的一个充分但不必要的条件是( )
A. l 、m 与α成等角 B ．l ∥α且m ∥α
C. l ⊥α且m ⊥α
D. l ∥α且m ⊂α
3、已知直线a 、b 和平面M 、N ，且a ⊥平面M ，那么( )
A. ∥M ⇒b ⊥a
B. b ⊥a ⇒b ∥M
C.N ⊥M ⇒a ∥N
D. a ⊄N ⇒M ∩N φ≠
4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过A 、C 、E 的平面的位置关系________________。

则EG2+HF2= _____________.
6、线段AB的两个端点A、B到平面α的距离分别为1 cm和5 cm，P为线段AB上的点，且AP∶PB=1∶3，则P到α的距离为____________
（二）典型例题分析：
题型1：基本概念与定理的考查．
例1 下列说法正确的是( )
A．直线平行于平面α内的无数条直线，则
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝φ，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
分析做此类题目的关键是概念清楚，有空间想象能力．
例2 已知直线l和平面α、β，且l⊄α，l⊄β，给出以下3个论断：
①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．从中任取两个作为条件，剩下的一个作为结
论，则( )
A．一共可以写出6个命题，其中有2个命题正确
B．一共可以写出3个命题，其中有2个命题正确
C．一共可以写出6个命题，这6个命题都正确
D．一共可以写出3个命题，这3个命题都正确
分析：①②⇒③，①③⇒②正确；②③⇒①错误．
题型2：线线平行与线面平行．
例3 已知a∥平面α，b∥平面β，b = ，求证：a∥b．
证明如右图，在平面内任取一点A，A b，过直线A和点A作平面
，设=m．
在平面β内取一点B，使B∉b，过直线a和点B作平面β'，设β'∩β＝n，同理可得a∥//n
题型3：线线垂直与线面垂直．
例4 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC 交SC于F．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．
证明如右图所示，
(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴SA⊥BC，∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，又SB⊥AE，
∴AE ⊥SC ，又EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF ，∴AF ⊥SC ．
(2)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥DC ，又AD ⊥DC ，
∴DC ⊥平面SAD ，∴DC ⊥AG 。

又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂平面AEF ．
∴SC ⊥AG ，∴AG ⊥平面SDC ，∴AG ⊥SD ．
题型4：距离问题．
例5 已知正方形ABCD 边长为4，CG⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 中点，求点B 到面GEF 的距离．
分析 易证BD∥平面GEF ，转化为求AC 与BD
交点D 到平面GEF 的距离。

分析 易证BD ∥平面GEF ，转化为求AC 与BD
交点O 到平面GEF 的距离。

解 如右图，连结EF 、BD 分别交AC 于H 、O ，因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故．EF ∥BD ，H 为AD 的中点．
∵BD//EF ，BD ⊂平面GEF ．
∴BD ∥平面EFG ，BD 与平面EFG 的距离就是B 点到平面EFG 的距离。

∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥HC 。

∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥GC ，∴EF ⊥平面HCG ，作OK ⊥HG 交HG 于K ，得EF ⊥OK ，而EF ∩GH=H ，∴OK ⊥面EFG ，∴OK 长就是点B 到平面EFG 的距离。

∵正方形ABCD 的边长为4，CG=2，∴AC=24，HO=2，HC=23，
在Rt △HCG 中，HG=2222=
+CG HC ∵HCG Rt HOK Rt ∆∆~，∴11
112=⋅=HG GC HO OK ， 说明：本题充分体现了点面距离⇒线面距离⇒点面距离的转化．
例6 如下图，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM = BN = a (0<a<)．
(1)求MN 的长；
(2)当a 为何值时，MN 的长最小；
(3)当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小．
解（1）作MP//AB 交BC 于P ，NQ//A8交BE
于点Q ，连结PQ ，得MP//NQ ，且MP=NQ ，即
MNQP 是平行四边形，
∴MN=PQ ，由已知CM=BN=a ．CB=AB=BE=1。

∴AC=BF=2，21a CP =，21a BQ =，即CP=BQ=2
a ∴MN=PQ=22)1(BQ CP +-
2
1)22()2()21(222+-=+-a a
a
（0＜a ＜2）
(2)由(1)知MN=21)22(2+-a ．所以a=2a 时，MN=2
a 即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为2
2 (3)取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点
∴AG⊥MN．BG⊥MN，∠AGB 为二面角口的平面角，又AG=BG=
4
6，所以，由余弦定理有： 314
64621)46()46(
cos 22-=⨯⨯-+=α，故所求二面角为arccos （－31） （本题主要考查线面关系，二面角，函数最值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力）
三、本节所涉及的数学思想·规律·方法小结：
1、直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后两者又统称为直线在平面外．
2、证明线面位置关系要注意线面平行与线线平行的相互转化，线面垂直与线线垂直的相互转化．
3、求点面距离时应注意，如果由点向平面作垂线有困难，可考虑利用线面平行转移到另一点处来求作．
四、作业：《威州中学数学课时作业》
五、课后记：
第四节：斜线在平面上的射影、线面角和三垂线定理
教学目的：①知识目标：理解射影的有关概念，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；了解三垂线定理及其逆定理．
②能力目标：能在“非标准”的情况下，正确使用三垂线定理及其推论进行相关论证和计算；
③情感目标：通过学习，培养用辩证观点思考问题。

教学重点、难点及其突破：三垂线定理及其逆定理的运用是教学的重点；“非标准位置”的三垂线定理及其逆定理的运用教学难点。

在这两个定理的使用中，都要注意“平面内”的条件不能省略，要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影”
教学方法：讲授法
高考要求及学法指导：本节是历年高考的必考点，特别是确定射影及灵活运用三垂线定理判断或论证直线与直线垂直问题是高考热点之一．在复习中要搞清定理的条件、结论，以及以下几个方面的应用：①证明两异面直线垂直；②确定二面角的平面角；③确定点到直线的距离等．
教学过程：
一、知识点讲解：
1、射影及射影长定理．
(1)射影的概念自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，垂足和斜足的连线叫做斜线在这个平面上的射影．
(2)射影长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
③垂线段比任何一条斜线段都短；
④最小角原理。

2、三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直．
(2)在三垂线定理及其逆定理中，涉及到三个垂直
关系，四条直线：
①垂线PA和平面α垂直；
②射影A0和直线a垂直；
③斜线PD和直线a垂直．
(所以，定理称为“三垂线定理”)
二、例题分析：
（一）基础知识扫描
1、设α、β、γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题中正确的是( )
A．若直线a上有两个不同点到平面α的距离相等，且直线a不在平面α内，则a∥αB．若直线a与平面α，β所成的角相等，则α∥β
C．若平面α，β互相垂直，过平面α内一点A的直线a垂直于两个平面的交线，则a⊥βD．若直线a和平面α都垂直于平面β，且直线a在平面α外，则a∥α．
2、下列命题中，正确的命题是( )
A．若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；
B．若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在α内的射景，则a⊥b；
C．若a是平面α的斜线，b是平面α内的一条直线，且b垂直于a在这个平面内的射影，则a⊥b；
D．若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b。

3、已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α上的射影之间的距离为，则直线AB和平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．30°或60° D．30°或150°
4、(2003黄冈四月份模拟)在棱长为1的正方体AC1中，对角线AC1在六个面上的射影长度总和是( )
A. B. C．6． D．
5、已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影．
(1)若P到△ABC的三个顶点距离相等，则O是△ABC的_______________心。

(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的________________心。

(3)若P到△ABC的三边距离相等，则O是△ABC的_________________心。

(4)若平面PAB、PAC、PBC与平面α所成的角都相等，则O是△ABC的______________心。

(5)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________________ 心．
6、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、A1D1中点，则EF和面A1C1所成的角为_____________________
二、典型题型
题型1：斜线在平面上的射影．
例1 如右图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图中的___________________(要求：把可能的图的序号都填上)
解析根据正方体的性质，由E、F、B、D1，四点向各面引垂线确定射影位置．四边形BFD1E 在正方体的面AC、A1C1、A1B、D1C上的射影均为图②，在面AD1、BC1上的射影为图③，应填②③．
例 2 (湖北黄冈市模拟)在四棱锥P—ABCD中，四条侧棱都相等，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB>CD，为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的射影O落在梯形ABCD外部，则底面ABCD需满足条件______________________(填上你认为正确的一个充分条件即可)
解析本题是条件探索型问题，可将题设和结论视为已知条件导出所需寻求的条件．由已知四条侧棱都相等得P在底面ABCD上的射影D应为四边形ABCD的外接圆圆心，要使圆心O在四边形ABCD外则应使∠ACB>90°或∠ADB>90°．
题型2：线面角的求法．
例3 在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角．
解如右图，过A、B分别作AO⊥面BCD，EG⊥面BCD，O、G为垂足．
∵AO2GE, AO、GE确定平面AOD，连结GC，则∠ECG为EC和面BCD所成的角．
∵AB=AC=AD，∴OB=OC=OD．
∵△BCD是正三角形．∴O为△BCD的中心，连OD并延长交BC于F，F为BC的
中点．。