人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(九) 2.1.1 椭圆及其标准方程 探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(九)
椭圆及其标准方程
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为
( ) A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.因为a=5，点P到一个焦点的距离为2，所以点P到另一个焦点的距离为2×5-2=8.
2.(2015·珠海高二检测)椭圆+=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
【解析】选A.不妨设F1(-3，0)，F2(3，0)，由条件知P，即|PF2|=，由椭圆
定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|=，|PF2|=，
即|PF1|=7|PF2|.
3.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上都不对
【解析】选A.设椭圆方程为：Ax2+By2=1(A>0，B>0)，
由题意得解得
4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A.(0，+∞)
B.(0，2)
C.(1，+∞)
D.(0，1)
【解析】选D.先将方程x2+ky2=2变形为+=1.
要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需>2，
即0<k<1.
【补偿训练】椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k= ( )
A.-1
B.1
C.
D.-
【解析】选B.由5x2+ky2=5得，x2+=1.
因为焦点为(0，2)，所以a2=，b2=1，
所以c2=a2-b2=-1=4，
所以k=1.
5.已知椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|-|MF2|=1，则△MF1F2是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|，|MF2|的长度，再判断.
【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4，且已知|MF1|-|MF2|=1，所以|MF1|=，|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90°，即△MF1F2为直角三角形.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知椭圆的标准方程为+=1(m>0).且焦距为6，则实数m的值为__________.
【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则a2=25，b2=m2，
因为a2=b2+c2，
即25=m2+9，所以m2=16，
因为m>0，所以m=4.
若椭圆的焦点在y轴上，
则a2=m2，b2=25，
由a2=b2+c2，
所以m2=25+9，
所以m2=34，因为m>0，所以m=.
综上可得m=4或m=.
答案：m=4或m=
【误区警示】忽视焦点位置，导致丢解
椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论.
【补偿训练】椭圆+=1的焦距等于2，则m的值是________.
【解析】当焦点在x轴上时，m-15=1，m=16；当焦点在y轴上时，15-m=1，m=14.
答案：16或14
7.(2015·双鸭山高二检测)已知F1，F2是椭圆
C：+=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，
且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b=__________.
【解析】因为⊥，
所以PF1⊥PF2，
因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，
所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2，
因此|PF1|·|PF2|=2b2.
由=|PF1|·|PF2|=b2=9，所以b=3.
答案：3
8.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=____________.
【解题指南】利用正弦定理求解.
【解析】由题意知，A，C为椭圆的两焦点，
则|AC|=8，|AB|+|BC|=10.
所以，===.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点P(3，2)到两焦点的距离之和为8.
(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15. 【解析】(1)①若焦点在x轴上，
可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意知2a=8，所以a=4，
又点P(3，2)在椭圆上，
所以+=1，得b2=.
所以椭圆的标准方程为+=1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：
+=1(a>b>0)，
因为2a=8，所以a=4.
又点P(3，2)在椭圆上，
所以+=1，得b2=12.
所以椭圆的标准方程为+=1.
由①②知椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)由题意知，2c=16，2a=9+15=24，
所以a=12，c=8，
所以b2=80.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求方程为
+=1或+=1.
10.已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1，0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.
【解题指南】利用椭圆定义先判断P的轨迹是椭圆.
【解析】如图所示，连接AP，
因为l垂直平分AC，所以|AP|=|CP|，
所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.
所以P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
因为2a=4，2c=|AB|=2，
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3.
所以点P的轨迹方程为+=1.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·长春高二检测)在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
+=1(y
则满足条件①②③的点A轨迹方程按顺序分别是( )
A.C3，C1，C2
B.C2，C1，C3
C.C1，C3，C2
D.C3，C2，C1
【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状.
【解析】选A.当△ABC的周长为常数时，顶点A到点B，C的距离之和为常数，所以轨迹为椭圆；当△ABC的面积为常数时，顶点A到直线BC的距离为常数，所以轨迹为平行于BC的两条直线；当△ABC中∠A=90°时，轨迹是以线段BC为直径的圆，故选A.
2.设α∈，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由题意可知<，
所以sinα>cosα>0，
又因为α∈，解得<α<.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且b=2的椭圆方程是__________.
【解析】由9x2+4y2=36，得+=1，
所以=9，=4，得c1=，
所以焦点坐标为(0，)，(0，-).
因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点，设方程为+=1，则
a2=b2+c2=(2)2+()2=25，
所以所求方程为+=1.
答案：+=1
【一题多解】由9x2+4y2=36，得+=1，
设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为+=1.
由4+k=(2)2，得k=16.
所以所求椭圆方程为+=1.
答案：+=1
4.(2015·哈尔滨高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0=__________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，得c=2，
所以F1(-2，0)，F2(2，0)，=(-2-x0，-y0)，
=(2-x0，-y0).
因为∠F1PF2为直角，所以·=0，
即+=4，①
又+=1，②
①②联立消去得=，
所以x0=±.
答案：±
【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2为直角时”改为|PF1|=+，
则∠F1PF2=__________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，
得2a=2，2c=4，因为|PF1|+|PF2|=2a=2，
所以|PF2|=-，
而|PF1|2+|PF2|2=(+)2+(-)2=16=|F1F2|2，所以∠F1PF2为直角.
答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.设椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足|AF1|=2|F1B|，且|AB|=3，△ABF2的周长为12.
(1)求|AF2|.
(2)若cos∠F1AF2=-，求椭圆E的方程.
【解析】(1)|AF1|=2|F1B|，|AB|=3，
所以|AF1|=2，|F1B|=1.
因为4a=12，所以a=3，
所以|AF1|+|AF2|=6，所以|AF2|=4.
(2)因为|AF1|=2，|AF2|=4，cos∠F1AF2=-，
所以|F1F2|==2，
所以c=，b2=a2-c2=3，
所以椭圆E的方程为+=1.
6.(2015·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆+y2=1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值.
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且=λ，求λ的值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1，
所以a=2，b=1，c=，
即|F1F2|=2，
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4，
所以|PF1|·|PF2|≤==4，
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，
即||·||的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(-，0)，
由=λ得x0=，y0=-.
又+=1，所以有λ2+6λ-7=0，
解得λ=-7或λ=1，又与方向相反，故λ=1舍去，λ=-7.
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第一章章末总结
知识点一四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；
(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？
例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0. q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.
且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假． 利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一． 例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0； (2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.
例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋1
16a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观
题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x ，x >0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．
(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，
∴0≤|x －2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.
例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52
<3. 故否命题为假．
(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．
逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．
否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．
例2 解 若a ＝－1，b ＝12
，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .
于是0<－a <2,0<b <1，
即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .
所以，p 是q 的必要不充分条件．
例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}
＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件．
∴A
B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0
， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭
⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p ：由ax 2－x ＋116
a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由
2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12
， ∴t <1＋a ·t 2－12
， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．
∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1
，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，a >2且a <1不存在．
若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.
故a 的取值范围为1≤a ≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，
即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.
要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，
只需m >－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。