6-2合同变换(二)

P1
∴T ( a )671 = T (671 a) = I = T ( 0), 得 a = 0, T = I . 由定理3推论知, △ABC是正三角形.
→
→
→
→
→
例4 在△ABC外侧作等腰Rt△ABF、Rt△BCD、 Rt△ACE, 求证: EF=AD, 且EF⊥AD.
分析 即证 AD=R(O,900)(EF), 为此，选O为AC的中点, 则 A=R(O,900)(E), 只要改证辅 R(O,900) 助命题： F D. 观察OF、OD的位置,类似于 例7可证辅助命题.
2 2P ′ ′ ′ ′ ′ PP′ = PP + P P 1P 2 P P --→ --→ 2P 1P 2 2A 1 A2 .
--→ --→ --→
--→
--→
l1
l2
∴ S (l1 ) S (l2 ) T (2 A1 A2 )

证明 (2) 设l1、 l2交于点O, 有向角φ=2(l1, l2), 对平面上 任意一点P, 设 P
4 2
即 R(O2 , 2 ) R(O1 ,1 ) R(O, 1 2 ). 1 (2) 若1 ＋２) k , 有l1∥l4， ＋２ ２k ,则 (1 2 由定理１知，S(l4) · S(l1)为平移变换．
(l1 , l ) (l , l4 ) 1 1 1 2 , 2 2
S (l1 )
P′
S (l2 )
′ P′ , 则
OP OP OP, 且 POP 2(l1 , OP), POP 2(OP, l2 ), 从而 POP POP POP 2(l1 , l2 ) . ∴ S (l1 ) S (l2 ) R(O, ).
S (l1 )
T (a)


．P
P′
2
． ′ ′
P
1 → --→ ---→ --→ 设P P , 则 PP2 P1P2 P1P a PP1 PP P1P2 2 --→ --→ S ( l ) 2 = P2 P . ∴ P PP P , ∴ T ( a ) S (l2 ) S (l1 ). 1
4
1 1 (l1 , l ) 1 , (l , l4 ) 2 , 于是 2 2
O2
R(O2 , 2 ) R(O1 , 1 ) S (l4 ) S (l ) S (l ) S (l1 )
1 1 2
1 2 2
S (l4 ) S (l1 )
O1
l1
1 (1) 若1 ＋２) k , l1、l4必相交， ＋２ ２k , 则 (1 2 设交点为O， 由定理１知，S(l4) · S(l1)为旋转变换，且 旋转中心为O， 作 l∥ l,则 l l O (l1 , l4 ) (l1 , l ) (l , l4 ) l
′ P′ ．
l2
O
P′ ． ． l P
1
定理2： （1）任一平移变换都可表示为两反射轴平行 的反射变换之积； （2）任一旋转变换都可表示为两反射轴相交 的反射变换之积．
证明 (1) 设 T ( a )为平移变换. 对平面上任意一点P, 设P P, 则 PP a . 任作直线l1垂直于PP, 垂足 ． 为P1, 再作直线l2垂直于PP, 垂足 P P1 --→ 1→ l1 为P2, 使得 P P a . 1 2
(1) 1 2 2k (k Z )时, R(O2 , 2 ) R(O1 , 1 ) R(O, 1 2 ); (2) 1 2 2k (k Z ) 时, R(O2 , 2 ) R(O1 , 1 )为平移变换.
分析 先利用定理2, 将旋转变换分解成反射之积,再用 定理１． R(O1 , 1 ) S (l2 ) S (l1 ), R(O2 , 2 ) S (l4 ) S (l3 ). 证明 由定理２， 由于第一反射轴可以任意选取， 不妨设l3≡l2 ≡l, 则 l l过O1、O2(因l２过O1 、 l３过O2)，且 l
1 1 ∠OO1O2 = 1 ,∠O1O2O = 2 , ∠O 2OO 1 2 1 2 1 = (1 + 2 ) = 3 . 2 2
2
1 1 2
1 2 2
O1
O
l1
下证O与O3重合. 设O R(O,1 + 2 ) O R(O3 ,3 ) O′ ,则由R(O3 , 3 ) R(O, 1 2 ) I 知 O′ ≡ O, 即O为R(O3, 3)的不变点. 由于R(O3, 3)为 非恒等变换, 不变点只有中心O3, 故O≡O3.
第二节 合同变换
一、合同变换的概念与性质 二、平移、旋转、反射的概念与性质 三、平移、旋转、反射的相互关系 、应用合同变换解题举例
三、平移、旋转、反射的相互关系
1、几个关系定理 定理1：设S(l1) 、S(l2)是两个反射变换. （1）如果l1∥l2, 则S(l2)· S(l1) 是平移变换； （2）如果l1、l2相交, 则S(l2)· S(l1) 是旋转变换. --→ 证明 (1) 设A1∈l1, A2∈l2, A1A2⊥l1, 则 A1 A2 为定向量. 对平面上任意一点P, 设 P S (l1 ) P′ A A2 1 S (l2 ) ′ ′ 、P′ P′ 分别交l1、l2 P′ ,且 PP′ ． ． ． 于点P1、P2, 则 ′ P P1 P′ P′ P2
--→ --→ --→
2
l2
证明 (2) 设 R(O, )为平移变换.对平面上任意一点P,
设P P, 则 OP OP, 并且 POP . 过O任作直线l1, 再过O作直线l2,
R(O, )
′ P′
O
.
l1 1 1 P 使得 (l1 , l2 ) POP. 2 2 设 P S (l1 ) P , 则 OP OP OP,( PO, l1 ) (l1 , OP), 1 1 1 (OP, l2 ) (l1 , OP) POP POP 2 2 2 1 POP, 即(l2 , OP) (OP, l2 ),∴ P S (l2 ) P ,
1
2
综上，可对合同变换分类如下： 平移 第一类合同变换 旋转 合同变换 反射 第二类合同变换 反射与平移之积 反射与旋转之积
2、应用举例 例1 以△ABC两边AB、AC为边,向形外作正方形 ABEF、ACGH, M为EG的中点, 求证: MB=MC, 且 MB⊥MC. F
E
B M A C
H
G
例1 以△ABC两边AB、AC为边,向形外作正方形 ABEF、ACGH, M为EG的中点, 求证: MB=MC, 且 F MB⊥MC.
证明 每次运动可理解为一次旋转, 0 120 R(C, 120 ) R( B, 120 ) R( A, 120 ) P0 P0 P1 P2 P3 … A 记 T = R(C,120 ) R( B,120 ) R( A,120 ), 则由2013=3×671及题意知, T 671 = I . B C → 又1200+1200+1200=3600, 由定理3知T为平移变换 T ( a ),
F
A O
E
B
D
C
思考题 如图,正△ABC 、 正△CDE、正△EHK(顶 点按逆时针方向排列)位于同一平面内, A、 D、K 三点共线, 且AD=DK .求证: △BHD也是正三角形.
E A C O D H K
B
从而结论成立.
定理4：任一合同变换都可表示为至多三个反射之积．
证明 设合同变换ω由三对对应点 A, A′ ′ . ; B, B′ ; C, C确定 我们可以采用分步反射的方法达到ω的目的: S (l1 ) (1) 令 ΔABC ΔA′ B1C1 , 则 A′ A C′ 在 B1B′ 的垂直 B′ , A′ A′ B1 = AB= A′ B′ C 平分线l2上. ( A, A′ 重合时省去该反射） C C1 2 l3 B B1 S (l2 ) l l (2) 令 ΔA′ ΔA′ B′ C2 , 则 B1C1 A′ C2 = A′ C1= AC = A′ C′ , B′ C2 = B1C1 = BC = B′ C′ , 都在 C2C′ 的垂直平分线l3上( B1 , B′ 重合时省去该反射） A′ , B′ S (l3 ) (3) 令 ΔA′ B′ C2 ΔA′ B′ C′ ,则达到ω的目的. 重合时省去该反射） (C2 , C′ ∴ = S (l3 ) S (l2 ) S (l1 ). 得证.
E B M A C
H
G
例2 平面上有三个点A 、B、C,一个人从平面上一点P0 出发,直线行进到A, 然后向右转600后直线行进同样的 距离到达点P1(称为完成一次运动). 接着从P1对B再完 成一次运动, …,这样不停地运动下去,在进行了2013次 运动后恰好回到原来的P0点.求证: △ABC是正三角形.
1 1 ∠OO1O2 = 1 ,∠O1O2O = 2 , ∠O 2OO 1 2 2 1 1 - (1 2 ) 3 . 2 2
2
2
2
2
1 1 2
1 2 2
O1
O
l1
下证O与O3重合.
证明 由条件, 1＋２ ≠２k , 由定理3及其证明过程, 有 l R(O2 , ２) R(O1 , 1 ) = R(O, 1 + 2 ), 且 O
1 1 2
1 2 2
O1
O
l1
推论 O1、O２、O3 为不共线三点， 若1＋２ + 3 = 2 , 且非恒 等变换 R(Oi , i )(i = 1,2,3) 满足 R(O3 , 3 ) R(O2 , ２) R(O1 , 1 ) = I , 则 ∠O3O1O2 = 1 1 ,∠O1O2O3 = 1 2 ,∠O2O3O1 = 1 3 . 证明 由条件, 1＋２ ≠２k , 由定理3及其证明过程, 有 l R(O2 , ２) R(O1 , 1 ) = R(O, 1 + 2 ), 且 O
． ． P′ ．
l2
2 ∴ R(O, ) S (l2 ) S (l1 ).
注意： (1)上述分解过程中,第一反射轴l1可以任取, 因此分解方法不唯一．
(2)上述分解过程中,第一反射轴l1可以任取, 但第二反射轴l2随l1确定而确定．
定理3：具有不同中心的两旋转变换 R(O1 , 1 ), R(O2 , 2 ) ．