2019年四川省成都市青羊区中考数学一诊试卷(解析版)

2019年四川省成都市青羊区中考数学一诊试卷
一、选择题（本大属共10个小，每小题3分，共30分）
1．﹣5的相反数是（）
A．B．C．5D．﹣5
2．观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（）
A．B．
C．D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为（）
A．B．C．D．
4．关于x的一元二次方程x2+2x+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞﹣D．m≤
5．如图，在▱ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF＝2，则FD等于（）
A．2B．3C．4D．6
6．如图，在△ABC所在平面上任意取一点O（与A，B，C不重合），连接OA，OB，OC，分别取OA、OB、OC的中点A1、B1、C1，再连接A1B1、A1C1、B1C1得到△A1B1C1，则下列说法不正确的是（）
A．△ABC与△A1B1C1是位似图形
B．△ABC与△A1B1C1是相似图形
C．△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的面积比为1：2
7．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
8．小敏的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文2页、数学4页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（）
A．B．C．D．
9．已知点A（a，2）与点B（b，3）都在反比例函数y＝的图象上，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．不能确定
10．下列命题正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．计算tan45°＝．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．
13．如图，等腰△ABC内接于圆⊙O，AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠COB的度数是．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算﹣（﹣1）2019+（π﹣2018）0﹣sin60°+（）﹣1
（2）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0
16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x＝2﹣4．
17．（8分）庆祝改革开放40周年暨我爱我家•美丽青羊群众文艺展演圆满落幕，某学习小组对文艺展演中的A舞蹈《不忘初心》，B独舞《梨园一生》，C舞蹈《炫动的玫瑰》，D朝鲜组歌舞《阿里郎+atep》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查，随机调查了部分观众（每位观众必选且只能选这四个节目中的一个）并将得到的信息
绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了名观众；并将条形统计图补充完整；
（2）学习小组准备从4个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看，请用树状图或者列表的方法求恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率．
18．（8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学樱顶D的仰角为20°，教学楼底部B的俯角为30°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m．（结果精确到0．lm．参考数据tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，≈l.73）
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，﹣1）是反比函数y＝图象上的一点，过B 点的一次函数y＝﹣x+b与反比例函数交于另一点A．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB面积；
（3）在A点左边的反比例函数图象上求点P，使得S
△POA ：S
△AOB
＝3：2．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上位于直径AB两侧的点，连接AC、AD、CD、BD，且AD＜BD．
（1）如图1，若∠C＝15°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若BD＝6，AD＝3，CD平分∠ADB，求CD长度；
（3）如图3，将（2）中的CD延长与过点A的切线交于点E，连接BE，设tan∠ABD＝x，tan ∠ABE＝y，用含x的代数式表示y．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+1＝0的两实数根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为．
22．考察反比例函数y＝的图象，当y≤1时，x的取值范围是．
23．从﹣4、﹣3、﹣1、﹣、0、1这6个数中随机抽取一个数a，则关于x的分式方程﹣＝的解为整数，且二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点在第一象限的概率是．24．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB1C1，B1C1交BC于点D，AB1交BC于点E，连接AD，当AE平分∠BAD时，AE＝3，则BD＝．
25．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某商店经营一种小商品，进价为3元，经过一段时间的销售，统计了售价x（元）与每天销售件数y（件）的部分数据如下：
售价x（元）1010.51111.512
销售量y（件）5250484644
（1）请你根据上表数据，在三个函数模型，①y＝kx+b，（k，b为常数，k≠0）；②y＝（k 为常数，k≠0）；③y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，选取一个合适的函数模型，求出的y关于x的函数关系式（不需要写出x取值范围）；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
（注：销售利润＝销售收入﹣购进成本）
27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F．
（1）如图1，求证：△APE∽△DFC；
（2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长；
（3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，求线段DE的最大值；
（3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标．
2019年四川省成都市青羊区中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大属共10个小，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数作答．
【解答】解：根据相反数的定义得：
﹣5的相反数为5．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A、主视图为矩形，俯视图为圆，错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，正确；
C、主视图为等腰梯形，俯视图为圆环，错误；
D、主视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，错误．
故选：B．
【点评】本题重点考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力．
3．【分析】先根据勾股定理求出AB的值，再根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，cos B＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对锐角三角函数的定义及勾股定理的综合运用．
4．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3m，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3m＝4﹣12m＞0，
解得m＜．
故选：A．
【点评】考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．【分析】首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD＝BC，AD∥BC，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵在▱ABCD中，E为BC中点，
∴AD＝BC，AD∥BC，2BE＝BC＝AD，
∴△BFE∽△DFA，
∴，
即，
解得：FD＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6．【分析】直接利用位似图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：根据位似图形的性质可得：
A、△ABC与△A1B1C1是位似图形，正确，不合题意；
B、△ABC与△A1B1C1是相似图形，正确，不合题意；
C、△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，正确，不合题意；
D、△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
7．【分析】根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE＝DE，即可得出答案．【解答】解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE＝DE．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理，熟练地应用垂径定理是解决问题的关键．
8．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵相同的试卷共12页，其中语文2页、数学4页、英语6页，
∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为＝；
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
9．【分析】根据点A（a，2）与点B（b，3）都在反比例函数y＝的图象上，可以求得a、b的值，从而可以比较a、b的大小，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（b，3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，3＝，
解得，a＝﹣3，b＝﹣2，
∵﹣3＜﹣2，
∴a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10．【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理、中点四边形的概念判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，A是假命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B是假命题；
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，C是真命题；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，D是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：tan45°＝1．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
12．【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°×2＝40°，
由圆周角定理得，∠COB＝2∠A＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．14．【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，由勾股定理可求BC＝10，由三角形的面积公式可求DH的长，即可求sin∠DCH的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，
∴BC＝＝10
＝BC×DH＝BD×OC，
∵S
△BCD
∴12×8＝10×DH
∴DH＝9.6
∴sin∠DCH＝＝
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求DH的长度是本题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减法；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣×+2＝．
（2）2x2﹣3x﹣2＝0
（2x+1）（x﹣2）＝0
2x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝2．
【点评】考查了实数的运算和因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（x﹣2﹣）÷
＝÷
＝•
＝x+4，
当x＝2﹣4时，
原式＝2﹣4+4＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．【分析】（1）先由C节目的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各类型节目的人数之和等于总人数求得B类型节目的人数即可补全图形；
（2）利用树状图得出所有可能，进而求出概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为15÷30%＝50（人），
则B节目的人数为50﹣（16+15+7）＝12（人），
补全条形图如下：
（2）如图所示：
一共有12种可能，恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的有2种，
故恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率为＝．
【点评】此题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用以及利用列表法求概率等知识，利用条形统计图与扇形统计图得出正确信息是解题关键．
18．【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE＝20°，∠BCE＝30°，
∴∠BCD＝∠DCE+∠BCE＝20°+30°＝50°；
（2）由题意得：CE＝AB＝30m，
在Rt△CBE中，BE＝CE•tan30°≈17.32m，
在Rt△CDE中，DE＝CE•tan20°≈10.8m，
∴教学楼的高BD＝BE+DE＝17.32+10.8≈28.1m，
则教学楼的高约为28.1m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
19．【分析】（1）将B点坐标分别代入y＝﹣x+b，y＝，即可求出一次函数和反比例函数的表达
式；
（2）将一次函数和反比例函数的表达式联立组成方程组，求出A 点坐标，再求出直线y ＝﹣x +2与y 轴交点C 的坐标，然后根据S △AOB ＝S △AOC +S △COB ，列式计算即可；
（3）过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出S △AOM ＝S △PON ＝．再推出S △POA ＝S 梯形AMNP ，由S △POA ：S △AOB ＝3：2，得到S △POA ＝S △AOB ＝6．设P （x ，﹣），根据S 梯形AMNP ＝（NP +AM ）•MN ＝6列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y ＝﹣x +b 过B （3，﹣1），
∴﹣3+b ＝﹣1，b ＝2，
∴一次函数表达式为y ＝﹣x +2；
∵B （3，﹣1）是反比函数y ＝图象上的一点，
∴k ＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；
（2）由，解得或，
∴A （﹣1，3）．
如图，设直线y ＝﹣x +2与y 轴交于点C ，则C （0，2），
∴S △AOB ＝S △AOC +S △COB ＝×2×1+×2×3
＝1+3
＝4；
（3）如图，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则S △AOM ＝S △PON ＝． ∵S △POA +S △PON ＝S 梯形AMNP +S △AOM ，
∴S △POA ＝S 梯形AMNP ，
∵S △POA ：S △AOB ＝3：2，
∴S △POA ＝S △AOB ＝×4＝6．
设P（x，﹣），而A（﹣1，3），
∴S
＝（NP+AM）•MN＝6，
梯形AMNP
∴（﹣+3）•（﹣1﹣x）＝6，
整理，得x2+4x﹣1＝0，
解得x＝﹣2±，
∵点P在A点左边，
∴x＜﹣1，
∴x＝﹣2﹣，
∴P（﹣2﹣，3﹣6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积，难度适中．
20．【分析】（1）由题意，可得∠ADB＝90°，∠B＝∠C＝15°，即可得出∠BAD的度数；
（2）延长DB至K，使BK＝AD＝3，连接BC，KC，证明△CBK≌△CAD，可得CK＝CD，∠KCD＝90°，因为KD＝9，即可得出CD的长；
（3）在BD上截取DM＝DA，连接AM，证明△AMB∽△EDA，可得，设BD＝a，则AD ＝MD＝ax，BM＝a﹣ax，进而得出y＝tan∠ABE＝．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°
∵∠B＝∠C＝15°
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝75°，
（2）如图2，延长DB至K，使BK＝AD＝3，连接BC，KC，∵CD平分∠ADB，∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CDB＝45°，∠CBA＝∠CDA＝45°，
∴∠ACB＝90°，CA＝CB，
∵∠CBK＝180°﹣∠DBC＝∠CAD，
∴△CBK≌△CAD（SAS），
∴CK＝CD，∠K＝∠CDA＝45°，
∴∠KCD＝90°，
∵BD＝6，
∴KD＝KB+BD＝9，
∴CD＝，
（3）如图3，在BD上截取DM＝DA，连接AM，
∵∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝∠MAD＝45°，
∴∠AMB＝135°，
∵AE与⊙O相切于点A，AB为直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAM+∠DAE＝45°，
∵∠AED+∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴∠BAM＝∠AED，
∵∠AMB＝∠EDA＝135°，
∴△AMB∽△EDA，
∴，
∵tan∠ABD＝x，
设BD＝a，则AD＝MD＝ax，
∴y＝tan∠ABE＝．
【点评】本题考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，锐角三角函数的定义．解决（3）问的关键是构造相似三角形进行比的转换．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．【分析】根据根与系数的关系解答．
【解答】解：依题意得：x1+x2＝﹣6，x1•x2＝1，
所以2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×（﹣6）﹣1＝﹣13．
故答案是：﹣13．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22．【分析】首先根据反比例函数的比例系数确定其增减性，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∵当y＝1时，x＝﹣2，当x＞0时，y＜0
∴当y≤1时x≤﹣2或x＞0，
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象的知识，解题的关键是根据反比例函数的比例式确定其增减性，难度不大．
23．【分析】先解分式方程，求出满足分式方程的解的a的值为﹣3、﹣1、1，再利用二次函数的性质得到a＝﹣1，然后根据概率公式求解．
【解答】解：对于分式方程﹣＝，
去分母：（a+2）x＝3，
所以x＝，
当a＝﹣3、﹣1、1时，x为整数，
因为x≠2，即≠2，解得a≠﹣，
二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点坐标为（﹣，），则﹣＞0且＞0，解得﹣＜a＜0，则a＝﹣1，
所以满足条件的a的值为﹣1，
所以随机抽取一个数a，满足条件的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了分式方程的解、二次函数的性质．
24．【分析】证△B1DE∽△B1AD，可求得DB1＝2，再证明△B1DE∽△BAE，可求得DE，BE的长，进而得出DB的长．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠B1＝∠B，∠BEA＝∠B1ED，
∴∠B1DE＝∠BAE，
∴∠B1DE＝∠DAE，
∵∠B1＝∠B1，
∴△B1DE∽△B1AD，
∴，
∵AB1＝AB＝4，AE＝3，
∴B1E＝1，
∴，
∴DB1＝2，
∵∠B1＝∠B，∠BEA＝∠B1ED，
∴△B1DE∽△BAE，
∴，
∴DE＝，EB＝2，
∴DB＝DE+BE＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查旋转的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质并能灵活运用于解题是解决本题的关键．
25．【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⊙O于点E，设⊙O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′∥BE，即∠O′AB＝∠ABC＝30°，作O′M⊥AF于M，在Rt△O′AM中，O′A＝3，∠O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．
【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，
∵AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，
∴AB＝6，
∴O′A＝OA＝3，
延长BC交⊙O于点E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
设⊙O′与BC相切于点G，则∠O′GB＝90°，
∴∠E＝∠O′GB，
∴AE∥O′G，
∵∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AE＝O′G＝3，
∴四边形O′AEG为平行四边形，
∴AO′∥BE，
∴∠O′AB＝∠ABC＝30°，
作O′M⊥AF于M
∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，
∴AM＝MF＝，
∴AF＝2AM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．【分析】（1）根据表格中的数据可以判断y与x符合那种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）由图表可知，售价每增加0.5元，销售量就减少2件，故y与x符合①y＝kx+b，，得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣4x+92；
（2）设利润为w元，
w＝（x﹣3）（﹣4x+92）＝﹣4（x﹣13）2+400，
∴当x＝13时，w取得最大值，此时w＝400，
答：每件小商品销售价是13元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是400元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．27．【分析】（1）由矩形的性质可得∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC＝∠APE，即可得结论；
（2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得AE＝B1E，AP＝B1F，即AF＝B1P，由折叠的性质可得BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4，根据勾股定理可求BP的长．
（3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B＝∠PCB，设EQ＝8k，QF＝5k，可得B1F ＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，由勾股定理可得B1E＝12k，由相似三角形的性质可得EH＝，HQ
＝，即可求tan∠PCB．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°
∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°，∵折叠
∴∠ABC＝∠PB1C＝90°，
∴∠B1EF+∠B1FE＝90°，
又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D，
∴△APE∽△DFC
（2）
∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF，∴△APE≌△B1FE（AAS），
∴AE＝B1E，AP＝B1F，
∴AE+EF＝PE+B1E，
∴AF＝B1P，
设BP＝a，则AP＝3﹣a＝B1F，
∵折叠
∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4，
∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1
∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a，
在Rt△DFC中，CF2＝DF2+CD2，
∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9，
∴a＝2.4
即BP＝2.4
（3）
∵折叠
∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP，
∴CP垂直平分BB1，
∴∠B1BC+∠BCP＝90°，
∵BC＝B1C，
∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90°∴∠PB1B＝∠PCB，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠B1BC＝∠B1QF，
∴∠B1QF＝∠BB1C，
∴QF＝B1F
∵EQ：QF＝8：5，
∴设EQ＝8k，QF＝5k，
∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，
在Rt△B1EF中，B1E＝＝12k，如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H，
又∵∠PB1C＝90°，
∴HQ∥B1F
∴△EHQ∽△EB1F，
∴
∴
∴EH＝，HQ＝
∴B1H＝
∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝＝
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
28．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，x+3），进而可得出DM的长，在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出AC的长，由∠DEM＝∠AFM，∠DME＝∠AMF可得出△DME∽△AMF，利用相似三角形的性质可得出DE＝DM＝﹣x2﹣x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则DE＝﹣x2﹣x，DC＝﹣x •，由点B，C的坐标可得出BC的长度，分△DEC∽△COB和△CED∽△COB 两种情况考虑：①当△DEC∽△COB时，利用相似三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之经检验后即可得出结论；②当△CED∽△COB时，利用相似三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之经检验后即可得出结论．综上，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝﹣+bx+c，得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3．
（2）在图1中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M．
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（﹣4，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，x+3），
∴DM＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝3，
∴AC＝＝5．
∵DF⊥x轴，DE⊥AC，
∴∠DEM＝∠AFM．
∵∠DME＝∠AMF，
∴△DME∽△AMF，
∴＝＝＝，
∴DE＝DM＝﹣x2﹣x＝﹣（x+2）2+，
∴当x＝﹣2时，DE取得最大值，最大值为．
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则DE＝﹣x2﹣x，DC＝
＝﹣x•．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），
∴OB＝1，OC＝3，BC＝．
①当△DEC∽△COB时，＝，即＝，
∴13x2+14x﹣27＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1（舍去），
经检验，x＝﹣是原方程的解，且符合题意；
②当△CED∽△COB时，＝，即＝，
∴243x2+2034x+4123＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
经检验，x＝﹣是原方程的解，且符合题意．
综上所述：当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，点D的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形的性质找出DE＝﹣x2﹣x；（3）分△DEC∽△COB和△CED∽△COB 两种情况，利用相似三角形的性质找出关于x的无理方程．。