2009届湖南长郡中学高三年级第二次月考文

2009届湖南省长郡中学高三年级第二次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是
（ ）
A ．,11a b a b >-≤-若则
B ．,11a b a b >-<-若则
C ．,11a b a b ≤-≤-若则
D ．,11a b a b <-<-若则
2倍，则椭圆的离心率等于
（ ）
A ．1
2
B C D 3．“1
2
m =
”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的
（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是 （ ） A ．//,,m αβα⊥则m β⊥
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥β
D ．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β
5．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）
A ．向右平移
6π个单位 B ．向右平移3π
个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3
π
个单位
6．由直线1y x =+上的一点向圆2
2
(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 （ ）
A ．1
B ．
C
D ．3
7．设(1)(2)(45)Aa B b C ，，，，，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方
向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为
（ ）
A ．453a b -=
B ．543a b -=
C ．4514a b +=
D ．5412a b +=
8．某种细菌开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（ ）
A ．30
B ．65
C ．67
D ．71
9．在实数集上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成
立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．()1 1，
- B ．()2 0，
C ．)2
3 2
1
(，
- D ． )2
1 2
3(，
- 10．椭圆C 1：
22x a +2
2
y b =1（a>b>0）的左准线为l ，左右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则
121||||F F PF -12||
||
PF PF 等于
（ ）
A ．-1
B ．1
C ．-
1
2 D ．
12
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 11．等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783
,，则k 的值为 .
12．已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程
为 .
13．平面α、β、γ两两垂直，点A ∈α，A 到β、γ距离都是3，P 是α上动点.P 到β的
距离是P 到A 点距离的2倍，则P 点轨迹上的点到γ距离的最小值是 .
14．已知βα.均为锐角，且),sin()cos(
βαβα-=+则αtan = . 15．给出下列命题：
⑴ 平面,,αβγ，若,αγβγ⊥⊥，则//αβ ⑵ 函数()2
f x x x
=+
的最小值为⑶ 若()()2
f x x bx c b c R =++∈、，则()()12121
22x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤
⎪⎣⎦⎝⎭
恒成立 ⑷ 在ABC ∆中若A B >，则cos2cos2A B <
其中正确的是 （把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16．（本小题12分）
在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222
a c
b a
c +-=． （I ）求角B 的大小；
（II ）设(sin ,cos 2),(6,1)m A A n ==--，求m n ⋅的最小值. 17．（本小题12分）
已知圆1C ：2
2
2x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点(1,1)；圆2C 的圆心在射
线20(0)x y x -=≥上，圆2C 过原点，且被直线l 截得的弦长为 （Ⅰ）求直线l 的方程； （Ⅱ）求圆2C 的方程． 18．（本小题满分12分）
如图所示，在边长为12的正方形1
1AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作BB 1·AA 1，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作CC 1·AA 1，分别交11A A '、
1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图
所示的三棱柱111ABC A B C -．
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；
（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比； （3）在三棱柱111ABC A B C -中，求直线AP 与直线1A Q 所成角的余弦值．
图1 图2
19．（本小题13分）已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是
n T ，且1
12
n n T b +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅲ）记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 20．（本题满分13分）
四边形ABCD 是梯形，CD AB
AD AB 与,0=⋅共线，A 、B 是两个定点，其坐标分别为A （-1，0） B （1，0） C 、D 是两个动点，且满足||||BC CD = （1）求动点C 的轨迹E 的方程；
（2）设直线BC 与动点C 的轨迹E 的另一个交点为P ，过点B 且垂直于BC 的直线交动
点C 的轨迹E 于M 、N 两点，求四边形CMPN 的面积的最小值。

21．（本题满分13分）
设12
22)(22++-=
x x x x f
（1）求)(x f 的值域； （2）判断)(lg )(x f x F =在[]1,1-上的单调性，并说明理由； （3）求证：)(5
13
lg )6161(57lg
R t t t F ∈≤+--≤。