全国名校高考专题训练11概率与统计(解答题2)

全国名校高考专题训练11概率与统计(解答题2)
41、(广东省四校联合体第一次联考)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两运动员射击的环数ξ稳定在7，8，9，10环，他们的这次成绩的频率分布直方图如下：
期望E ξ=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8
42、(广东省五校2008年高三上期末联考)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着
如
下
六
个
定
义
域
为
R
的
函
数
：
23
123456
f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数
的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.
解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意
知.5
1
)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4.
10
3
)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，
20
1
)4(,203)3(1313141115121613141315121613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分
10分 .4
7201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 答：ξ的数学期望为.4
7
………………………………………………………………12分 43、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种
产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.
其余均为二等品. （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）（理）已知一件产品的利润如表二所示，
用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润， 在（I ）的条件下，求ξ、η的分布列及 E ξ、E η； （Ⅱ）（文）已知一件产品的利润如表二所示，
求甲、乙产品同时获利2.5万元的概率。

（Ⅰ）解：
075.0,
68.085.08.0⨯==⨯=乙甲P P （理）（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是
,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2
=⨯+⨯=ηE …………12分
（文）(1-0.68) 0.6=0.192 …………12分
44、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)食品监管部门要对某品牌食品四项质量指标在进入市场前进行严格的检测，并规定四项指标中只要第四项不合格或其它三项指标中只要有两项不合格，这种品牌的食品就不能上市。

巳知每项指标检测是相互独立的。

若第四项不合格的概率为
25，且其它三项指标出现不合格的概率均是15
（1）求该品牌的食品能上市的概率；
（2）生产厂方规定：若四项指标均合格，每位职工可得质量保证奖1500元；若第一、
（表二）
第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格，每位职工可得质量保证奖
500元；若该品牌的食品不能上市，每位职工将被扣除质量保证金1000元。

设随机变量ξ表示某位职工所得质量保证奖金数，求ξ的期望。

解：（1）该品牌的食品能上市的概率等于1减去该品牌的食品不能上市的概率，
即2
233
3
3341123361[()()]55555625
p C C =-+-=
6分
解法二：该品牌的食品能上市的概率等于四项指标都合格或第一、第二、第三项
指标中仅有一项不合格且第四项指标合格的概率，即312
33414336[()()]5555625
p C =
+=
（2）312334192314144
(1500)(),(500)()55625555625
P P C ξξ======
； 易知336289
(1000)1625625
P ξ=-=-=
12分 ∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望为15005001000113.6625625625
E ξ=⨯+⨯-⨯=
45、(河北省正定中学高2008届一模)2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为
34，中国乒乓球女队获得一枚金牌的概率均为45
（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率； （2）记中国乒乓球队获得金牌的数为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ。

（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件A ，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件B ，那么，
()()()P A B P A P B +=+=22
1122344334111455445C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1350
（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量ξ，它的所有可能取值为0，1，
2，3，4（单位：枚）那么(0)P ξ==2
2
123411145400C ⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
(1)P ξ==22
112
233443471111445545200
C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (2)P ξ==
22
2
11223344434373
111144555454400
C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ (3)P ξ==2
2
112
2334344211144545550C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)P ξ==2
2
3494525⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……………………………………………………(8分) 则概率分布为：
………………………………………………………………………………………(10分) 那么，所获金牌的数学期望17732193101234400200400502510E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（枚）
答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为
31
10
枚。

……………………………….(12分) 46、(河北省正定中学2008年高三第五次月考理科)在雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局中赢的概率都是
5
3，已知比赛中，俄罗斯女排先赢了第一局，求： (1)中国女排在这种情况下取胜的概率；
(2)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列及ξE （均用分数作答）. 解：（1）中国女排取胜的情况有两种：一是中国女排连胜三局；
二是中国女排在2到4局中赢两局，再赢第五局. --------2分
所以中国女排取胜的概率为625
297
5352)5
3()53
(22
33=
⋅⋅
+C -----------4分 （2）254)52()3(2===ξP 125
51)53(525352)4(312=+⋅⋅⋅==C P ξ 625
2705352)53(52)53(52)5(223213=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C P ξ --------------8分 ξ∴的分布列为：
所以ξE =125
534
62527051255142543=
⨯+⨯+⨯。

-------------------------12分 47、(河北省正定中学2008年高三第五次月考文科)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛
的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛。

按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了第二关，才能去闯第三关。

对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.5。

(1)求小张在第二关被淘汰的概率； (2)求小张不能参加决赛的概率。

解：记小张能过第一关的事件为A ，直接去闯第二关能通过的事件为B ，直接闯第三关能通过的事件为C ；
则P （A ）=0.8，P （B ）=0.75，P （C ）=0.5， --------6分 （1）小张在第二关被淘汰的概率为.2.0)75.01(8.0)](1)[()(=-⨯=-=⋅B P A P B A P （2） 张不能参加决赛的概率为
7.05.075.08.01)()()(1)(1=⨯⨯-=-=⋅⋅-C P B P A P C B A P -------12分
48、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若既使后面投篮全中，也不能达标（如前3次投中0次）则也停止投篮。

同学甲投篮命中率为3
2
且每次投篮互不影响。

（1）求同学甲测试达标的概率。

（2）设测试中甲投篮次数记ξ，求ξ的分布列及期望E ξ。

解：（1）同学甲测试达标的概率
81
64)32()31()32)(31()32(3
2243133=
++=C C P （2）ξ的取值为3，4，5
3
1)31()32()3(33=+==ξP
27
10)31)(32()32)(31()4(3
13313=
+==C C P ξ 278)33()31()5(22
24=
+==C P ξ ξ∴的分布列
27
275274273=
⨯+⨯+⨯=ξE 49、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40
％，
也可能亏损20％(只有这两种可能)，且获利的概率为．
第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利
20％，也可能损失10％，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为，，．
第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4％，存款利息税率为5％．
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
50、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分．现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球·
(Ⅰ)求连续取3次球，恰得3分的概率；
(Ⅱ)求连续取2次球的得分ξ的分布列及期望．
51、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,x x ，记2
22
1)3()3(-+-=x x ξ，
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望.
解：（I ）函数x 可能是1，2，3，4，则x —3分列得
—2，—1，0，1，于是(x －3)2所取的点分别为0，1，4，因此ξ的可能取值为， 0，1，2，4，5，8 …………2分 当
161
4141)8(,8)3()3(,11222121=⨯=
=-+-===ξπξP x x a 可取得最大值时且 当.16
1
4141)0(,0)3()3(,33222121=⨯=≠-+-===P x x a 可取最小值时且πξ
（II ）由（I ）知ξ的所有取值为0，1，2，4，5，8
31
162)4()1,3)(3,1(),(441
164)2()2,4)(4,4)(2,2(),(241164)1()2,3)(3,4)(3,2(),(121211=
=========
==ξππξξππξξπξP P P x 即的所有值时当即的所有值时当即的所有值时当
当4
1
164)5()1,4)(2,1)(4,1)(1,2(),(521==
==ξξP x x 即的所有值时 …………8分
即ξ的分布列为
故期望E ξ＝012458316448416
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分
52、(湖北省八校高2008第二次联考)高考数学试题中共有10道选择题，每道选择
题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生： （Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大； （Ⅲ）所得分数ξ的数学期望． 解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为12
，有一道题答对的概率为13
，还有一道答对的概率为1
4
，所以得分为50分的概率为：P ＝11111
.223448
⋅⋅⋅=
………（3分）
（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：
1112361;2234488
P =
⋅⋅⋅== 同样可以求得得分为35分的概率为：12211231113112117;22342234223448
P C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
得分为40分的概率为：31748P =; 得分为45分的概率为：4748P =; 得分为50分的概率为：51.48
P =
所以得35分或得40分的可能性最大. ………………（8分） （3）由（2）可知ξ的分布列为：
61717714553035404550.484848484812
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………（12分）
53、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白
球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；
（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最
大？ 解：（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有2
5n C +种，
它们等可能，其中两球不同色有1
1
5n C C 种，………………………2分 一次摸奖中奖的概率10(5)(4)
n
p n n =
++．………………………4分
（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率5
9
p =
,………………………6分 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
1
23380
(1)(1)243
P C p p =⋅⋅-=
． ………………………8分 （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的
概率为
1
23233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， ……………………10分
2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1
(,1)3
上P 为减
函数，当1
3
p =
时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n =
=++,解得20n =．…………12分 答：当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用
10(5)(4)n n n ++代替p ，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将10(5)(4)
n
n n ++看成
一个整体，再求最值．
54、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)甲、乙、丙、丁四人做相互传球练
习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他
三人中的一人，……，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求： （Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；
（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示
传球停止时传 球的次数，求).5(=ξP
解：（Ⅰ）277
3
122313134
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
P （Ⅱ）278
332223)5(5
=
⨯⨯⨯⨯==ξP
55、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)一个袋子中装有m 个红球和n 个白球
（m >n ≥4），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球.
（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m 必为奇数；
（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率，求满足m+n ≤20的
所有数组（m, n ）.
解：（1）设“取出两个红球”为事件A ，“取出一红一白两个球”为事件B ，则
211
22(),()m m n m n m n
C C C
P A P B C C ++==……2分
由题意得*()()()P A kP B k N =∈ 则有211
m m n C kC C =，可得21m kn =+……4分 ∵*,k n N ∈，∴m 为奇数……6分
（2）设“取出两个白球”为事件C ，则2
2
()n
m n
C P C C +=
……7分 由题意知()()()P A P C P B +=，即有2211
m n m n C C C C +=
可得到2()m n m n +=-，从而m+n 为完全平方数……9分 又m ≥n ≥4及m+n ≤20得9≤m+n ≤20 得到方程组：93m n m n +=⎧⎨-=⎩；16
4
m n m n +=⎧⎨-=⎩
解得：63m n =⎧⎨
=⎩，（不合题意舍去）106m n =⎧⎨=⎩
……11分 故满足条件的数组（m, n ）只有一组（10，6）……12分
56、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图是两个独立的转盘()()A B 、，在两个
图中三个扇形区域的圆心角分别为60120180、
、。

用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘()A 指针所对的区域数为x ，转盘()
B 指针所对的区域为y ，{1,2,3}x y ∈、，设x y +的值为ζ，每一次游戏得到奖励分为ζ ⑴求2x <且1y >的概率；
⑵某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分
（注：这是一个几何概率题，几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区
域的度量来计算事件发生的概率，即事件
A 的概率A =
积
积
的面全面）
解：⑴由几何概率模型可知：111
(1),(2),(3)632
P x P x P x ==
====； 111
(1),(2),(3)326
P y P y P y ======
则12
(2)(1),(1)(2)(3)63
P x P x P y P y p y <===>==+==，
所以1
(2,1)(2)(1)9
P x y P x P y <>=<>=
⑵由条件可知ξ的取值为：23456、、、、，则ξ的分布列为：
ξ
2 3
3
4 5
P
1
18
736
1336
1136
112
他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值：
171311125
2345618363636126
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=
所以给他玩12次，平均可以得到1250E ξ=分
57、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)春节期间，某鲜花店中某种鲜花的进货价为每
束2.5元，销售价为每束5元，若在春节期间内没售完，则在春节期间营业结束后以每束1.5元的价格处理，根据前5年的有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量ξ服从以下分布
ξ
20 30 40 50 P
0.20
0.35
0.30
0.15
58、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为p ()()
,0,1p q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ. （Ⅰ）当1
2
p q ==
时，求E ξ及D ξ； （Ⅱ）当1p q +=时，求ξ的分布列和E ξ.
解：（Ⅰ）当12p q ==
时，ξ～13,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故13
322
E np ξ==⨯
=，()113131224D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. …………6分
（Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3.
()()()2
2011P q p pq ξ==--=；
()()()()2
1
32211112P q q q C p p q p q ξ==-+--=+； ()()()122322112P qqC p p q p pq p ξ==-+-=+；
()23P qp ξ==. ………………………………10分 ξ的分布列为
E ξ=0×2pq +1×322q p q ++2×232pq p ++3×2qp =1+p .．
……………12分 59、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P 1； （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率P 2；
（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团数ξ的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）34
1
3A 348
P ==； …………………3分 （Ⅱ）222432
23C C A 9416
P ==
； …………………12分 （Ⅲ）ξ的取值为0、1、2、3．
13333C 3332727(0),(1)464464P P ξξ⋅⋅======，2
333C 3911(2),(3)464464
P P ξξ⋅======
． ∴ξ
∴E ξ=
4
． …………………12分 60、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)国家射击队为备战2008年北京奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动。

在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为
3
2
. （1）如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一枪．．．至少有一次击中的概率。

（2）如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米（此后飞碟不在射程之内）.已知，命中的概率与飞碟飞和地距离的平方成反比．．．．．.求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率。

解：（1）记“队员甲在三次游戏中，第一枪至少有一次命中”为事件A.
27
26
)(1)(=
-=A P A P ……………………………………………………………………（5分） （2）记在一次游戏中“第i 次击中飞碟”为事件).3,2,1(=i B i
.27
2
)31(32)(,61)21(32)(,32)(23221=⨯==⨯==
B P B P B P …………………………（8分）
又i B 是相互独立事件.
)
B ()(P )(P )(P )(P )(P )B (P )()()(321211321211P B B B B B B B B B P B P B P ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+⋅+=∴.486
361
2726531613132=⨯⨯+⨯+=
………………………………………………………（12分）
61、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之
间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分， 根据以往经验，每局甲赢的概率为
12，乙赢的概率为1
3
，且每局比赛输赢互不影响.若甲第
n 局的得分记为n a ，令12...n n S a a a =+++
（I ）求35S =的概率；
（Ⅱ）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行。

设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望。

解：（I ）S 3=5，即前3局甲2胜1平. 由已知甲赢的概率为，，输的概率为，平的概率为3
16121
………………………………2分
得S 3=5的概率为8
1
)61()21(223=
C ………………………………5分 （II ） ξ 2
3
4
P
1336
101
216 37
216
1310137607
23436216216216
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
62、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，
从A 中摸出一个红球的概率是3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
（1）从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． ① 求恰好摸5次停止的概率；
② 记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望
E ξ.
（2）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一
个红球的概率是
2
5，求p 的值． 解析：（1）（i ）P=2
2241218()().33381
C ⨯⨯⨯= …………………3分
（ii ）随机变量ξ的取值为0, 1, 2, 3.
由n 次独立重复试验概率公式()(1),k k n k
n n P k C p p -=-得
055132(0)(1),3243P C ξ==⨯-= 1
451180(1)(1),33243P C ξ==⨯⨯-=
22351180
(2)()(1),
33243P C ξ==⨯⨯-= 3280217
(3)1.24381
P ξ+⨯==-= … 6分
随机变量ξ的分布列是
ξ
0 1 2 3 P
32243 80243 80243 1781
ξ的数学期望是 32808017131
01232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
………8分 （2） 设袋子A 有m 个球，则袋子B 中有2m 个球.
由1
223,35
m mp
m += 得13
.30p = ………………12分
63、(黄家中学高08级十二月月考)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其
中红球
5个，白球3个，蓝球2个。

现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出蓝球则不再取球。

求（1）最多取两次就结束的概率； （2）正好取到2个白球的概率； （3）取球次数的分布列和数学期望。

【解】：（1）设取球次数为1ξ，则()()11182211111
10101014141,255525
C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯= 所以最多取两次的概率149
52525
P =+=
（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，
所以恰有两次取到白球的概率为533332153
31010101010101000
P =⨯⨯⨯+⨯⨯=
（3）设取球次数为ξ，则()()218241,2105101025
P P ξξ=====⨯=
()88281631010101025
P ξ⎛⎫==
⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 则分布列为：
取球次数的数学期望为141661
1235252525
E ξ=⨯+⨯
+⨯=。

64、(吉林省吉林市2008届上期末)某网站的网络服务器共有3个外网端口，据以往的安全
监控分析得知，这3个网络端口各自受黑客入侵的概率为0.1，只要有一个网络端口被入侵都会导致服务器瘫痪，从而导致被迫中断工作. （1）求该服务器中断工作的概率；
（2）假设网站有两台相同的服务器，互相独立工作，而网站只要有一台能工作，该网
站都能正常运营，求该网站能够正常运营的概率（精确到3个有效数字）.
解：（1）该服务器继续工作的条件是三个网终络口均未被黑客入侵，其概率为
729.0)1.01()1.01()1.01(=-⋅-⋅-'P
∴该服务器中断工作的概率为P 2=1－P ′=1－0.729=0.271………………8分
（2）该网站能正常运营的概率 解法一：
P 3=C 1×（1－0.271）×0.271+（1－0.271）×（1－0.271） =0.926559≈0.927…………………………12分
解法二：∵只有两台网络服务器都不能工作时，该网站才不能正常运营 ∴该网站不能正常运营的概率P=0.271×0.271=0.073441 ∴该网站能正常运营的概率P 3=1－P=1－0.073441 =0.926559≈0.927…………………………12分
65、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)甲、乙二人各有一个放有3个红球，2个黄球，
1个白球的箱子，两个人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜.
（Ⅰ）求甲取胜的概率；
（Ⅱ）若又规定：当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，
求甲得分的期望.
解：（Ⅰ）设甲取红、黄、白球的事件分别为A 、B 、C ，乙取红、黄、白球的事件分别为
A '''、
B 、
C ，则事件,A A '''、B 、B ,C 、C 相互独立，而事件,A A '''⋅⋅⋅B B ,C C 两两互斥， 由题知()()()()()()111
,,236
P A P A P B P B P C P C '''==
====， 则甲取胜的概率()()())P A A P A A P P ''''''⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅B B +C C B B (C C
()()()()()()P A P A P B P B P C P C '''=++＝1117
493618
++
= 所以甲取胜的概率为7
18
.
（Ⅱ）设甲得分数为随机变量ξ，则ξ取值为0，1，2，3.
由题知()()()()111711
1,2,3,01.49361818
P P P P ξξξξ========-=
所以甲得分的期望()111115
0123.1849369
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
66、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)袋中装有大小相等的3个白球，
2个红球和n 个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为6
1。

（Ⅰ）袋中黑球的个数n ；
（Ⅱ）ξ的概率分布列及数学期望ξE 。

解：（Ⅰ）6
1
)0(252===+n n C C p ξ ， …………………………………………3分
4)(1,0432=-==--∴n n n n 或舍去解得即袋中有4个黑球。

…………5分
（Ⅱ）可能的取值ξ0， 1， 2， 3， 4。

61
)0(==ξp ，,3611)2(,31)1(29121423291314=⋅+=====C C C C P C C C P ξξ
61)3(291213=+==C C C P ξ， 36
1
)4(2922===C C P ξ ……………………8分 的概率分布列为ξ∴
9
364633623160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分
67、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)在一次面试中，每位考生从4道题a ,b ,c ,d 中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响． （1）若甲考生抽到a ,b 题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；
（2）设某两位考生抽到的题中恰好有X 道相同，求随机变量X 的概率分布和期望E (X )．
解：（1）32
2
4
1
212=⋅C C C 答：乙考生与甲考生恰有一题相同的概率为2
3．
（2）X 的可能取值为,2,1,0 6
1
)0(2
4242224=⋅⋅==C C C C X P 611)2(2
4
2424=⋅⋅==C C C X P ，32
)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P 所以随机变量X 的概率分布为………………………………………………10分
X 的期望16
1
2321610)(=⨯+⨯+⨯=x E ……………………………………12分
68、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，
编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：
甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，
否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， (4)
分
所以51
()255
P A =
=． ………………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为1
5
．…………………………………………………………………7分
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分
设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， ……………………………………………10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）． 所以甲胜的概率P （B ）＝
1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325
＝1225． (14)
分
由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分
评讲建议：
本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注
意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答． 引申：连续玩此游戏三次，若以D 表示甲至少赢一次的事件，E 表示乙至少赢两次的事件，试问D 与E 是否为互斥事件?为什么?（D 与E 不是互斥事件．因为事件D 与E 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P （D ）、P （E ），由P （D ）＋ P （E ）>1可得两者一互斥．） 69、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。

规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为12. (Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;
(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列及数学期望.
解: (Ⅰ)设事件A 表示“甲选做14题”,事件B 表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”,且事件A 、B 相互独立
∴ ()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=11111
(1)(1)22222
⨯+-⨯-= (Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且1(4,)2B ξ
.
∴ 44441
11()()(1)()(0,1,2,3,4)22
2
k k k k
P k C C k ξ-==-==
所以变量ξ的分布列为
113110123421648416E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 或1422
E np ξ==⨯= 70、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)A 有一只放有x 个红球，y 个白球，z 个
黄球的箱子（x ,y ,z ≥0，且6=++z y x ），B 有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A 胜，异色时为B 胜 （1）写出A 胜的所有基本事件 （2）用x , y ，z 表示B 胜的概率；
（3）当A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 解：⑴显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件：
①A 1：“A B 均取红球”；②A 2：“A B 均取白球”；③A 3：“A B 均取黄球”
⑵6
16)(,316)(,216)(321⨯=⨯=⨯=
z A P y A P x A P ,36
23)()()()(321z
y x A P A P A P A P ++=
++=∴36231)(z y x B P ++-
=∴ （3）由（1）知36
23)(z
y x A P ++=，0,0,0,6≥≥≥=++z y x z y x 又
于是32121
()36362
x y z x z P A +++-=
=≤
6,0x y z ∴===，即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为1
2
71、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．
解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分
（2）η的可能取值为200元，250元，300元．
(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，
(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．
η的分布列为
200E η=⨯分 72、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某人在水池中养了10条金鱼，其中4条为白色，6条为红色，他每天随机地从水池中取出3条放入水箱中进行观察，观察后又把这3条放回水池中，连续5天的观察。

（1）问一天中，他取出两种颜色鱼的概率是多少？
（2）设随机变量X 是取出两种颜色鱼的天数，求X 的概率分布。

解：（1）取出两种鱼有两种可能，即1条白色鱼，2条红色鱼；或.2条白色鱼，1条红色鱼。

取出1条白色鱼，2条红色鱼的方法数为1
2
46C C ；
取出2条白色鱼，1条红色鱼的方法数为21
46C C 。

而从10条鱼中取出3条鱼的方法数为3
10C 。

故所求的概率为：122146463
104
=5
C C C C C +； 5′
可以化简为 73、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著
《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分. （Ⅰ）求该同学得分的分布列； （Ⅱ）求该同学得分的数学期望. 解：（I ）设该同学连对线的个数为y ，得分为ξ,则y=0，1，2，4 ∴ξ=0，2，4，8……………1分 2499)0(4
4
==
=A P ξ……………3分 31
248)2(4
41
214====A C C P ξ……………5分 4
1
246)4(442
4====A C P ξ……………7分
24
11)8(4
4==
=A P ξ…………………9分 ……………………10分 （II ）E ξ=0×
249+2×31+4×41+8×24
1=2 答：该人得分的期望为2分…………………12分
74、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （Ⅰ）求第一天通过检查的概率； （Ⅱ）求前两天全部通过检查的概率；
（Ⅲ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2
天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分X 的数学期望.
解：（I ） 随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品
∴第一天通过检查的概率为P C C 194
10
4
35== ……5分
（II ）同（I ），第二天通过检查的概率为P C C 284
10
4
13== ……7分
因第一天，第二天是否通过检查相互独立
所以，两天全部通过检查的概率为：P P P ==⨯=12351315
……10分 （Ⅲ）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2
∴==
⨯=P ()ξ02523415 ……11分 P ()ξ==⨯+⨯=1352313258
15
……12分 P ()ξ==⨯=2351315
……13分
因此，E ξ=⨯+⨯+⨯=041518152151415
75、(山东省济南市2008年2月高三统考)甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l ，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量X ≥6，则可保证信息通畅．
（1）求线路信息通畅的概率；
（2）求线路可通过的信息量X 的分布列； （3）求线路可通过的信息量X 的数学期望．
解：（1）212121
23322233
7738
(8),(7)3535
C C C C C C P X P X C C +====== 111323233
713
(6)35
C C C C P X C +=== 3分
所以线路信息通畅的概率为
24
35
5分
（2）21212122322333
778
3(5),(4)3535
C C C C C C P X P X C C +======。