2021年江苏省无锡市数学中考模拟试卷(有答案)

江苏省无锡市2021届数学中考模拟试卷
一、选择题
1.的倒数是（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-2的倒数是-
故答案为：C【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数。

2.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A. >1
B. ≥
1 C. <1
D. ≤1
【答案】B
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得
x-1≥0
解之：x≥1
故答案为：B【分析】要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，列不等式，求解即可。

3.下列运算正确的是（）
A. a2·a3﹦a6
B. a3+ a3﹦
a6 C. |－a2|﹦
a2 D. (－a2)3﹦a6
【答案】C
【考点】绝对值及有理数的绝对值，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、a2·a3﹦a5，故A不符合题意；
B、a3+ a3﹦2a3，故B不符合题意；
C、|－a2|﹦a2，故C符合题意；
D、(－a2)3﹦-a6，故D不符合题意；
故答案为：C【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可对A作出判断；利用合并同类项的法则，可对B作出判断；根据绝对值的意义，可对C作出判断；利用幂的乘方的法则，可对D作出判断；即可得出答案。

4.一元二次方程x2＋5x＋7=0解的情况是（）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数
根 C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=25-28=-3＜0
∴此方程没有实数根。

故答案为：C【分析】先求出b2-4ac的值，再根据其值可判断方程根的情况。

5.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）
A. 1或－
1 B. 1
C. －
1 D. 0
【答案】C
【考点】二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点
∴a2－1=0且a-1≠0
解之：a=±1，a≠1
∴a=-1
故答案为：C【分析】根据二次函数的定义及二次函数的图像经过原点，得出a2－1=0且a-1≠0，即可求出a的值。

6.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（）
A. 30cm2
B. 30π
cm2 C. 15cm2
D. 15πcm2
【答案】B
【考点】几何体的表面积
【解析】【解答】根据圆柱的侧面积公式，可得：2π×3×5=30πcm2．
【分析】圆柱侧面积=底面周长×高
7.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）
A. 20°
B. 4 6°
C. 55°
D. 70°
【答案】C
【考点】三角形内角和定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：如图
∵AB垂直于弦CD
∴∠BED=90°
∵弧BC=弧BC
∴∠BDE=∠BOC=×70°=35°
∴∠B=90°-∠BDE=90°-35°=55°
故答案为：C【分析】根据圆周角定理求出∠BDE的度数，再根据垂直的定义得出△BDE是直角三角形，利用三角形内角和定理，即可求解。

8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE 的最小值是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【答案】B
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，□ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小。

∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
∵OC=OA，D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=3，
∴DE=2OD=6.
故答案为：B【分析】根据题意可知ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小。

先证明OD∥AB，根据OC=OA，D是BC的中点，可得出OD是△ABC的中位线，可求出OD的长，从而可求得结论。

9.已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（）
A. B. +2
C. 2
+1 D. +1
【答案】A
【考点】反比例函数的实际应用，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E(b,a)，
∵反比例函数y=(x>0)经过点E，
∴ab=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC,DO=BD=2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x,EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO⋅CO=,
∴CO=，
∴tan∠DCO=
∴∠DCO=30∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60∘,
∴∠1=30∘,AO=CO=，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30∘，
∴DG=AG，
设DG=r,则AG=r,GO=23√−r，
∵AD=AB,∠DAB=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60∘，
∴∠3=30∘，
在Rt△DOG中,DG2=GO2+DO2，
∴r2=(−r)2+22，
解得：r=，
∴AG=，
故答案为：A
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，先证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长。

10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接BE
在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,
∴BC=
∵点D是BC的中点
∴AD是直角三角形ABC的中线
∴AD=DC=DB=，
∵S△ABC=BC⋅AH=AB⋅AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵AD⋅BO=BD⋅AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中,EC=
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，利用勾股定理求出BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD=DC=DB=，再利用△ABC的两个面积公式，求出AH的长，再根据三角形一边上的中线等于这边的一半，得出这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出BO的长，从而得出BE的长，利用勾股定理，求解即可。

二、填空题
11.肥泡沫的泡壁厚度大约是，则数据0.0007用科学计数法表示为________．
【答案】7×10-4
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：0.0007=7×10-4
故答案为：7×10-4
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学计数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。

其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的所有0的个数的相反数。

即可求解。

12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sinA=________．
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，
∴sinA=
故答案为：
【分析】利用锐角三角函数的定义，即可求解。

13.因式分解：3x2﹣27=________．
【答案】3（x+3）（x-3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：3x2﹣27=3（x2-9）
=3（x+3）（x-3）
故答案为： 3（x+3）（x-3）
【分析】观察此多项式的特点，有公因数3，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。

14.如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为
________ ．
【答案】50
【考点】角的平分线，平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥OB
∴∠EDO=∠1=25°
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠1=25°
∴∠AED=∠AOC+∠EDO=25°+25°=50°
故答案为：50【分析】根据平行线的性质求出∠EDO的度数，再根据角平分线的定义，求出∠AOC的度数。

再利用三角形外角的性质，可求出∠AED的度数。

15.某射击俱乐部将名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，名成员射击成绩的中位数是________环．
【答案】8
【考点】中位数
【解析】【解答】解：∵按从小到大排列在中间的射击的成绩为8环
∴中位数为8环
故答案为：8【分析】根据把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，11名成员的射击成绩处在第6位的是8，即可得出中位数。

16.如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C 三点的拋物线对应的函数关系式是________．
【答案】
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵三个相同的长方形的长为4，宽为2
∴点A（-4，2），B（-2,6），C（2,4）
设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得
解之：
∴
故答案为：
【分析】根据图像及已知三个相同的长方形的长为4，宽为2，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出此抛物线的解析式即可。

17.如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到
另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________．
【答案】（1,1）（4,4）
【考点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：如图
①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示,
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴E点的坐标为(1,1)；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴M点的坐标为(4,4).
∴这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为：(1,1)或(4,4).
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，即可求解。

18.如图，正方形 ABCD 中，AB=3cm，以 B 为圆心，1cm 长为半径画☉B，点 P 在☉B 上移动，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AP'，连接 BP'，在点 P 移动过程中，BP' 长度的最小值为
________cm。

【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时,BP′最小，连接BP，
由旋转得：AP=AP′,∠PAP′=90∘，
∴∠PAB+∠BAP′=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAP′+∠DAP′=90∘，
∴∠PAB=∠DAP′，
在△PAB和△P′AD中，
∴△PAB≌△P′AD（SAS），
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD==，
∴BP′=BD−P′D=-1
即BP′长度的最小值为(-1)cm.
故答案为：-1
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，再根据BP′=BD −P′D，得出BP′的长即可。

三、解答题
19.计算:
（1）；
（2）3(x2 +2) - ( x+1) ( x-1)
【答案】（1）解：=
=
（2）解：3(x2 +2) - ( x+1) ( x-1)=
=
=
【考点】实数的运算，整式的混合运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，最后一项利用零指数幂法则计算，再算加减法即可得到结果。

（2）先利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可。

20.解下列方程：
（1）解方程：x2＋4x-2＝0；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：x2＋4x-2＝0
（2）解：由①得
x-3x+6≥2
-2x≥-4
∴x≤2
由②得
∴不等式组的解集是
【考点】公式法解一元二次方程，解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，利用一元二次方程的求根公式，代入计算即可求出方程的解。

（2）先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定方法，求出不等式组的解集即可。

21.某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2014年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B 类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
（1）表中的a=________，b=________；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B 的学生数所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C 的人数约为多少？ 【答案】（1）0.3；6
（2
）解：类别为B 的学生数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×0.4=144° 故答案为：144°
（3）解：1000×0.24=240
答：该校学生中类别为C 的人数约为240人。

【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图
【解析】【解答】（1）解：问卷调查的总人数为：40÷0.4=100（名） a=30÷100=0.3，B=100×0.06=6 故答案为：0.3、6
【分析】（1）根据B 类频数除以频率可求出总数，再根据频数、频率、总数之间的关系方便算出a 、b 的值即可。

（2）用类别为B 的学生数所占的百分比乘以360°，即可得出答案。

（3）用1000乘以类别为C 的人数所占的百分比，即可求出该校学生中类别为C 的人数。

22.如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED ，AC=AD ．
（1）求证：△ABC ≌△AED ；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE 的度数．
【答案】（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）。

（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°
【考点】全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，可证得∠ACD=∠ADC，再根据已知证明∠ACB=∠ADE，然后利用全等三角形的判定，即可证出结论。

（2）根据全等三角形的性质可求出∠E的度数，再用五边形的内角和-2∠B-2∠BCD，即可求解。

23.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字－2、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同.
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为________.
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线
不经过第四象限的概率.
【答案】（1）
（2）解：
共有9种等可能的接货，符合条件的有4种
直线不经过第四象限的概率为
【考点】列表法与树状图法，简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）摸出的球的数字只有三种可能：－2、1、2，所以摸出小球的数字为1的概率为【分析】（1）3个数中，数字为1的只有1个，利用概率公式，可求出摸出的球为标有数字1的小球的概率。

（2）先列表，再求出所有等可能的结果数及直线 y= kx+b 不经过第四象限的可能数，利用概率公式，求解即可。

24.我市绿化部门决定利用现有的不同种类花卉搭配园艺造型，摆放于城区主要大道的两侧．A、B两种园艺
造型均需用到杜鹃花，A种造型每个需用杜鹃花25盆，B种造型每个需用杜鹃花35盆，解答下列问题：
（1）已知人民大道两侧搭配的A、B两种园艺造型共60个，恰好用了1700盆杜鹃花，A、B两种园艺造型
各搭配了多少个？
（2）如果搭配一个A种造型的成本W与造型个数x的关系式为：W＝100―x （0＜x＜50），搭配一个
B种造型的成本为80元．现在观海大道两侧也需搭配A、B两种园艺造型共50个，要求每种园艺造型不得
少于20个，并且成本总额y（元）控制在4500元以内. 以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由. 【答案】（1）解：解法一：设A种园艺造型搭配了x个，则B种园艺造型搭配了（60－x）个，依题意得：
25x＋35(60－x)＝1700
解得：x＝40 ，60－x＝20 ．
答：A种园艺造型搭配了40个，B种园艺造型搭配了20个
解法二：设A种园艺造型搭配了x个，B种园艺造型搭配了y个，依题意得：
解得
答：A种园艺造型搭配了40个，B种园艺造型搭配了20个.
（2）解：设A种园艺造型搭配了x个，则B种园艺造型搭配了个，
成本总额y与A种园艺造型个数x的函数关系式为
∵x≥20，50－x≥20，∴20≤x≤30，
∵a=―＜0，
∴当时，y的最大值为,4500，所以能同时满足题设要求
【考点】二元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程或方程组，从而可以解答本题。

（2）根据题意可以得到相应的函数关系式，从而可以求得函数的最值，然后与4500比较大下即可求解。

25.在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图（1）），过点C作圆的切线交网
格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图（2））．
问题：
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△AEB≌△ADC；
（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．
（4）如图（3），已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．
【答案】（1）解：连接BC，
由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠ABC=60°
（2）证明：∵CD切⊙A于点C，
∴∠ACD=90°，∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB与Rt△ADC中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）
（3）解：△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的．△AED是等边三角形
（4）解：①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；
②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；
③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；
④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；
⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；
⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．
【考点】切线的性质，作图—复杂作图，旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接BC，易证点C在AB的中垂线上，可证得△ABC得三边相等，即可求解。

（2）根据切线的性质，可证得∠ABE=∠ACD=90°，根据直角三角形全等的判定定理，可证得结论。

（3）观察图形吗，可知△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的。

（4）按要求画出图形即可。

26.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若
，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为.
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。

（1）已知点，为轴上的一个动点，①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点，①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标。

【答案】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
（2）解：①如图2，
取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0= x0+2，
此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|= ，
此时C（﹣，）；
②如图3，
当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，
设E（x，y）（点E位于第二象限）．则
，
解得，，
故E（﹣，）．
﹣﹣x0= x0+3﹣，
解得，x0=﹣，
则点C的坐标为（﹣，），
最小值为1．
【考点】圆的综合题，定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据B为y轴上的一个动点，因此设点B的坐标为（0，y），由“非常距离”的定义，可得出|0﹣y|=2，即可求出y的值，从而得到点B的坐标；②点A和点B的“非常距离”的最小值为|﹣﹣0|，即可得出答案。

（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3），得出﹣x0= x0+2，解方程求出x0的值。

即可求出点C的坐标；②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E 位于第二象限），建立方程组，求解即可得出点C的坐标。

27.如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．
（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；
（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．
【答案】（1）解：连接AM、BM，
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
∵AM＝BM
∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，
HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴点Q的坐标为（3 ，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）
当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝－3＝， Q1Q2＝6－4＝2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：×( ＋2)×4.5＝
【考点】坐标与图形性质，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知可得出△APQ和△BPQ都是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AM＝BM＝PM=QM，即可证得结论。

（2）作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，根据AM＝BM，可得出G是AB的中线，根据⊙M与x轴相切可得出MG=MC=4.5，因此点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5，点Q到x轴的距离为9，从而得出点Q的纵坐标为9，再证明△BOP∽△QHB，求出点Q的横坐标，即可得出点Q的坐标。

（3）根据相似三角形的性质，可得出当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5），再求出M1M2， Q1Q2的长，然后根据梯形的面积公式即可求解。

28.如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，．点在函数图像上，轴，且，直线l是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接，线段上的点F关于直线l的对称点恰好在线段上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出
点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵CD∥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l：x=1，
∴-=1，b=-2.
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c，0），
∴0=c2+2c+c，
解得c=-3或c=0（舍去）.
∴c=-3.
（2）解：设点F的坐标为（0，m）.
∵对称轴为直线x=1，
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为（2，m）.
∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴顶点E的坐标为（1，-4）.
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
设直线BE的表达式为y=kx+n，
∴
解之：
∴直线BE的表达式为y=2x-6.
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2.
∴F点的坐标为（0，-2）
（3）解：存在点Q，满足题意.
设点P的坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=0-(n2-2n-3)=-n2+2n+3.
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN=S△APM，
∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)×QR，
∴QR=1.
①如图，当点Q在直线PN的左侧时.
∵Q点的坐标为（n-1，n2-4n），R点的坐标为（n，n2-4n），N点的坐标为（n，n2-2n-3），∴RN=2n-3.
∴在Rt△QRN中，NQ2=1+(2n-3)2，
∴n=时，NQ取得最小值1，此时Q点的坐标为（，-）.
②如图，当点Q在直线PN的右侧时.
∵Q点的坐标为（n+1，n2-4），
同理NQ2=1+(2n-1)2，
∴n=时，NQ取得最小值1，此时Q点的坐标为（，-）.
综上所述，满足题意的点Q的坐标为（，-）和（，-）。

【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据CD∥x轴，CD=2，可得出抛物线的对称轴，根据对称轴方程，可求出B的值，再根据OB=OC，得出点C的坐标，表示出点B的坐标，代入函数解析式，即可求出c的值。

（2）设点F的坐标为（0，m），可表示出点F′的坐标，再求出抛物线的顶点坐标，求出直线BE的函数解析式，根据点F在直线BE上，将点F的坐标代入即可求出结果。

（3）设点P的坐标为（n，0），分别表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，根据已知可求出QR 的长，分两种情况讨论：当点Q在直线PN的左侧时，用含n的代数式表示出点Q、R、N的坐标，求出RN 的长，利用勾股定理建立关于n的二次函数，利用二次函数的性质可得出取得最小值时n的值，即可求出点Q的坐标；当点Q在直线PN的右侧时，利用勾股定理建立关于n的二次函数，利用二次函数的性质可得出取得最小值时n的值，即可求出点Q的坐标。