高一数学人教A版必修1 课件:1.2.1.1 函数的概念
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A.1 C.3
B.2 D.4
对集合A中的每一个
思路点拨:集合 A 与 B 是非空数集→ 元素,在B中是否 都有元素与之对应
→
集合A中任一元素在B中 的对应元素是否唯一
解析:(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到B 的函数;
(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f: x→y=x2,在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应,故是 集合A到集合B的函数;
3.区间和数集的联系和区别
函Байду номын сангаас的概念
下列对应中是A到B的函数的个数为( ) (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0; (4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如下图所示:
(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如下图所示:
当 a<0 时,原函数的定义域为xx≤3a ; 当 a=0 时,ax-3≥0 的解集为∅,不符合函数的定义,故 不是函数.
【互动探究】 将本例(1)改为 y=xx++112- 1-x2,其定义 域如何?
解:由x1+-1x≠2≥00,, 解得{x|-1<x≤1}.
第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第1课时 函数的概念
1.理解函数的概念,明确函数的三要素.(重点) 2.能正确使用区间表示数集.(易混点) 3.会求简单函数的定义域.(重点、难点)
1.函数的概念
2.区间与无穷的概念
(1)区间定义及表示
设a,b是两个实数,而且a<b.
求下列函数的定义域:
(1)y=xx++112- 1-x;
(2)y= |x5|--3x;
(3)y= ax-3(a 为常数).
思路点拨:
分析所给函 数解析式
→
列不等 式组
→
求x的 范围
→
用集合或区 间表示出来
解 : (1) 要 使 函 数 有 意 义 , 自 变 量 x 的 取 值 必 须 满 足
1.判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数:
(1)A=R,B={0,1},对应关系
f:x→y=10, ,
x≥0 x<0
;
(2)A=B=R,对应关系 f:x→y=± x;
(3)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=1x.
解:(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与 之对应,对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应 ,所以是函数.
定义域为使分母不为0的实数集合 定义域为使根号内的式子大于或等于0的实数 集合
定义域为{x|x≠0} 定义域是使各部分数学式子都有意义的实数集 合,即使每个部分都有意义的实数集合的交集 定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义 的实数集合
3.求下列函数的定义域: (1)y=|xx+|-1x0;(2)y= 2x+5+x-1 1; (3)y=1+1 1x.
(2)集合A中的负数,在B中没有元素与之对应,故不是函 数.
(3)集合A中的0元素在B中没有元素与之对应,故不是函 数.
用区间表示数集
把下列数集用区间表示. (1){x|x≥-1}; (2){x|x<0}; (3){x|-1<x<1}; (4){x|0<x<1或2≤x≤4}.
思路点拨: 所给数集 ―→ 数轴表示 ―→ 区间表示
符号 (-∞,+∞) _[a_,__+__∞__)_ (_a_,_+__∞__) (_-__∞_,__a_] _(_-_∞__,__a)_
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)区间表示数集,数集一定能用区间表示.×( ) ×
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2,+∞].( ) ×
(3)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y =0,在集合B中都有唯一确定的数0和它对应,故是集合A到 集合B的函数;
(4)集合B不是确定的数集,故不是A到B的函数; (5)集合A中的元素3在B中没有对应元素,且A中元素2在 B中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.故选B. 答案:B
所以 a>3.
7分
(3)因为 U={x|x≤4},A={x|-2<x≤3}, 所以∁UA=(-∞,-2]∪(3,4]. 因为 a=-1, 所以 B={x|x<-1}, 所以∁UB=[-1,4], 所以 A∩(∁UB)=[-1,3].
9分 12 分
【特别关注】1.若 y=f(x)是由几部分数学式子组成的,则定 义域是使各部分都有意义的集合的交集,如本例(1)中,要注意求
解:(1)因为xx-+21≥≥00,, 所以 x≥2,所以 A=[2,+∞).
因为2x≠x+34,≥0, 所以 x≥-2 且 x≠3, 所以 B=[-2,3)∪(3,+∞). (2)因为 A=[2,+∞), 所以∁UA=(-∞,2). 因为 B=[-2,3)∪(3,+∞), 所以∁UB=(-∞,-2)∪{3}, 所以(∁UA)∪(∁UB)=(-∞,2)∪{3}.
1.判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去 判断,即A、B必须是非空数集;A中任何一个元素在B中必须 有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应 .
2.函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函 数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”, 而不能是“一对多”或者是“多对多”.
(3)若[a,2a]表示一个区间,则a∈R.( )
2.想一想 函数 f(x)=10当 当xx是 是有 无理 理数 数时 时 的定义域、值域、对应关系 分别是什么?
提示:定义域为 R,值域为{0,1},对应关系是:当 x 为有理 数时,对应函数值为 1;当 x 为无理数时,对应函数值为 0.
x+1≠0, 1-x≥0,
解得 x≤1 且,x≠-1,
即函数定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足5|x-|-x3≥≠00,, 解得 x≤5,且 x≠±3, 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠±3}.
(3)要使函数有意义,必须使 ax-3≥0,得当 a>0 时,原 函数的定义域为xx≥3a ;
3-x和 x1+2两部分都有意义的集合的交集. 2.集合之间的关系和运算要注意 Venn 图和数轴的应用,如
本例(2)中,可借助数轴分析 a 的取值范围.
【跟踪训练】已知全集 U=R,函数 y= x-2+ x+1的定 义域为集合 A,函数 y= x2-x+3 4的定义域为集合 B.
(1)求集合 A 和集合 B. (2)求集合(∁UA)∪(∁UB).
【规范解答】(1)使 3-x有意义的实数 x 的集合是{x|x≤3},
使 x1+2有意义的实数 x 的集合是{x|x>-2}. 2 分
所以,,这个函数的定义域是
{x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤3},
即 A={x|-2<x≤3}.
4分
(2)因为 A={x|-2<x≤3},
B={x|x<a}且 A⊆B,
解:(1)要使函数有意义,需满足
x+1≠0, |x|-x≠0,
即x|x≠|≠-x,1,
∴x<0,且 x≠-1,
∴原函数的定义域为{x|x<0,且 x≠-1}.
(2)要使函数有意义,需满足
2x+5≥0, x-1≠0,
即x≥-52, x≠1,
∴原函数定义域为xx≥-52,且x≠1 .
1.对函数概念的理解 (1)对集合A、B的要求:集合A,B为非空数集. (2)函数三要素:对应关系“f:A→B”表示A到B的一个函 数,它有三要素:定义域、对应关系和值域,三者缺一不可. (3)任意性和唯一性:集合A中的数具有任意性,集合B中 对应的数具有唯一性.
(4)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为 :x是自变量,它是对应关系所施加的对象;f是对应关系,它 既可以是解析式,也可以是图象、表格或文字描述等.y=f(x) 仅仅是函数符号,不能认为“y等于f与x的乘积”.
【规范思维】第一步,看结论:(1)求集合A;(2)求参数a 的取值范围;(3)求∁UA及A∩(∁UB).
第二步,想方法:(1)即求函数f(x)的定义域,列不等式( 组)求解;(2)借助于数轴求出参数a的取值范围;(3)利用补集与 交集的定义求解.
第三步,找联系:(1)由二次根式和分式有意义的条件列 不等式(组);(2)借助于数轴分析集合A与集合B的包含关系; (3)已知全集U及集合A与集合B,可先求出∁UA,∁UB,再求 A∩(∁UB).
(5)一个区别:f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函 数值.
2.对区间的几点认识 (1)区间是集合,是数集,区间的左端点必须小于右端点 . (2)用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端 点,用空心点表示不包括在区间内的端点. (3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆. (4)“∞”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋 势.
1.求函数定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问 题,注意解析式不能化简,定义域须用集合或区间表示出来.
2.根据函数解析式求定义域时,常有以下几种情况:
函数y=f(x) f(x)是整式 f(x)是分式
f(x)是偶次根式
f(x)=x0 f(x)由几部分数
学式子构成 f(x)是由实际问
题列出
y=f(x)的定义域 定义域为R
2.(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________. (2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是________. 解析:(1)[0,2)∪(2,+∞) (2)∵2a+1>a,∴a>-1即a∈(-1,+∞). 答案:(1)[0,2)∪(2,+∞) (2)(-1,+∞)
求出函数的定义域
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b}
闭区间
__[a_,__b_]___
{x|a<x<b}
开区间
__(_a_,__b_) __
{x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
半开半闭区间 __[_a_,__b_)__ 半开半闭区间 __(_a_,__b_]__
数轴表示
(2)无穷概念及无穷区间表示
定义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
(3)要使函数有意义,需满足
x≠0, 1+1x≠0,
即xx≠+01,≠0,
即 x≠0,且 x≠-1, ∴原函数定义域为{x|x∈R,且 x≠0,且 x≠-1}.
规范解答系列(二) 与函数定义域有关的综合问题 (12 分)已知函数 f(x)= 3-x+ x1+2的定义域为集合 A,B={x|x<a}. (1)求集合 A. (2)若 A⊆B,求 a 的取值范围. (3)若全集 U={x|x≤4},a=-1,求∁UA 及 A∩(∁UB).
解:(1){x|x≥-1}=[-1,+∞); (2){x|x<0}=(-∞,0); (3){x|-1<x<1}=(-1,1); (4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4].
用区间表示数集应注意的几个问题 (1)区间左端点值小于右端点值; (2)区间两端点之间用“,”隔开; (3)注意数集中的符号“≤”“≥”“<”及“>”与区间 中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系; (4)以“-∞”,“+∞”为区间的一端时,这端必须用 “(”,“)”; (5)用数轴表示区间时,注意端点的虚实;
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活页作业
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