北师大厦门海沧附属实验中学高三数学(理)测试题

7 8 99
4 4 6 4 7 3
( )
北师大厦门海沧附属实验中学高三数学（理）测试题
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),共8页,全卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：
样本数据n x x x ,,,21⋯的标准差：
])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -+⋯+-+-=
,其中x 为样本平均数; 柱体体积公式：V=Sh,其中S 为底面面积,h 为高；
锥体体积公式：V=
Sh 3
1
,其中S 为底面面积,h 为高； 球的表面积、体积公式：S=2
4R π,V=33
4R π,其中R 为球的半径.
第I 卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案填在题目后面的括号内. 1. 复数
i i i (1
1
+-为虚数单位）等于 （ ） A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
2. 双曲线19
42
2=-y x 的离心率是 （ ） A.
32
B.49
C.25
D.2
13
3. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得该物体的体积为( )
A.256+64πcm 3
B.256+32πcm 3
C.128+32πcm 3
D.128+64π cm 3
4. 右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A ．84，4.84
B ．84，1.6
C ．85，1.6
D ．85，4
正视图
侧视图
俯视图
5. 实数,x y 满足约束条件42,21x y x y z x y x +-=+⎧⎪
⎨⎪⎩
≤≤则≥的最小值是（ ）
A ． 1
B ． 3
C ． 5
D ．7 6.
把函数cos sin y x x =的图象向左平移m (其中0m >)个单位,所得图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（ ） A.
6π B. 3
π C. 23π D. 56π
7. 某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）．
A ．2)(x x f =
B ．x
x f 1
)(= C ．62ln )(-+=x x x f D ．x x f sin )(=
8. 函数f(x)=sin 2x+2cosx 在区间[π3
2
-，θ]上的最大值为l ，则θ的 值是（ ）
A ．0 B.
3π C ．2
π D ．2π-
9. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是对角线A 1B 上的动点，则AM +MD 1
的最小值为（ ）
A ．2
B ．
2
6
2+
C ．22+
D ．22+
10. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4m ，不考虑树的粗细. 现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD . 设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数()S f a =（单位m 2）的图象大致是（ ）
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 第7题图
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题。

每小题4分,共20分.请把正确答案填在题目后面的横线上. 11. 一物体在力()34F x x =+的作用下，沿着与F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处，力F 所做的功为__________ ____ .
12. 已知6
2a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为15a ，则非零实数a 的值是 ．
13. 两个等差数列}}{{n n b a 的前n 项和分别为3
59
+-=
n n T S T S n n n n 且
和，那么32
20526
1714b b b a a a ++++= 。

14. 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
有没有差别 .
参考公式与表格：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
15. 用向量方法可以证明：若P 为正三角形内切圆上任意一点，则点P 到三角形三个顶点距离的平方和为定值.请你针对这个问题进行研究,写出一个推广后的正确命题:________________________________________________________________________.
三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)
设函数x f ⋅=)(，其中向量R x x x x ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.
（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC
的面积为2
3
，求C B c b sin sin ++的值.
如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB =8，M 、N 、P 是将半圆周四等分的三个分点。

（Ⅰ）从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取2个点，假设这2个点之间的弧长为ξ，求E ξ； （Ⅱ）在半圆内任取一点S ，求三角形SAB
的面积大于的概率。

18. (本小题满分13分)
在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；
（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时，求二面角A 1—A C —B 的大小余弦值； （Ⅲ）若D 为侧棱A 1A 上一点，当
DA
D
A 1为何值时，BD ⊥A 1C 1．
19. (本小题满分13分)
因家庭贫困，小林在大学期间共申请免息助学贷款1.9万元整，银行规定：毕业后开始还贷，并要求在3年内（按36个月算）全部还清。

小林因成绩优秀，一毕业即找到工作，工资标准是：前12个月每月工资1000元；第13个月开始每月工资比前一个月增长5℅直到月工资为4000元。

小林决定：前12个月每月还款200元，第13个月开始每月还款额比前一个月多a 元。

（精确到0.01元）
（Ⅰ）若小林恰好在第36个月还清贷款，求a 的值； （Ⅱ）若a =50，问小林还清最后一笔贷款时，他的当月工资余额能否满足每月至少800元的基本生活费？（参考数据：19
1.05
2.526=，20
1.05
2.653=，211.05 2.786=，
221.05 2.925=）
B
A B O C D A 1 B 1
C 1
过x 轴上的动点A （a ，0）向抛物线y=x 2+1引两切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点. （Ⅰ）若切线AP 、AQ 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； （Ⅱ）求证：直线PQ 过定点； （Ⅲ）若|
|,0AQ S a APQ ∆≠试求的最小值.
21. （本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选其中2题作答，满分
14分，如果多做，则按所做的前两题记分）
（1）（矩阵与变换选做题）若矩阵A 有特征向量10⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦i 和01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
j ，且它们所对应的特征值分别为122,1λλ==-. （Ⅰ）求矩阵A 及其逆矩阵1
-A ; （Ⅱ）求逆矩阵1
-A 的特征值及特征向量 ;
(Ⅲ)对任意向量,x y ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
α求120()-A α
（2）(坐标系与参数方程选做题)
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)， 点M 的极坐标为(4，π2 )．若直线l 过点P ，且倾斜角为 π
3 ，圆C 以M 为圆心、4为半径.
(Ⅰ)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
(Ⅱ)试判定直线l 和圆C 的位置关系.
(3) （不等式选讲选做题）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最大值.
北师大厦门海沧附属实验中学高三数学（理）测试题
参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分. 1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.D 8.D 9. D 10.C 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分. 11. 40 12. 1 13.
7
47
14. k 2
=1.78; 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
15. ①若P 为正三角形外接圆上任意一点，则点P 到三角形三个顶点距离的平方和为定值.
②若正三角形123A A A 外接圆的圆心为O,半径为R, P 为平面上任意一点，则
21||PA +22||PA +23||PA =32||PO +3R 2.
③若P 为正多边形内切圆上任意一点，则点P 到各个顶点距离的平方和为定值. ④若P 为正多边形外接圆上任意一点，则点P 到各个顶点距离的平方和为定值. 三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查向量的数量积、两角和与差、二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力与推理论证能力.满分13分. 解：（Ⅰ）x x n m x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)6
2s i n (212c o s 2s i n 3++
=++=
π
x x x ……………………………………3分
∴函数f (x )的最小正周期ππ
==2
2T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤
+≤+πππππ，解得.3
26ππ
ππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,
6[ππ
ππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得2
1
)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，
在△ABC 中，π<<A 0 ππ
π
π
26
6
26
+<
+
<∴A
656
2ππ
=
+
∴A ，解得.3
π
=A …………………………………………………8分 又2
3
23121sin 21=
⨯⨯⨯==
∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32
1
21241cos 22
2
2
=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分
由
2
33sin sin sin ===A
a
C c B b ，
得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==C
B c
b C
c B b ………………………………………13分
17. 本小题考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，几何概型、考查运算求解能力，考查必然与或然思想和应用意识.满分13分.
解：（Ⅰ）依题意ξ的可能的取值有π，2π，3π，4π，当所取的两个点为AM 、MN 、NP 、
PB 时， ……………………………………2分
ξ=π，概率为
410
；当所取的两个点为AN 、MP 、NB 时，ξ=2π，概率为
310
；当所取的两个
点为AP 、MB 时，ξ=3π，概率为210
；当所取的两个点为AB 时，ξ=4π，概率为
110
，
于是E ξ=π×410
＋2π×
310
＋3π×210
＋4π×
110
=2π。

……………………………7分
（Ⅱ）连结MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得
OD=， 当S 点在线段MP 上时，三角形SAB 的面积等于
12
××
8=，
B
所以只有当S
点落在阴影部分时，面积才能大于
S
阴影
=S
扇形OMP
-S △OMP =
12
×
2
π
×2
4-
12
×2
4=4π-8，
所以由几何概型公式的三角形SAB
的面积大于P=
482
82ππππ
--=。

……………………………………13分
18.本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.满分13分.
解法一：（Ⅰ）连结AO ，∵A 1O ⊥面ABC ，AO ⊥BC ．
∴A 1A ⊥BC ．
……………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A 1AO =45°
由底面是边长为
AO =3 ∴A 1O =3，AA 1
过O 作OE ⊥AC 于E ，连结A 1E ，则∠A 1EO 为二面角A 1—AC —B 的平面角
……………………………………6分 ∵OE =32
，∴tan ∠A 1EO =13232
A O
OE ==
……………………………………9分
即二面角A 1—A C —B
（Ⅲ）过D 作DF ∥A 1O ，交AO 于F ，则DF ⊥平面ABC ． ∴BF 为BD 在面ABC 内的射影，
又∵A 1C 1∥AC ，∴要使BD ⊥A 1C 1，只要BD ⊥AC ，即证BF ⊥AC ， ∴F 为△ABC 的中心，∴
11
2
A D OF DA FA == ……………………8分
解法二：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立空间直角坐标系． （Ⅰ）由题意知∠A 1AO =45°，A 1O =3．∴O （0，0，0），C
0，0），A （0，3，0），A 1（O ，0，3），B
0，0）． ∵1AA
=（0，－3，3），BC =（
0，0） ∴1AA ·BC
=0×
（－3）×0+3×0=0．
∴AA 1⊥BC ．
………………………4分
1
A
B
O
C
E
D
F A 1 B 1 C 1
（Ⅱ）设面ACA 1的法向量为n 1=（x ，y ，z ），
则111(,,)3,0)30(,,)(0,3,3)330n AC x y z y n AA x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨=⋅-=-+=⎪⎩ 令z =1，则x
y =1，∴n 1=
1，1）
……………6分
而面ABC 的法向量为n 2=（0，0，1） ………………………………8分
cos(n 1，n 2
=
又显然所求二面角的平面角为锐角，
……………………………9分
（Ⅲ）A 1C 1∥AC ，故只需BD ⊥AC 即可，设AD =a ，则D （0，3
）
又B
0，0），则BD =
3
），AC =
3，0）．
要使BD ⊥AC ，须BD ·AC =3－3（3
）=0，
得a
AA 1
A 1D
，∴112
A D
DA == ……………………13分
19.本小题考查数列、不等式等基础知识,考查综合应用知识分析问题和解决问题能力,考查应用意识.满分13分.
解：（Ⅰ）根据题意得，到第36个月 小林共还款12×200＋（200＋a ）×24＋24232
a
⨯ …………………………3分 由12×200＋（200＋a ）×24＋24232
a
⨯=19000 解得a =
118
3
=39.33 ∴a 的值为39.33； ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设小林工作n 个月还清贷款，则
12×200＋121350
(20050)(12)190002()()n n n +---+
≥ ……………………8分 化简得2
156280n n ≥--
解得15332
n ≥
> …………………………………………………………9分
即小林工作34个月就可以还清贷款， 这个月小林还款额为
19000[-12×200+(200+50)(33-12)+
(3312)(33121)50
8502
]---=（元）
小林的当月工资为1050×21
1.05=1000×22
1.05=1000×
2.925=2925（元） 因为2925-850=2075
所以小林还款后能满足基本的生活需求 ………………………………………13分
20.本小题考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查化归与转化、分类与整合等数学思想.满分14分. 解：（Ⅰ）设过A 作抛物线y=x 2+1的切线的斜率为k ，则切线方程为)(a x k y -=，
与方程12+=x y 联立，消去y 得： 2
10.x kx ak -++=
2,4(1)0,k ak ∆=-+=因为直线与抛物线相切所以 2
440.k ak --=即
依题意知，此方程两根为k 1，k 2，
∵k 1k 2=－4（定值）. ……………………………………4分
（Ⅱ）设1122(,),(,).P x y Q x y 方程y=x 2+1的两边对x 求导，得,2x y =' 所以在P 点处的切线斜率为：12|1x y x x ='=， 因此，切线方程为：).(2111x x x y y -=-
由211111,:220.y x x x y y =+--+=化简可得………………………6分 同理可求得在点Q 处的切线方程为.02222=+--y y x x 因为两切线的交点为A （a ，0），故可得：
,022,0222211=+-=+-y a x y a x
因此，P 、Q 两点在直线2ax －y +2=0上 即直线PQ 的方程为：2ax －y +2=0. 当x =0时，y=2，所以直线PQ 经过定点（0，2）. …………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）将PQ 的方程y=2ax +2，与抛物线方程y=x 2+1联立，
可得到),(),,(.01222112
y x Q y x P ax x =--，
12122, 1.
x x a x x ∴+==-
||PQ ===又
A （a ，0）到PQ 的距离,412
222a a d ++=
3221||2(1).2APQ S PQ d a ∆∴=⋅=+
322
2(1)||||APQ S a OA a ∆+∴===………………10分 21
()33(0).f x x x x x =+++>考虑函数
3222221
231(1)(21)()32.x x x x f x x x x x +-+-'=+-==则
11,()0,()(,).22
x f x f x '>>+∞当时所以在上为增函数 11,()0,()(0,).22
x f x f x '<<当时所以在上为减函数 ………………………12分 1127,(),().224
x f x f ==所以当时取得极小值也是最小值
:||APQ S OA ∆=的最小值为
21,22
a a ==当且仅当即取“=”号，
(,:||22AQ A A S OA ∆∴或时取得最小值…………………………14分
21.本小题考查矩阵及其逆矩阵的运算、直线的参数方程和圆的极坐标方程、柯西不等式的简单应用.满分14分.
（1）解：（Ⅰ）2001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，1-A 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
………………………………………2分
（Ⅱ）特征值112λ=，对应的特征向量10⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
i ，特征值21λ=-，对应的特征向量01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
j ………………………………………………………………………………4分
(Ⅲ)1001x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦α，120()-A α＝202012x y λλ+=i j 20201()22x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
……7分
（2）解：（Ⅰ）直线l
的参数方程为1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ………………2分
圆C 的极坐标方程为8sin ρθ= ………………………………………………4分 （Ⅱ）因为4,2M π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对应的直角坐标为()0,4 …………………………………………5分 直线l
50y --= …………………………………6分 圆心到直线l
的距离5d ==>，所以直线l 与圆C 相离. ……7分 (
)()2
222211(3)1112323x y z z x y z ⎫⎛⎫=++=+∙≤++++ ⎪⎪⎝⎭⎭
22262311F x y z ∴=++≥
……………………………………………………5分
1z = 且3261,,,111111
x y z x y z ++==== F 有最小值
611 …………………………………………………7分。