甘肃省天水一中2014届高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合{|lg 0}M x x =>，2
{|4}N x x =≤，则M
N =（ ）
A 、(1,2)
B 、[1,2)
C 、(1,2]
D 、[1,2] 2．若复数2
21z i i
=+
+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 A
B ．
C
D ．2
3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶 图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为
A ．117
B ．118
C ．118．5
D ．119．5 4．已知0ω>，函数
.
B.
C. D.(0,2]
5．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)1(3,111≥==+n S a a n n ，则
=6a ( )
A. 443⨯
B. 1
434+⨯
C. 4
4 D. 144
+
6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是 A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为1
3
,则实数a 的值为 A ．
14 B ．14或2
3
C ．
2
3
D ．
23或34
8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝ A ．5
B
C ．
D ．6
9．二项式)1()1(8-+x x 展开式中5x 的系数是( ) A ．-14 B
10．在△ABC b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .6
11．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2
x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两
点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 2
212
1k k k k ++最小时，双曲线离心率为( )
A ．2
B ．3
C 12.+
D 2. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．
14．若整数．．,x y 满足0700y x x y x -≥
⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
,则2x y +的最大值为 ． 15
16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
()62f x x '
=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n ∈N 均在函数()y f x =的图像
上．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
3
,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和， 求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数.m
18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场
分析，X 1和X 2的分布列分别为
（Ⅰ）在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；
（Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：2
()D aX b a DX +=）
19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面
11AAC C ⊥底面ABC ，11
2AA AC AC ===， AB BC =，AB BC ⊥，O 为AC 中点．
（Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ?若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由
20．（本小题满分12分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B 和定直线l ：4x =，动点M 在直线l 上的射影为N ，且2BM MN =．
（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程并画草图；
（Ⅱ）是否存在过点A 的直线n ，使得直线n 与曲线C 相交于P ， Q 两点，且△PBQ 的
O C
B
A
C 1
B 1
A 1
n 的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数2
()(22)x
f x e ax x =--，a ∈R 且0a ≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；
（Ⅱ）当0a >时，求函数(|sin |)f x 的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若y kx =与()y f x =的图像存在三个交点，求k 的取值范围
请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．
作答，如果多做，按所做第1题计分。

作答时请写清题
号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B ,C 两点，且AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D ，己知圆E 的半径为2，EBC ∠
=30. （Ⅰ）求
AF 的长；（Ⅱ）求证：AD =3E D
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧==x y a x sin cos 3（a 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为24)4
sin(=+
π
θρ
（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.
（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数R x a x x x x f ∈-+-
=|,||5|)(.（Ⅰ）求证：当=a （Ⅱ）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值
理科数学参考答案
一．选择题：
三．解答题：
17.【解析】（Ⅰ）设二次函数2
()f x ax bx =+，则'()2f x ax b =+，
由于()62f x x '=-，所以3,2a b ==-，所以2
()32f x x x =- ………………2分 又点*(,)()n n S n ∈N 均在函数()y f x =的图像上，所以232n S n n =-
当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=-， ………………4分 当1n =时，111a S ==，也适合65n a n =-．
所以65(*)n a n n =-∈N ． ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得133111(65)(61)26561n n n b a a n n n n +⎛⎫
===- ⎪-+-+⎝⎭
………………8分 故1
11111
11111277136561261n
n i i T b n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=
=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦∑ …10分 随着n 的增大，n T 逐渐增大直至趋近12，故20n m T <对所有*n ∈N 都成立，只要1220
m
≤即可，即只要10m ≥． 故使得20
n m
T <
对所有*n ∈N 都成立的最小正整数10m = ………………12分 18.【解析】（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为
150.8100.26EY =⨯+⨯=， 221(56)0.8(106)0.24DY =-⨯+-⨯=， 220.280.5120.38
EY =⨯+⨯+⨯=，
2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-⨯+-⨯+-⨯=．
（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22
12100100100x x DY DY -⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22243(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 22
2
4(46003100)100x x =
-+⨯，当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值． 19.解：(1) 11
2AA AC AC ===，且O 为AC 中点， 1AO AC ∴⊥，又 侧面11AAC C ⊥底面ABC ，交线为AC ，11AO A AC ⊂面， ∴1A O ⊥平面ABC .
(4分)
(2) 如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 、y 、z
轴，建立空
间直角坐标系，则由题可知(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，
1(0,0,3)A ，(0,1,0)A -.
1
(0,1,3)AC ∴=-
，令平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =，则10n AA n AB ⋅=⋅=，而1AA =
，(1,1,0)AB =，可求得一
个法向量(3,3,3)n =-，所以
111|||cos ,|||||
2n AC AC n n AC ⋅<>=
==⋅⨯
故直线1AC 与平面1A AB . (8分)
(3) 存在点E 为线段1BC 的中点.
证明：连结1B C 交1BC 于点M ，连结1AB 、OM ，则M 为1BC 的中点，从而OM 是
1CAB ∆的一条中位线，1//OM AB ，而1AB ⊂平面1A AB ，OM ⊄平面1A AB ，所以//OM 平面1A AB ，故1BC 的中点M 即为所求的E 点. (12分)
20. 解：（Ⅰ）设(,)M
x y ，则||(1)BM x y =-+，
|||4|MN x =-，代入2BM MN =，得
|4|x =-，化简得，即得曲线C 的方程为
22
143
x y +=，----------5分 （Ⅱ）（i ）若直线n 的斜率不存在时，此时点3(1,)2P --，点3(1,)2
Q -，
△PBQ 的面积等于3，不符合； -----6分
（ii ）若直线n 的斜率为k 时，直线n 的方程设为 (1)y k x =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．
联立2
2(1)
14
3y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得22221121()104333k x k x k
+++-=， 则2122
834k x x k +=
-+，2122
41234k x x k -=+
，
则12||x x -==，所以 12|
||PQ x x -=2212(1)34k k ++，
1
点B 到直线n 的距离
d =
，
所以△PBQ 的面积等于
22
2
112(1)
2341k k k +++=
，解之得：k =，
故存在直线n 为1)y x =+．-----12分
(2) 设|sin |(01)x t t =≤≤，则只需求当0a >时，函数()(01)y f t t =≤≤的最小值.
令()0f x '=，解得2x a =
或2x =-，而0a >，即2
2a
>-. 从而函数()f x 在(,2)-∞-和2(,)a +∞上单调递增，在2
(2,)a
-上单调递减.
当2
1a ≥时，即02a <≤时，函数()f x 在[0,1]上为减函数，min (1)(4)y f a e ==-； 当2
01a
<<，即 2a >时，函数()f x 的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，
2
min 2
()2a y f e a
==-.
综上可知，当02a <≤时，函数(|sin |)f x 的最小值为(4)a e -；当2a >时，函数
(|sin |)f x 的最小值为22a
e -.
(8分)
(3) 令2
(22)x
e x x kx --=，显然0x ≠，则2(22)
x e x x k x
--=.
构造函数2(22)()x e x x g x x --=，2()(1)(x
e g x x x x x
'=-+.
令()0g x '=得1x =，21x =，3x =，可知：()g x 在(,-∞上单调递减，且()0g x <，当x 无限减小时，()g x 保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近x
轴负半轴；()g x 在(上单调递增，当x 无限接近于0时，()g x 无限增大，其图
像在左侧向上无限接近y 轴正半轴，由于极小值(20g e
=-<，所以()g x 在
(内存在一个零点；()g x 在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在
)+∞上单调递增，因此()g x 在1x =处取得极大值(1)3g e =-，在x =
极小值2g =-当0x >并无限靠近0时，()g x 无限减小，其图像无限靠近y 轴
负半轴，当x 无限增大时，()g x 也由负值变为正值无限增大，()g x 在区间)+∞内也存在一个零点. 函数()g x 的大致图像如图所示：
根据条件y kx =与()y f x =的图像存在三个交点，即方程2(22)x e x x kx --=有三个
解，直线y k =与函数2(22)
()x e x x g x x
--=的图像有三个公共点.
因此
(0g k <<
或(1)g k g <<，
即20e k -<<
或23k e -<<-，从而k 的
取值范围是2(23)
(2,0)e e ----. (12分)
22.解(1) 延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则90BCM ∠=，
又24BM
BE ==，30EBC ∠=︒，所以BC
=，又1
3
AB AC =
，可
知1
2
AB BC =
=. 所以根据切割线定理2
9AF AB AC =⋅==，即3AF =. (5分) (2) 过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ∆与ADF ∆相似，
从而有
1
3
ED EH AD AF ==，因此3AD ED =.
(10分)
23.解(1) 对于曲线1C 有
cos sin
y αα
==⎩
⇔2222
cos sin 1y αα+=+=，即1C 的方程为：2213
x y +=；
对于曲线2C 有sin()(cos sin )4π
ρθθθ+
=
+=⇔cos sin 8ρθρθ+=
⇔80x y +-=，所以2C 的方程为80x y +-=.
(5分) (2) 显然椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上点,sin )P αα到直线80x y
+-=的距离为：
d ==，
当sin()13πα+=时，d 取最小值为P 的坐标为31
(,)2
2
.
(10分)。